舉一反三系列高考高中數(shù)學同步及復習資料人教A版必修2專題8.6 簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型檢測）（含答案及解析）

專題8.6簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型檢測）【人教A版2019】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一單元測試）已知正四棱錐的高為3，底面邊長為2，則該棱錐的體積為（

）A．6 B．32 C．2 D．2．（3分）（2023·高一課時練習）若一個圓柱和一個圓錐的底面積相等，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高是圓錐高的（

）A．12 B．13 C．233．（3分）（2023·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（

）A．4 B．6 C．203 D．4．（3分）（2022春·河南信陽·高一階段練習）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關于該多面體的說法中不正確的是（

）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為5D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點的球）5．（3分）（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在三棱錐A?BCD中，

平面ABD⊥平面BCD，△BCD是邊長為23的等邊三角形，AB=AD=2，則該幾何體外接球表面積為（

A．20π B．8π C．28π6．（3分）（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）某車間需要對一個圓柱形工件進行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應設計為（

）A．10 B．15 C．4 D．57．（3分）（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個面為梯形或平行四邊形（至多一個側(cè)面是平行四邊形），其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底面ABCD為正方形，EF=4，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A．22π B．42π C．8．（3分）（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐A－BCD中，AB=BC=CD=DA=22，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱錐A－BCD的所有頂點都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別在線段OB，CD上運動（端點除外），BE=2CF．當三棱錐E－ACF的體積最大時，過點F作球OA．π B．3π C．32二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023秋·浙江衢州·高二期末）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列說法正確的是（

）A．圓錐的高是2 B．圓錐的母線長是4C．圓錐的表面積是16π D．圓錐的體積是10．（4分）（2022秋·福建莆田·高二期中）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術·商功》有如下敘述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵．其一為陽馬，其一為鱉臑”．意思是說：將一個長方體沿對角面斜截（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜截（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1,V2,A．V1+V2+V3=V 11．（4分）（2022秋·山東濰坊·高三階段練習）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為a的截角四面體，則下列說法正確的是（

）A．該截角四面體的內(nèi)切球體積38πaC．該截角四面體的外接球表面積為132πa2 12．（4分）（2022·全國·高三專題練習）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O1，O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1A．球與圓柱的表面積之比為1B．平面DEF截得球的截面面積最小值為16C．四面體CDEF的體積的取值范圍為(0，D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為[2+2三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023春·山東濟南·高三開學考試）已知圓錐側(cè)面展開圖的周長為4+2π，面積為2π，則該圓錐的體積為．14．（4分）（2023春·青海西寧·高三開學考試）已知在三棱錐S?ABC中，SA=SB=SC=62，AB=2，AC⊥BC，則三棱錐外接球的表面積為15．（4分）（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）如圖是我國古代測量糧食的容器“升”，其形狀是正四棱臺，“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”，若該“升”內(nèi)糧食的高度為“平升”的一半時，糧食的體積約為“平升”時體積的14，則該“升”升口邊長與升底邊長的比值為16．（4分）（2023·四川南充·四川省模擬預測）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O1、O2為圓柱上、下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1①平面DEF截得球的截面面積最小值為16π②球的表面積是圓柱的表面積的34③若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為2+25其中所有正確的命題序號為.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·高一課時練習）如圖，已知直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V，M，N分別為棱AA1，18．（6分）（2022·全國·高三專題練習）已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的32，且AC=8，BC=6，AB=1019．（8分）（2022秋·上海楊浦·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的直徑為8cm，圓柱筒高為3cm.(1)求這種“浮球”的體積；(2)要在這樣的3000個“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠多少克？20．（8分）（2022·高一課時練習）如圖所示的圓錐，頂點為O，底面半徑是5cm，用一個與底面平行的平面截得一圓臺，圓臺的上底面半徑為2.5cm，這個平面與母線OA交于點B，線段AB的長為10cm．(1)求圓臺的側(cè)面積；(2)把一根繩從線段AB的中點M開始沿著側(cè)面繞到點A，求這根繩的最短長度；(3)在（2）的條件下，這根繩上的點和圓臺上底面上的點的距離中，最短的距離是多少？21．（8分）（2022秋·上海普陀·高二期中）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3.(1)請估算出堆放的米約有多少斛？(2)若要建造一個底部直徑為4尺的家用圓柱形儲糧倉，試問儲糧倉的高至少為多少尺，才可以將這堆米全部放入？（結果均保留整數(shù)）22．（8分）（2022·高一課時練習）如圖所示，在平面五邊形ABCDE中，AB=AE=CD=2，BC=1，DE=3，∠ABC=90°，∠AED=90°，分別沿AC，AD將△ABC與△ADE折起使得B，E重合于點P（1）三棱錐A?PCD的體積；（2）三棱錐A?PCD的外接球的表面積．專題8.6簡單幾何體的表面積與體積（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一單元測試）已知正四棱錐的高為3，底面邊長為2，則該棱錐的體積為（

）A．6 B．32 C．2 D．【解題思路】直接利用棱錐的體積公式計算即可.【解答過程】根據(jù)棱錐的體積公式得該棱錐的體積為1故選：C.2．（3分）（2023·高一課時練習）若一個圓柱和一個圓錐的底面積相等，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高是圓錐高的（

）A．12 B．13 C．23【解題思路】根據(jù)題意可圓柱的底面積乘以圓柱的高=圓柱的底面積乘以圓錐的高×1【解答過程】圓柱的體積=圓錐的體積×2，即圓柱底面積×圓柱的高=圓錐的底面積×圓錐的高÷3×2，由此推出：圓柱的底面積×圓柱的高=圓柱的底面積×圓錐的高×1整理得，圓柱的高=圓錐的高×23，圓柱的高÷圓錐的高=所以，圓柱的高是圓錐高的23故選：C.3．（3分）（2023·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）過棱長為2的正方體的三個頂點作一截面，此截面恰好切去一個三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（

）A．4 B．6 C．203 D．【解題思路】截去的三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，高為2，求出三棱錐和正方體的體積，作差可得.【解答過程】截去的三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，高為2，三棱錐的體積為V1正方體的體積為V2則該正方體剩余幾何體的體積為V=V故選：C.4．（3分）（2022春·河南信陽·高一階段練習）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關于該多面體的說法中不正確的是（

）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為5D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點的球）【解題思路】由題得該多面體的各頂點為正方體每條棱的中點，判斷選項正誤.【解答過程】由題，連接正方體每條棱的中點可得到該多面體，共12個頂點，該多面體表面為有8個三角形面和6個正方形面，共14個面，A項正確；多面體表面每個三角形面積為12×2所以多面體表面積為38將多面體看作由正方體切去頂點處8個三棱錐得到，每個三棱錐體積為13所以多面體體積V=1原正方體中心到多面體每個頂點（即正方體棱的中點）的距離都為22所以以該點為球心，22故選：B.5．（3分）（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在三棱錐A?BCD中，

平面ABD⊥平面BCD，△BCD是邊長為23的等邊三角形，AB=AD=2，則該幾何體外接球表面積為（

A．20π B．8π C．28π【解題思路】設△ABD外心為O2，△BCD外心為O1，DB中點為E，過外心分別作平面ABD，平面BCD垂線，則垂線交點O為外接球球心.后利用正弦定理可得△BCD，△ABD外接圓半徑r1，r【解答過程】設△ABD外心為O2，△BCD外心為O1，DB因O1E⊥DB，O1E?平面BCD，平面平面ABD∩平面BCD=BD，則O1E⊥平面ABD，又O2則O1E⊥O2E.過O2，O1分別作平面則四邊形O2EO1O又因AB=AD=2，BD=23，則∠BAD=120o.故△ABD又OO又OO1⊥平面BCD，BO1故外接球半徑R=OB=O故外接球表面積為4π故選：A.6．（3分）（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）某車間需要對一個圓柱形工件進行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應設計為（

）A．10 B．15 C．4 D．5【解題思路】表示出表面積后，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得.【解答過程】大圓柱表面積為2×小圓柱側(cè)面積為10×2πr所以加工后物件的表面積為750π+20π故選：D.7．（3分）（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個面為梯形或平行四邊形（至多一個側(cè)面是平行四邊形），其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底面ABCD為正方形，EF=4，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A．22π B．42π C．【解題思路】連接AC、BD交于點M，取EF的中點O，連接OM，求出OM的長，進而求出OA的長，可知OA=OB=OC=OD=OE=OF=2，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進而可求得結果.【解答過程】連接AC、BD交于點M，取EF的中點O，連接OM，則OM⊥平面ABCD.取BC的中點G，連接FG，作GH⊥EF，垂足為H，如圖所示，由題意得，OA=OB=OC=OD，OE=OF=2，HF=14EF=1∴HG=F∴OM=HG=2又∵AM=2∴OA=O∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=2，即：這個羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個羨除的外接球體積為V1∵AB//EF，AB?面CDEF，EF?面∴AB//面CDEF，即：點A到面CDEF的距離等于點B到面CDEF又∵△OED≌△OCD，∴VA?OED∴這個羨除的體積為V2∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為V1故選：A.8．（3分）（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐A－BCD中，AB=BC=CD=DA=22，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱錐A－BCD的所有頂點都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別在線段OB，CD上運動（端點除外），BE=2CF．當三棱錐E－ACF的體積最大時，過點F作球OA．π B．3π C．32【解題思路】作出圖形，輔助線，找到球心位置，求出半徑，設CF＝x，則BE=2x<2，所以0<x<2，表達出三棱錐E－ACF的體積V=?23x?2【解答過程】如圖，取AC的中點O，連接OF，OB，因為∠ADC＝∠ABC＝90°，所以OA=OB=OC=OD=12AC則球O的半徑R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，又平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，OB?平面ABC，所以OB⊥平面ACD．設CF＝x，則BE=2x<2，所以所以三棱錐E－ACF的體積V==1當x=22時，V取得最大值13．由于OA＝OB＝OC在△COF中，由余弦定理得：OF=O根據(jù)球的性質(zhì)可知，當OF垂直于截面時，截面圓的面積最小，設此時截面圓的半徑為r，所以r=R則截面面積的最小值為πr故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023秋·浙江衢州·高二期末）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列說法正確的是（

）A．圓錐的高是2 B．圓錐的母線長是4C．圓錐的表面積是16π D．圓錐的體積是【解題思路】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖可求得圓錐母線和高，進而得到其體積和表面積，即可判斷出正確選項.【解答過程】設圓錐母線為l，高為?，側(cè)面展開圖的弧長與底面圓周長2π×2=4π相等，由弧長公式得π所以圓錐的母線長是4，即B正確；高為?=l圓錐的表面積是S=π圓錐的體積是V=1故選：BD.10．（4分）（2022秋·福建莆田·高二期中）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術·商功》有如下敘述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵．其一為陽馬，其一為鱉臑”．意思是說：將一個長方體沿對角面斜截（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜截（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1,V2,A．V1+V2+V3=V 【解題思路】根據(jù)題意確定塹堵、陽馬和鱉臑的體積與長方體的體積V的數(shù)量關系，即可得答案.【解答過程】解：由題意，塹堵的體積V1=V2，陽馬的體積所以V1+V2+V3所以V2所以，ACD選項正確，B選項錯誤.故選：ACD.11．（4分）（2022秋·山東濰坊·高三階段練習）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為a的截角四面體，則下列說法正確的是（

）A．該截角四面體的內(nèi)切球體積38πaC．該截角四面體的外接球表面積為132πa2 【解題思路】根據(jù)內(nèi)切球的直徑等于正四面體高的23可求解A項，利用每個截角體積等于正四面體體積的127可求解B項，利用勾股定理求外接球的半徑可求解C項，利用勾股定理可確定【解答過程】該四面體底面正三角形的高等于(3a)2所以四面體的高?=(3a)由圖可知，該截角四面體的內(nèi)切球的直徑等于23所以內(nèi)切球的體積等于43正四面體的體積V=1所以剪掉一個角的體積等于127所以該截角四面體的體積為V?4×1取上下底面的中心為O',O''因為截角四面體上下底面間的距離等于23設外接球的半徑等于R，因為ABC為邊長等于a的正三角形，所以ABC的高等于a2?a又因為下底面EFHILK為正六邊形，所以O'所以R2?所以R2?a所以S=4π連接AE,AF，則AE//BD,所以AE=2a，由正四面體對棱互相垂直可知，LI⊥BD,所以EF⊥AE,在直角△AEF中，AF=A所以△AEF外接圓的面積為π4故選:BD.12．（4分）（2022·全國·高三專題練習）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O1，O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1A．球與圓柱的表面積之比為1B．平面DEF截得球的截面面積最小值為16C．四面體CDEF的體積的取值范圍為(0，D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為[2+2【解題思路】利用球的表面積公式及圓柱的表面積公式可判斷A，由題可得O到平面DEF的距離為d1≤255，進而可得平面DEF截得球的截面面積最小值可判斷B，由題可得四面體CDEF的體積等于2VE?DCO1可判斷C，設P【解答過程】由球的半徑為r，可知圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，則球表面積為4πr2，圓柱的表面積所以球與圓柱的表面積之比為23過O作OG⊥DO1于G，則由題可得設O到平面DEF的距離為d1，平面DEF截得球的截面圓的半徑為r則d1≤OG，所以平面DEF截得球的截面面積最小值為165由題可知四面體CDEF的體積等于2VE?DCO1，點E到平面又S△DCO1由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設P在底面的射影為P'則PP設t=P'E2，則所以PE+PF=24+2?所以PE+PF∈2+2故選：BCD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023春·山東濟南·高三開學考試）已知圓錐側(cè)面展開圖的周長為4+2π，面積為2π，則該圓錐的體積為33π或4【解題思路】根據(jù)給定條件，求出圓錐底面圓半徑、母線長，進而求出高即可計算作答.【解答過程】設圓錐的底面圓半徑為r，母線長l，則圓錐側(cè)面展開圖扇形弧長為2π依題意，2πr+2l=4+2ππrl=2π，即當r=1l=2時，圓錐的高?=l2當r=2πl(wèi)=π時，圓錐的高所以該圓錐的體積為33π或故答案為：33π或14．（4分）（2023春·青海西寧·高三開學考試）已知在三棱錐S?ABC中，SA=SB=SC=62，AB=2，AC⊥BC，則三棱錐外接球的表面積為9【解題思路】設AB的中點為D，證明SD⊥平面ABC，求出SD的長，列式計算求得三棱錐外接球的半徑，即可求得答案.【解答過程】設AB的中點為D，因為AC⊥BC，所以D為△ABC的外心，則DA=DB=DC,因為SA=SB=SC，則△SDA≌△SDB≌△SDC,則∠SDA=∠SDB=90°，則∠SDC=90而AB∩DC=D,AB,DC?平面ABC,所以SD⊥平面ABC.因為AB=2,AC⊥BC，所以AD=DB=DC=1，因為SA=62，所以由題意知三棱錐的外接球的球心O在直線SD上，設外接球的半徑為R，則R2=(R?所以三棱錐外接球表面積為4π故答案為：9π15．（4分）（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）如圖是我國古代測量糧食的容器“升”，其形狀是正四棱臺，“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”，若該“升”內(nèi)糧食的高度為“平升”的一半時，糧食的體積約為“平升”時體積的14，則該“升”升口邊長與升底邊長的比值為1+6【解題思路】利用設邊長的方法，結合題中所給條件列方程求解.【解答過程】設升底邊長為a，升口邊長為ka，則“升”內(nèi)糧食的高度為“平升”的一半時，上表面邊長為a+ka2設“升”的高度為?，“升”內(nèi)糧食的高度為“平升”的一半時，糧食的體積約為“平升”時體積的14則有13化簡得k2?2k?5=0，由k>0，解得k=1+6故答案為：1+616．（4分）（2023·四川南充·四川省模擬預測）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，O1、O2為圓柱上、下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1①平面DEF截得球的截面面積最小值為16π②球的表面積是圓柱的表面積的34③若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為2+25其中所有正確的命題序號為①③.【解題思路】過點O在平面ABCD內(nèi)作OG⊥DO1，垂足為點G，分析可知當OG⊥平面DEF時，截面圓的半徑最小，求出截面圓的半徑，結合圓的面積公式可判斷①；利用球體和圓柱的表面積公式可判斷②；P在底面的射影為P'，設令P'F2=8?t，則P'E【解答過程】對于①，過點O在平面ABCD內(nèi)作OG⊥DO1，垂足為點易知O1O2⊥CD，由勾股定理可得O1則由題可得OG=1設O到平面DEF的距離為d1，平面DEF截得球的截面圓的半徑為r因為O1D?平面DEF，當OG⊥平面DEF時，d1取最大值OG所以，r1所以平面DEF截得球的截面面積最小值為π×45對于②，因為球的半徑為r，可知圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，球的表面積為4πr2所以球與圓柱的表面積之比為4πr2對于③，由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設P在底面的射影為P'則PP'=2，PE=由勾股定理可得P'E2+P'F所以，PE+PF=12+t所以，PE+PF2因此，PE+PF∈25+2,4故答案為：①③.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·高一課時練習）如圖，已知直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V，M，N分別為棱AA1，【解題思路】結合已知條件，利用割補法和等體積法即可求解.【解答過程】由題意，不妨設直三棱柱ABC?A1B∵AM=12A∴AM=12t故S△AMN=1從而S△AMN=∵V=∵VB?ACN=V∴VB?AMNC18．（6分）（2022·全國·高三專題練習）已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的32，且AC=8，BC=6，AB=10【解題思路】設球的半徑為R，根據(jù)R與球體截面半徑，球心、截面的距離間的幾何關系求R，進而求球體的表面積、體積.【解答過程】如圖，設球的半徑為R，球心為O，截面圓心為O1，則O在△ABC中，由AC2+B∴O1是AB的中點，即O1B=∴(32R)∴球的表面積S=4πR球的體積V=419．（8分）（2022秋·上海楊浦·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的直徑為8cm，圓柱筒高為3cm.(1)求這種“浮球”的體積；(2)要在這樣的3000個“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠多少克？【解題思路】（1）由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；（2）由球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求解出一個的表面積，然后乘以3000得總面積，按照規(guī)定再乘以0.1即可解決問題.【解答過程】（1）由題意得該幾何體由兩個半球和一個圓柱筒組成，所以體積為一個球體體積和一個圓柱體積之和，由球體的體積為：V1圓柱體積為：V2所以浮球的體積為：V=V（2）上下半球的表面積：S1圓柱側(cè)面積：S2所以，1個浮球的表面積為S=64π3000個浮球的表面積為：3000×88π=264000πcm因此每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠264000π×20．（8分）（2022·高一課時練習）如圖所示的圓錐，頂點為O，底面半徑是5cm，用一個與底面平行的平面截得一圓臺，圓臺的上底面半徑為2.5cm，這個平面與母線OA交于點B，線段AB的長為10cm．(1)求圓臺的側(cè)面積；(2)把一根繩