第03講平行線的性質(zhì)

第03講平行線的性質(zhì)知識點1：平行線性質(zhì)性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言：∵a∥b，∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）．性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．幾何語言：∵a∥b，∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．幾何語言：∵a∥b，∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．知識點2：命題內(nèi)容定義能判斷一件事情的語句，叫做命題．組成命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推出來的事項表達(dá)形式通?？梢詫懗伞叭绻?.....,那么......”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．分類題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題．題設(shè)成立，結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題．考點剖析考點一：利用平行線性質(zhì)求角度【典例1】如圖，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，故選：B．【變式11】如圖，直線，直線，若，則（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】，，，，，，故選：B．【變式12】如圖，，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴．∵，∴，∴．故選：A．【變式13】如圖，直線，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，∴，故選：B．考點二：利用平行線性質(zhì)解決三角板問題【典例2】已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中、兩點分別落在直線，上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴，故選：D．【變式21】將一副直角三角板和如圖放置（其中，），使點落在邊上，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：．【變式22】將等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如圖所示的方式擺放，點在上，若，則的度數(shù)是（

）

A．12° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴．故選：B．【變式23】已知，一塊含角的直角三角形如圖放置，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，過P作，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．

考點三：利用平行線性質(zhì)解決折疊問題【典例3】如圖，將長方形沿折疊，使點落在點處，點落在邊上的點處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，由折疊可知，在長方形中，，，故選：D．【變式31】如圖，把一張對邊互相平行的紙條，沿折疊，則以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】D【解析】∵，∴，∵折疊，∴，∴，故①正確；∵，∴，又，∴，∴，故②正確；∵，∴，又，∴，故③正確；∵，，又，∴，∴，∵，∴，故④正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，故⑤正確，故選：D．【變式32】將一張長方形紙條按如圖所示折疊，若，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．【答案】C【解析】標(biāo)記點，如圖所示，

∵，∴，又∵，∴，由折疊可得，，∴，故選：C．考點四：平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用【典例4】如圖，某人騎自行車自沿正東方向前進(jìn)，第一次在處拐彎，兩次拐彎后，仍沿正東方向行駛，兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次右拐，第二次左拐B．第一次右拐，第二次左拐C．第一次左拐，第二次左拐D．第一次右拐，第二次左拐【答案】B【解析】如圖，由選項可知，，，故第一次右拐，第二次左拐，故選：．【變式41】如圖，某人騎自行車自沿正東方向前進(jìn)，至處后，行駛方向改為南偏東，若行駛到處仍按正東方向行駛，則他在處的實際拐彎方向為（）

A．左拐 B．左拐 C．右拐 D．右拐【答案】B【解析】由題意得，過點作，如圖所示，

某人騎自行車自沿正東方向前進(jìn)，至處后，行駛方向改為南偏東，.，.若行駛到處仍按正東方向行駛，則他在處的實際拐彎方向為向左拐.故選：B.【變式42】如圖，C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向，則．

【答案】【解析】過點作．

，，．，，同理：．，故答案為：．【變式43】如圖，的一邊是平面鏡，，點C是上一點，一束光線從點C射出，經(jīng)過平面鏡上的點D反射后沿射線射出，已知，要使反射光線，則的度數(shù)是度．

【答案】【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．考點五：利用平行線的判定與性質(zhì)的綜合【典例5】如圖，在△中，，F(xiàn)、G是、上的兩點，．

(1)求證：；(2)若，平分，求的度數(shù)．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【變式51】如圖，已知，．(1)求證：；(2)如果，求的度數(shù)．【解析】（1）∵，∴，∴．（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴．【變式52】如圖，已知．

(1)判斷和的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若平分，求和的度數(shù)．【解析】（1），理由如下：，，，，，，，即，．（2），，平分，，，，，，，，．考點六：命題的判定【典例6】下列語句中，是命題的有（

）①若兩個角相等，則它們是對頂角；②等腰三角形兩底角相等；③畫線段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】①②④⑤符合命題的定義，而③不能寫出題設(shè)與結(jié)論出來，故不是命題，所以是命題的有4個，故選C．【變式61】下列語句是命題的是（

）A．在線段上取點C B．作直線的垂線 C．垂線段最短嗎？ D．相等的角是對頂角【答案】D【解析】A、在線段上取點C不是命題，故A選項錯誤；B、作直線的垂線不是命題，故B選項錯誤；C、垂線段最短嗎？是疑問句，不是命題,故C選項錯誤；D、相等的角是對頂角，是命題，故D選項正確．故選：D．【變式62】下列語句不是命題的是（

）A．兩條直線相交只有一個交點 B．大于直角的角是鈍角C．同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．作的平分線【答案】D【解析】A、兩條直線相交有且只有一個交點，是命題，不符合題意；B、大于直角的角是鈍角，是命題，不符合題意；C、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是命題，不符合題意；D、作的平分線，沒有對事情作出判斷，不是命題，符合題意．故選：D．考點七：真假命題的判斷【典例7】下列命題中，是真命題的是（

）A．同角的余角互補(bǔ) B．同位角相等C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角【答案】C【解析】A.同角的余角相等，不符合題意；B.同位角不一定相等，不符合題意；C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等，符合題意；D.三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角，不符合題意．故選：C．【變式71】下列命題；①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則．其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；②兩個銳角的和不一定是鈍角，錯誤，是假命題，不符合題意；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則，正確，是真命題，符合題意；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則，正確，是真命題，符合題意．真命題有2個，故選：B．【變式72】下列命題中，是假命題的是（

）A．同位角相等，兩直線平行 B．對頂角相等C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 D．兩點之間，線段最短【答案】C【解析】A、“同位角相等，兩直線平行”是真命題，故不符合題意；B、“對頂角相等”是真命題，故不符合題意；C、“兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等”是假命題，缺少平行條件，故符合題意；D、“兩點之間，線段最短”是真命題，故不符合題意．故選C．考點八：命題的改寫【典例8】把“同角的余角相等”改成“如果……，那么……”：．【答案】如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【解析】“同角的余角相等”改寫成“如果……那么……”：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等，故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【變式81】把“一個銳角的補(bǔ)角大于這個銳角的余角”寫成“如果……那么……”的形式．【答案】如果一個角是銳角，那么這個銳角的補(bǔ)角大于它的余角【解析】“一個銳角的補(bǔ)角大于這個銳角的余角”的條件是：一個角是銳角，結(jié)論是：這個銳角的補(bǔ)角大于它的余角，寫成“如果……那么……”的形式為：如果一個角是銳角，那么這個銳角的補(bǔ)角大于它的余角，故答案為：如果一個角是銳角，那么這個銳角的補(bǔ)角大于它的余角．【變式82】把命題“平行于同一直線的兩直線平行”改寫成“如果……，那么……”的形式：．【答案】如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行【解析】命題“平行于同一直線的兩直線平行”可以改寫為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．故答案為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．考點九：命題的證明過程【典例9】如圖，點在上，直線交于點．請從①，②平分，③中任選兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并求證．已知：______，求證：______．（只須填寫序號）證明：【答案】①②，③，證明見解析．（答案不唯一）【解析】已知①②，求證∶③，證明∶∵，∴，∵平分，∴，∴．故答案為∶①②；③．【變式91】如圖所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三個條件中，任選兩個作題設(shè)，另一個作為結(jié)論，組成一個命題，并證明．【解析】已知,DE∥BC，∠1＝∠2.求證：∠B＝∠C.證明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.【變式92】如圖，直線和直線，直線和直線都被直線所截．在下面三個條件中，請你選擇其中兩個作為題設(shè)，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題并證明．①，；②；③.【解析】由①②得到③已知：如圖，，，．求證：．證明：∵，，∴，又∵BE∥CF，∴，∴，∴．由①③得到②已知：如圖，，，．求證：．證明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．過關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，直線，被直線所截，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∴，故選C．2．下列語句是命題的是（

）A．在線段上取點C B．作直線的垂線 C．垂線段最短嗎？ D．相等的角是對頂角【答案】D【解析】A、在線段上取點C不是命題，故A選項錯誤；B、作直線的垂線不是命題，故B選項錯誤；C、垂線段最短嗎？是疑問句，不是命題,故C選項錯誤；D、相等的角是對頂角，是命題，故D選項正確．故選：D．3．下列圖形中，由能得到的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】A．由可得，故A選項錯誤；B．如圖，

∵∴，∵，∴．故B選項正確；C．由可得，故C選項錯誤；D．由不能得到，，故D選項錯誤．故選：B4．如圖，點在點的正東方向上，點在點的北偏東方向上，點在點的北偏東方向上，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，

依題意，，∴，故選：A．5．如圖，是的角平分線，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，．∵是的角平分線，∴，∴，故選：C．6．下列命題，其中真命題有(

)①相等的兩個角是對頂角；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③垂線段最短；④過一點有且只有一條直線與這條直線平行；⑤在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則；⑥在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】①相等的兩個角是對頂角，是假命題；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是假命題；③垂線段最短，是真命題；④過一點有且只有一條直線與這條直線平行，是假命題；⑤在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則，是真命題；⑥在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則，是真命題．所以真命題的③⑤⑥，共3個，故選：C．7．如圖，直線，點在直線上，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，

∵，∴∴∵，∴，∵，∴，故選：C．8．如圖，平行線間的三個圖形，下列說法正確的是（

）

A．平行四邊形的面積大 B．三角形的面積大 C．梯形的面積大 D．三個圖形的面積相等【答案】D【解析】設(shè)該組平行線間的距離為h，平行四邊形的面積，三角形的面積，梯形的面積，∴三個圖形的面積相等，故選：D．9．如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，

由題意可知，∴，∴．故選C．10．衛(wèi)星信號接收鍋、汽車燈等很多燈具都與拋物線有關(guān)，如圖，從點O照射到拋物線上的光線、等反射以后沿著與平行的方向射出，已知，，那么的度數(shù)是