2025屆高考數學統(tǒng)考二輪復習增分強化練六不等式推理與證明理含解析

PAGE增分強化練(六)一、選擇題1．(2024·恩施質檢)已知集合A＝{x|x2－2x－15<0}，B＝{x|x≥e}，則A∪B＝()A．[e,5) B．(－∞，－3)∪[e，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(5，＋∞)解析：集合A＝{x|x2－2x－15<0}＝(－3,5)，所以A∪B＝(－3，＋∞)．故選C.答案：C2．不等式(－x＋3)(x－1)<0的解集是()A．{x|－1<x<3} B．{x|1<x<3}C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x<1或x>3}解析：不等式即：(x－3)(x－1)>0，由二次不等式的解法大于分兩邊可得不等式的解集為{x|x<1或x>3}．故選D.答案：D3．(2024·寶雞模擬)下列推理不屬于合情推理的是()A．由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導電，得出一切金屬都能導電B．半徑為r的圓面積S＝πr2，則單位圓面積為S＝πC．由平面三角形的性質推想空間三棱錐的性質D．猜想數列2,4,8，…的通項公式為an＝2n，n∈N＋解析：對于選項A,由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導電，得出一切金屬都能導電．是歸納推理，所以屬于合情推理，所以該選項是合情推理；對于選項B,半徑為r的圓面積S＝πr2，則單位圓面積為S＝π.屬于演繹推理，不是合情推理；對于選項C,由平面三角形的性質推想空間三棱錐的性質，屬于類比推理，所以是合情推理；對于選項D,猜想數列2,4,8，…的通項公式為an＝2n，n∈N*，是歸納推理，所以是合情推理．故選B.答案：B4．若a，b∈R＋，則下列結論：①eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)，②eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，③eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，其中正確的個數是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①a＞0，b＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，所以(a＋b)2≥4ab，∴eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)，∴①正確．②a＞0，b＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∴②正確．③eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))≥0，故eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，∴③正確．故選D.答案：D5．函數y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－1上，且m＞0，n＞0，則3m＋n的最小值為()A．13 B．16C．11＋6eq\r(2) D．28解析：函數y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過A(－3，－1)，由點A在直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－1上可得，eq\f(－3,m)＋eq\f(－1,n)＝－1，即eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)＝1，故3m＋n＝(3m＋n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)＋\f(1,n)))＝10＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(m,n)))，因為m>0，n>0，所以eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2eq\r(\f(n,m)×\f(m,n))＝2(當且僅當eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n時取等號)，故3m＋n＝10＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(m,n)))≥10＋3×2＝16，故選B.答案：B6．(2024·寧德質檢)已知平面區(qū)域Ω1：x2＋y2≤9，Ω2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y≤0，,y＋2≥0，))則點P(x，y)∈Ω1是P(x，y)∈Ω2的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：平面區(qū)域Ω1：x2＋y2≤9，表示圓以及內部部分；Ω2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y≤0，,y＋2≥0))的可行域如圖三角形區(qū)域：則點P(x，y)∈Ω1是P(x，y)∈Ω2的必要不充分條件．故選B.答案：B7．在△ABC中，點D是AC上一點，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝4eq\o(AD,\s\up8(→))，P為BD上一點，向量eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))(λ>0，μ>0)，則eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值為()A．16 B．8C．4 D．2解析：由題意可知：eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋4μeq\o(AD,\s\up8(→))，其中B，P，D三點共線，由三點共線的充分必要條件可得：λ＋4μ＝1，則：eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,λ)＋\f(1,μ)))×(λ＋4μ)＝8＋eq\f(16μ,λ)＋eq\f(λ,μ)≥8＋2eq\r(\f(16μ,λ)×\f(λ,μ))＝16，當且僅當λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,8)時等號成立，即eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值為16.故選A.答案：A8．我國古代數學名著《九章算術》的論割圓術中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣．”它體現了一種無限與有限的轉化過程．比如在表達式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值，它可以通過方程1＋eq\f(1,x)＝x求得x＝eq\f(1＋\r(5),2)，類似上述過程，則eq\r(3＋\r(3)＋\r(…))()A.eq\f(\r(13)＋1,2) B．3C．6 D．2eq\r(2)解析：由已知代數式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解(舍去負根)，可得要求的式子，令eq\r(3＋\r(3)＋\r(…))＝m(m>0)，則兩邊平方得，得3＋eq\r(3＋\r(3)＋\r(…))＝m2，即3＋m＝m2，解得m＝eq\f(1＋\r(13),2)，m＝eq\f(1－\r(13),2)(舍去)，故選A.答案：A9．設x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1x－y≥－12x－y≤2))，若目標函數z＝ax＋3y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是()A．(－6，－3) B．(－6,3)C．(0,3) D．(－6,0]解析：作出x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,x－y≥－1,2x－y≤2))的可行域如圖所示：將z＝ax＋3y化成y＝－eq\f(a,3)x＋eq\f(z,3).當－1<－eq\f(a,3)<2時，y＝－eq\f(a,3)x＋eq\f(z,3)僅在點(1,0)處取得最小值，即目標函數z＝ax＋3y僅在點A(1,0)處取得最小值，解得－6<a<3.故選B.答案：B10．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≤0,y≥1x＋y－3≤0))，則z＝|4x＋3y－12|的最小值為()A.eq\f(5,3) B．1C．2D.eq\f(3,5)解析：將目標函數變形為z＝5×eq\f(|4x＋3y－12|,5)，即“目標函數表示可行域內的點到直線4x＋3y－12＝0的距離的5倍”．畫出可行域如圖所示，由圖可知，點A到直線4x＋3y－12＝0的距離最小，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0,x＋y－3＝0))，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，最短距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)＋\f(15,3)－12)),5)＝eq\f(1,3)，乘以5得eq\f(5,3)，故選A.答案：A11．如圖①，一塊黃銅板上插著三根寶石針，在其中一根針上從下到上穿好由大到小的若干金片．若根據下面的法則移動這些金片：每次只能移動一片金片；每次移動的金片必需套在某根針上；大片不能疊在小片上面．設移完n片金片總共須要的次數為an，可推得an＋1＝2an＋1.如圖②是求移動次數的程序框圖模型，則輸出的結果是()A．1022 B．1023C．1024 D．1025解析：記n個金屬片從2號針移動到3號針最少須要an次；則據算法思想有：S＝1；第一次循環(huán)，S＝3；其次次循環(huán)，S＝7；第三次循環(huán)，S＝15；…，第九次循環(huán)S＝1023，S>1000，輸出S＝1023，故選B.答案：B12．已知正實數a，b，c滿意a2－2ab＋9b2－c＝0，則當eq\f(ab,c)取得最大值時，eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(12,c)的最大值為()A．3 B.eq\f(9,4)C．1 D．0解析：由正實數a，b，c滿意a2－2ab＋9b2－c＝0，得eq\f(a2,c)－eq\f(2ab,c)＋eq\f(9b2,c)＝1≥eq\f(4ab,c)，當且僅當eq\f(a2,c)＝eq\f(9b2,c)，即a＝3b時，eq\f(ab,c)取最大值eq\f(1,4)，又因為a2－2ab＋9b2－c＝0，所以此時c＝12b2，所以eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(12,c)＝eq\f(1,b)(2－eq\f(1,b))，最大值為1.答案：C二、填空題13．不等式eq\f(2－x,x＋1)<1的解集是________．解析：由eq\f(2－x,x＋1)<1?eq\f(2－x,x＋1)－1<0?eq\f(1－2x,x＋1)<0，不等式的解集等價于(1－2x)(x＋1)<0?(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))14．(2024·湛江模擬)若實數x，y滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4≤0，,x－y＋m≥0，,y≥0，))且z＝x－2y的最小值為0，則實數m＝________.解析：畫出可行域如圖陰影部分所示：當z＝x－2y過A時取得最小值，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0,x－y＋m＝0))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－m,3)，\f(4＋2m,3)))，則eq\f(4－m,3)－2×eq\f(4＋2m,3)＝0，解m＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)15．如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，F在線段CD上，設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AF,\s\up8(→))＝xa＋yb，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為________．解析：eq\o(AF,\s\up8(→))＝xa＋yb＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))＝2xeq\o(AD,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))，由圖可知x，y均為正數．又C，F，D三點共線，則2x＋y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝2＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(8x,y)≥6＋4eq\r(2).答案：6＋4eq\r(2)16．(2024·威海模擬)“克拉茨猜想”又稱“3n＋1猜想”，是德國數學家