432等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容選自選擇性必修二第四章《數(shù)列》第4.3.2節(jié)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》第1課時(shí).本節(jié)內(nèi)容的本質(zhì)是等比數(shù)列定義的代數(shù)變形.本節(jié)蘊(yùn)含的思想方法是歸納推理、分類討論.本節(jié)既是特殊的函數(shù)，又是后續(xù)研究微積分問(wèn)題的有力工具.本節(jié)內(nèi)容的育人價(jià)值為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)（1）經(jīng)歷了探索等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的過(guò)程，積累了特殊數(shù)列求和的研究經(jīng)驗(yàn).（2）初步具備了從函數(shù)與方程的角度看待數(shù)列問(wèn)題的思維習(xí)慣.2.認(rèn)知困難（1）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式導(dǎo)出（2）“倒序相加法”和“錯(cuò)位相減法”思維方法不同，容易產(chǎn)生知識(shí)的負(fù)遷移.教學(xué)目標(biāo)1.能夠從情境中抽象并建立等比數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)學(xué)模型.2.能夠說(shuō)明錯(cuò)位相減的意義，并能夠推導(dǎo)公式.3.能夠運(yùn)用公式解決具體的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法.難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法（錯(cuò)位相減法）的理解及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景導(dǎo)入視頻引入：國(guó)際象棋起源于古印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么.發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒……依次類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.已知1000顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國(guó)王能否實(shí)現(xiàn)他的諾言.【設(shè)計(jì)意圖】：用視頻的形式進(jìn)行情景引入，從中提出研究課題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.（二）猜想公式問(wèn)題1：故事里可以提煉出一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？將麥粒總數(shù)為？一般化等比數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題.探究：等比數(shù)列如何求和？猜想.問(wèn)題2：公比為q，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？舉例：歸納猜想：找出統(tǒng)一的形式結(jié)構(gòu)，用基本量表示，得，所以.檢驗(yàn)公式：當(dāng)q=3，q=4時(shí)，公式是否成立？猜想公式：一般地，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.如何推導(dǎo)證明公式？【設(shè)計(jì)意圖】：教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般歸納公式、檢驗(yàn)公式，在歸納猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)證明，先猜后證，基于最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行后續(xù)思維活動(dòng).（三）推導(dǎo)公式任務(wù)1：分組討論公式的推導(dǎo)過(guò)程？教師板書：①①×q得②①②得，即．當(dāng)時(shí)，我們就得到了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式 ; 當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和.小結(jié)：該方法稱為錯(cuò)位相減法.任務(wù)2：為什么乘以q，可以乘以其它數(shù)嗎？①×得①×得你選擇乘以哪個(gè)數(shù)？【設(shè)計(jì)意圖】：教師在學(xué)生嘗試證明公式受挫后，組織學(xué)生帶著任務(wù)閱讀教材，理解錯(cuò)位相減法.教師引導(dǎo)學(xué)生深入思考方法的本質(zhì)，構(gòu)建錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列定義之間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成定義與應(yīng)用之間的高階認(rèn)知，進(jìn)而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).（四）分析公式已知?jiǎng)t；已知?jiǎng)t；特殊情況：當(dāng)時(shí)，.【設(shè)計(jì)意圖】：首先分析公式的基本結(jié)構(gòu)和特征要素，促進(jìn)學(xué)生更新已有認(rèn)知、形成完整結(jié)構(gòu).結(jié)合等比數(shù)列定義得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的第二種形式，并強(qiáng)調(diào)特殊情況下的求和公式，實(shí)現(xiàn)思維的高通路遷移.（五）應(yīng)用公式1.回歸情景：棋盤上米粒數(shù)量.1000粒小麥的質(zhì)量約為40g，麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了7000億噸.如果按2022年世界小麥年產(chǎn)量26.28億噸計(jì)算，是連續(xù)270多年產(chǎn)量總和；如果按人均每天吃1kg糧食計(jì)算，可供全世界80億人吃上約240年.就算國(guó)王湊齊了小麥，這些小麥可以從地球到太陽(yáng)累計(jì)成一個(gè)長(zhǎng)10米，寬5米的“巨柱”.2.我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中記載：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增.共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？翻譯：已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，，求？【設(shè)計(jì)意圖】：回歸情境解決問(wèn)題，既形成首尾呼應(yīng)，又學(xué)以致用，激發(fā)學(xué)生的獲得感.解決我國(guó)明代數(shù)學(xué)家記載的問(wèn)題，讓學(xué)生翻譯詩(shī)文、轉(zhuǎn)化條件，既做到學(xué)科融合，又激發(fā)文化自信，在課堂落實(shí)文化育人的立德樹(shù)人目標(biāo).3.類比（六）課堂小結(jié)由錯(cuò)位相減法，得到.特殊情況：當(dāng)時(shí)，.思想方法：特殊到一般，分類討論，歸納猜想.【設(shè)計(jì)意圖】：整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)問(wèn)題串激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生層層深入、逐步遞進(jìn).在活動(dòng)探究中抓住課堂生成的契機(jī)，進(jìn)行互評(píng)、他評(píng)，實(shí)施過(guò)程性評(píng)價(jià)、表現(xiàn)性評(píng)價(jià)；在目標(biāo)達(dá)成中進(jìn)行自評(píng)、師評(píng)，實(shí)施形成性評(píng)價(jià)、激勵(lì)性評(píng)價(jià)，推進(jìn)“教、學(xué)、評(píng)”一體化的落實(shí).（七）課后作業(yè)1.復(fù)習(xí)鞏固（必做）：課本第37頁(yè)第1題2.綜合應(yīng)用（必做）：課本第41頁(yè)第7題3.拓廣探索（選做）：（美育作業(yè)）收集古今中外有關(guān)等比數(shù)列求和的歷史成就，制作一幅畫報(bào)，畫報(bào)中至少含一個(gè)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的歷史成就.（發(fā)展性作業(yè)）請(qǐng)查閱“芝諾悖論”“康托爾三分集”“一尺之錘”等材料，探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的極限問(wèn)題，并將你的思考寫成一篇小論文.【設(shè)計(jì)意圖】：分層設(shè)置作業(yè)，關(guān)注層次化差異和興趣化導(dǎo)向，注重作業(yè)設(shè)計(jì)的