舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題3.1 函數(shù)的概念及其表示-重難點(diǎn)題型精講（含答案及解析）

專題3.1函數(shù)的概念及其表示-重難點(diǎn)題型精講1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個(gè)特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量x實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).4．區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：

(1)滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；

(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].

這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).5．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.6．抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復(fù)合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)锳，函數(shù)t=g(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镃，則當(dāng)CA時(shí)，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型1對(duì)函數(shù)概念的理解】【方法點(diǎn)撥】定義法：對(duì)于給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷是否滿足函數(shù)的概念，即可判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).【例1】（2021秋?海安市校級(jí)月考）下列對(duì)應(yīng)中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函數(shù)的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【變式1-1】（2022春?興慶區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【變式1-2】（2021秋?賓縣校級(jí)月考）下列集合A、B及其對(duì)應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【變式1-3】（2021春?九龍坡區(qū)期末）設(shè)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【題型2同一函數(shù)的判斷】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，分析兩函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可判斷兩函數(shù)是否是同一函數(shù)．【例2】（2022?民勤縣校級(jí)開學(xué)）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2?1x?1，D．y1=【變式2-1】（2022?河?xùn)|區(qū)模擬）下列函數(shù)與f（x）＝x+1是同一個(gè)函數(shù)的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【變式2-2】（2021秋?黑龍江期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【變式2-3】（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（x﹣C．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝x【題型3函數(shù)的定義域問題】【方法點(diǎn)撥】(1)根據(jù)解析式有意義的條件，列出關(guān)于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區(qū)間的形式.(2)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)，結(jié)合解析式有意義的條件，列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，即可得解.【例3】（2022秋?開福區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【變式3-1】（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇﹣1，15]，則函數(shù)g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【變式3-2】（2022春?疏勒縣校級(jí)期末）函數(shù)y=x?2x中，自變量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【變式3-3】（2022春?閻良區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域?yàn)锳．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【題型4函數(shù)的值域問題】【方法點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數(shù)的定義域，在由函數(shù)解析式求解；(2)已知函數(shù)值域求參數(shù)問題時(shí)，將給出的值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數(shù)的值或取值范圍.【例4】（2022春?定南縣校級(jí)月考）函數(shù)y=2x?A．(?∞，?158] B．(?∞，?15【變式4-1】（2021秋?寧鄉(xiāng)市期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?，+∞）的是（）A．y=x2?2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【變式4-2】（2022春?水富市校級(jí)期中）若函數(shù)f(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]（b＞a≥2），則實(shí)數(shù)A．(14，4] B．[14，4]【變式4-3】（2022春?天河區(qū)校級(jí)期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)f(x)=12x2?3x+4(1＜x＜4)，則函數(shù)A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【方法點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，將自變量代入解析式，求解即可．(2)由函數(shù)解析式，求對(duì)應(yīng)函數(shù)值的自變量的值（或解析式中的參數(shù)值），只需將函數(shù)值代入解析式，建立關(guān)于自變量（或參數(shù)）的方程即可求解.【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【變式5-1】（2022春?祥云縣期末）已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【變式5-2】（2021秋?凌河區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)f(x)=12x?1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【變式5-3】（2021秋?庫爾勒市校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=x，(x≥0)x2，(xA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【題型6函數(shù)的表示法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的三種表示方法的特點(diǎn)，具體問題具體分析，用適合的表示法表示出函數(shù)關(guān)系.【例6】（2021?青島模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點(diǎn)出發(fā)，路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)【變式6-1】（2021秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）給出函數(shù)f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域?yàn)椋ǎ﹛1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能【變式6-2】（2021秋?欽州月考）一輛中型客車的營運(yùn)總利潤(rùn)y（單位：萬元）與營運(yùn)年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，要使總利潤(rùn)達(dá)到最大值，則該客車的營運(yùn)年數(shù)是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15 B．10 C．9 D．6【變式6-3】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）某同學(xué)到長(zhǎng)城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長(zhǎng)城，前進(jìn)了akm，覺得有點(diǎn)累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到長(zhǎng)城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)．則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的圖象大致為（）A． B． C． D．專題3.1函數(shù)的概念及其表示-重難點(diǎn)題型精講1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個(gè)特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量x實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).4．區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：

(1)滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；

(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].

這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).5．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.6．抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復(fù)合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)锳，函數(shù)t=g(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镃，則當(dāng)CA時(shí)，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型1對(duì)函數(shù)概念的理解】【方法點(diǎn)撥】定義法：對(duì)于給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷是否滿足函數(shù)的概念，即可判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).【例1】（2021秋?海安市校級(jí)月考）下列對(duì)應(yīng)中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函數(shù)的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【解題思路】利用函數(shù)的定義，判斷即可．【解答過程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，滿足函數(shù)的定義，（1）正確；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；當(dāng)x＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y＝±1，不滿足函數(shù)的定義，（2）不正確；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z，滿足函數(shù)的定義，（3）正確；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．當(dāng)x＝1時(shí)，y需等于0，而y∈N*中沒有0與之相對(duì)應(yīng)，（4）不正確．故選：B．【變式1-1】（2022春?興慶區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【解題思路】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一個(gè)元素和它對(duì)應(yīng)，進(jìn)而可以得到答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)圖形，對(duì)于①，其定義域?yàn)閧x|0≤x≤1}，不符合題意，對(duì)于②，符合題意，對(duì)于③，符合題意，對(duì)于④，集合M中有的元素在集合N中對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，不符合函數(shù)定義，故選：C．【變式1-2】（2021秋?賓縣校級(jí)月考）下列集合A、B及其對(duì)應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A，C，D，集合A中的任意一個(gè)元素，按照對(duì)應(yīng)法則f（x），在集合B中都有唯一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義，所以A，C，D正確，對(duì)于B，對(duì)于集合A中元素0在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤，故選：B．【變式1-3】（2021春?九龍坡區(qū)期末）設(shè)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義，舉反例，一一判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A，B均有函數(shù)值不在集合B內(nèi)；對(duì)于C，它是一對(duì)多，不是函數(shù)的圖象．故選：D．【題型2同一函數(shù)的判斷】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，分析兩函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可判斷兩函數(shù)是否是同一函數(shù)．【例2】（2022?民勤縣校級(jí)開學(xué)）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2?1x?1，D．y1=【解題思路】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．【解答過程】解：對(duì)于選項(xiàng)A，第一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，第二個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，第一個(gè)函數(shù)與第二個(gè)函數(shù)的定義域都為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C，第一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，第二個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，第一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閇1，+∞），第二個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭?，?]∪[1，+∞），故錯(cuò)誤；故選：B．【變式2-1】（2022?河?xùn)|區(qū)模擬）下列函數(shù)與f（x）＝x+1是同一個(gè)函數(shù)的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義判斷．【解答過程】解：f（x）＝x+1的定義域?yàn)镽，A．g(x)=3x3B．g(x)=xC．g(x)=xD．g（x）＝elnx+1＝x+1（x＞0），故錯(cuò)誤；故選：A．【變式2-2】（2021秋?黑龍江期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【解題思路】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．【解答過程】解：函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽，對(duì)于選項(xiàng)A：y＝|x|=x，x≥0對(duì)于選項(xiàng)B：y=x2x的定義域?yàn)閧x|x≠0}對(duì)于選項(xiàng)C：y=(x)2的定義域?yàn)閇0，+對(duì)于選項(xiàng)D：y=3x3=x定義域?yàn)楣蔬x：D．【變式2-3】（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（x﹣C．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝x【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的兩個(gè)條件即定義域與解析式完全相同對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)判斷求解即可．【解答過程】解：選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x+1的定義域?yàn)镽，而函數(shù)y=x2x+1＝x+1，定義域?yàn)閧x|x≠選項(xiàng)B：兩個(gè)函數(shù)的解析式不同，故B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)y＝|x|的定義域?yàn)镽，而函數(shù)y＝（x）2的定義域?yàn)閇0，+∞），故C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：因?yàn)閥＝x0＝1，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)y=1x0=1，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠故選：D．【題型3函數(shù)的定義域問題】【方法點(diǎn)撥】(1)根據(jù)解析式有意義的條件，列出關(guān)于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區(qū)間的形式.(2)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)，結(jié)合解析式有意義的條件，列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，即可得解.【例3】（2022秋?開福區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【解題思路】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【解答過程】解：由題意，x＞04?x2≥0，解得∴函數(shù)f（x）=1x+4?x故選：C．【變式3-1】（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇﹣1，15]，則函數(shù)g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式及函數(shù)的定義，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【解答過程】解：因?yàn)閒（x+1）的定義域?yàn)閇﹣1，15]，所以0≤x+1≤16，所以0≤解得1＜x≤4．故選：B．【變式3-2】（2022春?疏勒縣校級(jí)期末）函數(shù)y=x?2x中，自變量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【解題思路】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【解答過程】解：要使原式有意義，則x?2≥0x≠0∴自變量x的取值范圍是x≥2．故選：B．【變式3-3】（2022春?閻良區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域?yàn)锳．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【解題思路】由題意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求出a的范圍．【解答過程】解：∵函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域?yàn)镽，∴ax2+ax當(dāng)a＝0時(shí)，顯然滿足ax2+ax+1≥0恒成立．當(dāng)a＜0時(shí)，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，應(yīng)有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．綜上可得，a∈[0，4]，故選：A．【題型4函數(shù)的值域問題】【方法點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數(shù)的定義域，在由函數(shù)解析式求解；(2)已知函數(shù)值域求參數(shù)問題時(shí)，將給出的值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數(shù)的值或取值范圍.【例4】（2022春?定南縣校級(jí)月考）函數(shù)y=2x?A．(?∞，?158] B．(?∞，?15【解題思路】先進(jìn)行換元，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答過程】解：令t=x?1，則x＝t2+1，t≥0y=2x?x?1=2t2+2﹣t＝2（t?1根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=14時(shí)，函數(shù)取得最小值158，即故選：D．【變式4-1】（2021秋?寧鄉(xiāng)市期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?，+∞）的是（）A．y=x2?2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【解題思路】A中的函數(shù)變成：y＝|x﹣1|≥0，B中的函數(shù)可以變成：y=1+1x+1，由x∈（0，+∞）可得到y(tǒng)∈（1，2），C中的函數(shù)的值域顯然不連續(xù)，所以便選【解答過程】解：A．y=x2?2x+1=|x?1|≥0，∴該函數(shù)的值域?yàn)锽．y=x+2x+1=1+1x+1，∵x＞0，∴x+1＞1，0＜1x+1C．∵x∈N，即該函數(shù)的定義域是由孤立的自然數(shù)組成，所以值域也應(yīng)是不連續(xù)的數(shù)構(gòu)成；D.y=1|x+1|＞0，∴該函數(shù)的值域?yàn)椋ü蔬x：D．【變式4-2】（2022春?水富市校級(jí)期中）若函數(shù)f(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]（b＞a≥2），則實(shí)數(shù)A．(14，4] B．[14，4]【解題思路】由已知結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及已知函數(shù)值域?qū)栴}進(jìn)行轉(zhuǎn)化得m＝a?a?2，m＝b?b?2，問題轉(zhuǎn)化為m＝x?x?2在[2【解答過程】解：因?yàn)閒(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增且函數(shù)的值域?yàn)閇a，b]（b＞a≥所以a?即m＝a?a?2，m＝b?問題轉(zhuǎn)化為m＝x?x?2在[2，+令t=x?2，x＝2+t2且t≥0所以x?x?2=t2﹣t+2，t≥令g（t）＝t2﹣t+2，t≥0，所以y＝m與g（t）＝t2﹣t+2＝（t?12）2+74在因?yàn)間（12）=74，g（2結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，74故選：C．【變式4-3】（2022春?天河區(qū)校級(jí)期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)f(x)=12x2?3x+4(1＜x＜4)，則函數(shù)A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【解題思路】由f(x)=12x2?3x+4=12(x?3)2?12，x∈（1，4），得函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，4）上單調(diào)遞增，從而f(x)min=f(3)=?12，再由f(1)=【解答過程】解：因?yàn)閒(x)=12x2?3x+4=12(x?3所以函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，4）上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(3)=?12，又f(1)=32所以f(x)∈因?yàn)閥＝[f（x）]，所以y∈{﹣1，0，1}．故選：B．【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【方法點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，將自變量代入解析式，求解即可．(2)由函數(shù)解析式，求對(duì)應(yīng)函數(shù)值的自變量的值（或解析式中的參數(shù)值），只需將函數(shù)值代入解析式，建立關(guān)于自變量（或參數(shù)）的方程即可求解.【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【解題思路】由已知中函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)(x＞【解答過程】解：∵已知函數(shù)f(x)={x+1∴f(5f[f(52)]=f(故選：B．【變式5-1】（2022春?祥云縣期末）已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【解題思路】結(jié)合題意，需要對(duì)a進(jìn)行分類討論，若a≤0，則f（a）＝1+a2；若a＞0，則f（a）＝2a，從而可求a【解答過程】解：若a≤0，則f（a）＝a2+1＝10∴a＝﹣3（a＝3舍去）若a＞0，則f（a）＝2a＝10∴a＝5綜上可得，a＝5或a＝﹣3故選：B．【變式5-2】（2021秋?凌河區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)f(x)=12x?1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【解題思路】由分段函數(shù)的解析式知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（X）=12x?1；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1x；分別令f（a【解答過程】解：由題意知，f（a）＝a；當(dāng)a≥0時(shí)，有12a?1=a，解得a＝﹣當(dāng)a＜0時(shí)，有1a=a，解得a＝1（不滿足條件，舍去）或a＝﹣所以實(shí)數(shù)a的值是：a＝﹣1．故選：B．【變式5-3】（2021秋?庫爾勒市校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=x，(x≥0)x2，(xA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解題思路】已知f（x）為分段函數(shù)，把x＝﹣2代入解析式y(tǒng)＝x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看為一個(gè)整體，繼續(xù)代入求解；【解答過程】解：∵已知函數(shù)f(x)=x∴f（﹣2）＝（﹣2）2，∴f（f（﹣2））＝f（4）＝4，故選：C．【題型6函數(shù)的表示法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的三種表示方法的特點(diǎn)，具體問題具體分析，用適合