舉一反三系列高二高考數(shù)學同步及復習資料人教A版選擇性必修2專題4.11 數(shù)學歸納法（重難點題型精講）（含答案及解析）

專題4.11數(shù)學歸納法（重難點題型精講）1．歸納法由一系列有限的特殊事件得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法.歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.2．數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：第一步(歸納莫基)，證明當n取第一個值()時命題成立；第二步(歸納遞推)，以當n=k(k≥,k)時命題成立為條件，推出當n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法稱為數(shù)學歸納法.3．數(shù)學歸納法的重要結論及適用范圍【題型1數(shù)學歸納法的證明步驟】【方法點撥】結合所給條件，根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，進行求解即可.【例1】（2022·上海·高二專題練習）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1?12+13?1A．n=k+1時不等式成立 B．n=k+2時不等式成立C．n=2k+2時不等式成立 D．n=2k+2【變式1-1】（2022·吉林·模擬預測（理））用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+?+A．1=1?a31?a B．1+a=1?a【變式1-2】（2022·上?！じ叨ｎ}練習）用數(shù)學歸納法證明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?，從kA．2k+1 B．2C．2k+1k+1 D．【變式1-3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習）在用數(shù)學歸納法求證：n+1n+2?n+n=2n?1?3?A．2k+2 B．2k+1C．2k+22k+1 D．【題型2用數(shù)學歸納法證明恒等式】【方法點撥】數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù)有關的恒等式問題，其關鍵在于第二步，它有一個基本格式，我們不妨設命題為P(n)：f(n)=g(n).其第二步相當于做一道條件等式的證明題.【例2】（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【變式2-1】（2022·廣西河池·高二階段練習（理））用數(shù)學歸納法證明：12+1+【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：1×22+2×【題型3用數(shù)學歸納法證明不等式】【方法點撥】1.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的不等式，一般有三種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是比較兩個式子的大小，先利用n的幾個特殊值猜想大小再給出證明；三是已知不等式成立，尋求變量的取值范圍.2.在證明由n=k到n=k+1成立時，一定要用歸納假設n=k時得到的中間過渡式，由過渡式到目標式的證明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.【例3】（2022·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明1+12+13+…+12n≤12+n(【變式3-1】（2021·全國·高二專題練習）求證：(1+1【變式3-2】證明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）證明：不等式1+1【題型4用數(shù)學歸納法證明幾何問題】【方法點撥】用數(shù)學歸納法證明幾何問題，關鍵是找出從n=k到n=k+1時圖形的變化.【例4】（2022·全國·高二課時練習）求證：n棱柱中過側棱的對角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側棱的截面)的個數(shù)是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*【變式4-1】（2022·江蘇·高二課時練習）平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù)f(n)=n(n?1)【變式4-2】（2022·全國·高二課時練習）平面內(nèi)有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這n個圓把平面分成了n2【變式4-3】在平面直角坐標系中，函數(shù)f（x）＝1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數(shù)f（x）＝1﹣x2的圖象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k個矩形的面積，Sn表示這n個矩形的面積總和．（1）求ak的表達式；（2）利用數(shù)學歸納法證明12+22【題型5用數(shù)學歸納法證明整除問題】【方法點撥】用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵是把n=k+1時的被除數(shù)分解成n=k時的式子及含有除數(shù)的式子的形式.【例5】（2022·上海·高二專題練習）證明：當n∈N?時，【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時練習）先猜想，再用數(shù)學歸納法證明你的猜想：n3【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習）證明：n3【變式5-3】（2021·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明：n3+n+13+【題型6用歸納法解決與遞推公式有關的數(shù)列問題】【方法點撥】在給出了已知數(shù)列的遞推關系的情況下，可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項，利用不完全歸納法得出結論，然后利用數(shù)學歸納法證明該結論.正確計算是歸納的前提，常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關結論是歸納的橋梁，而運用數(shù)學歸納法證明才是歸納的最終歸宿.【例6】（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中(1)試求：a2，a3的值，并猜想數(shù)列{a(2)用數(shù)學歸納法加以證明.【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a2（1）求S12、S2（2）由（1）猜想數(shù)列Sn【變式6-2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an+1=a（Ⅰ）求數(shù)列{an}的第2，3，4項；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結果，猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法進行證明．【變式6-3】（2022·廣西·高二階段練習（理））請你從下列兩個遞推公式中，任意選擇一個填入題中橫線上，并解答題后的兩個問題：①Sn?1②a已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求a2(2)猜想數(shù)列an專題4.11數(shù)學歸納法（重難點題型精講）1．歸納法由一系列有限的特殊事件得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法.

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.2．數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：

第一步(歸納莫基)，證明當n取第一個值()時命題成立；

第二步(歸納遞推)，以當n=k(k≥,k)時命題成立為條件，推出當n=k+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法稱為數(shù)學歸納法.3．數(shù)學歸納法的重要結論及適用范圍【題型1數(shù)學歸納法的證明步驟】【方法點撥】結合所給條件，根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，進行求解即可.【例1】（2022·上海·高二專題練習）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1?12+13?1A．n=k+1時不等式成立 B．n=k+2時不等式成立C．n=2k+2時不等式成立 D．n=2k+2【解題思路】利用已知及其數(shù)學歸納法的定義即可得出．【解答過程】若已假設n=k（k>2，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立．故選：B．【變式1-1】（2022·吉林·模擬預測（理））用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+?+A．1=1?a31?a B．1+a=1?a【解題思路】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟要求，第一步歸納奠基時，驗證n=1時的等式，結合所要證明的等式，即可得答案.【解答過程】將n=1代入等式1+a+a2+?+則第一步歸納奠基時，要驗證的等式即為1+a+a故選：D.【變式1-2】（2022·上?！じ叨ｎ}練習）用數(shù)學歸納法證明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?，從kA．2k+1 B．2C．2k+1k+1 D．【解題思路】按照數(shù)學歸納法類比題干條件逐項展開即可.【解答過程】當n=k時,左邊等于(k+1)(k+2)???(k+k);當n=k+k+1+即左邊等于(k+2)(k+3)???(k+k)(2k+1)(2k+2)；所以左邊增乘的項為2k+12k+2故選：B.【變式1-3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習）在用數(shù)學歸納法求證：n+1n+2?n+n=2n?1?3?A．2k+2 B．2k+1C．2k+22k+1 D．【解題思路】根據(jù)題意，分別得到n=k和n=k+1時，左邊對應的式子，兩式作商，即可得出結果.【解答過程】當n=k時，左邊A=(k+1)(k+2)?(k+k)=(k+1)(k+2)?(2k)，當n=k+1時，左邊B=(k+1)(k+2)?(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)?(2k+2)，則BA故選：D.【題型2用數(shù)學歸納法證明恒等式】【方法點撥】數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù)有關的恒等式問題，其關鍵在于第二步，它有一個基本格式，我們不妨設命題為P(n)：f(n)=g(n).其第二步相當于做一道條件等式的證明題.【例2】（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【解題思路】先驗證n=1時，等式成立，再假設n=k時，1×2+2×5+???+k3k?1=k【解答過程】證明：①當n=1時，1×2+2×5+???+n3n?1=1×2，②假設n=k時，1×2+2×5+???+k3k?1則n=k+1時，1×2+2×5+???+k=(k+1)(k即n=k+1時，等式成立，綜合①②可知，1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【變式2-1】（2022·廣西河池·高二階段練習（理））用數(shù)學歸納法證明：12+1+【解題思路】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟即可完成證明【解答過程】證明：①當n=1時，左邊=2，右邊=1②假設當n=k(k∈N即12那么當n=k+1時，12+1=1故當n=k+1時，等式也成立．綜上可知等式對任意正整數(shù)n都成立．【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).【解題思路】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟證明即可.【解答過程】證明：（1）當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.（2）假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1)[2(k＋1)－3]＋3，即當n＝k＋1時，等式也成立.由（1）（2）知，等式對任何n∈N*都成立.【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：1×22+2×【解題思路】首先假設首項成立，再假設n=kk≥1,k∈N?【解答過程】（1）當n=1時，左邊=1×2右邊=1×所以左邊=右邊，等式成立.（2）假設當n=kk≥1,k∈即1×2那么當n=k+1時，1×====k+1綜上，對任何n∈N【題型3用數(shù)學歸納法證明不等式】【方法點撥】1.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的不等式，一般有三種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是比較兩個式子的大小，先利用n的幾個特殊值猜想大小再給出證明；三是已知不等式成立，尋求變量的取值范圍.2.在證明由n=k到n=k+1成立時，一定要用歸納假設n=k時得到的中間過渡式，由過渡式到目標式的證明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.【例3】（2022·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明1+12+13+…+12n≤12+n(【解題思路】按數(shù)學歸納法證明命題的步驟直接證明即可.【解答過程】(1)當n＝1時，左邊=1+1即當n＝1時，原不等式成立，(2)假設當n=k(k∈N*)時，原不等式成立，即1+12+13+…+12k≤則當n=k+1時，1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12即當n=k+1時，不等式成立，綜合(1)和(2)得，原不等式對所有的n∈N*都成立.【變式3-1】（2021·全國·高二專題練習）求證：(1+1【解題思路】根據(jù)給定條件借助數(shù)學歸納法證明命題的一般步驟直接證明即可.【解答過程】(1)當n=2時，左邊=1+13=(2)假設當n=k(k≥2，k∈N*)時，原不等式成立，即(1+1則當n=k+1時，左邊=(1+=2k+1因此，當n=k+1時，原不等式成立，綜合(1)和(2)知，對一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.【變式3-2】證明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈【解題思路】利用數(shù)學歸納法可證明，先假設n＝k時成立，再證明n＝k＋1時成立即可.【解答過程】當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即1+1當n＝k＋1時，1+<2<(所以當n＝k＋1時，不等式成立．綜上，原不等式對任意n∈N*都成立．【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）證明：不等式1+1【解題思路】用數(shù)學歸納法證明，由n=1時成立，再假設n=k時，不等式1+12+【解答過程】當n=1時，1>1假設n=k時，不等式1+1那么n=k+1時，1+1∵12k?1+1>12∴1+1即n=k+1時，該不等式也成立，綜上：不等式1+1【題型4用數(shù)學歸納法證明幾何問題】【方法點撥】用數(shù)學歸納法證明幾何問題，關鍵是找出從n=k到n=k+1時圖形的變化.【例4】（2022·全國·高二課時練習）求證：n棱柱中過側棱的對角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側棱的截面)的個數(shù)是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*【解題思路】用數(shù)學歸納法證明即可.【解答過程】證明:（1）當n＝4時，四棱柱有2個對角面，此時f(4)＝12（2）假設當n＝k(k≥4，k∈N*)時，命題成立.即k棱柱中過側棱的對角面有f(k)＝12k(k現(xiàn)在考慮n＝k＋1時的情形.對于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1與其余和它不相鄰的(k－2)條棱共增加了(k－2)個對角面，而面A1B1BkAk變成了對角面.因此對角面的個數(shù)為f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝12(由（1）和（2），可知原結論成立.【變式4-1】（2022·江蘇·高二課時練習）平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù)f(n)=n(n?1)【解題思路】利用數(shù)學歸納法的證明步驟，即可證明結論．【解答過程】證明：（1）當n=2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)=1∴當n=2時，命題成立．（2）假設n=k∈N?，且(k>2)時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設的任何k條直線交點個數(shù)那么，當n=k+1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點個數(shù)為f(k)=12k(k?1)，l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k+1即f(k+1)=f(k)+k=1這表明，當n=k+1時，命題成立．由（1）、（2）可知，對n∈N【變式4-2】（2022·全國·高二課時練習）平面內(nèi)有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這n個圓把平面分成了n2【解題思路】利用數(shù)學歸納法進行證明.【解答過程】當n=1時，1個圓將平面分為2個區(qū)域，12假設當n=k時，k個圓將平面分為k2當n=k+1時，第k+1個圓Ck+1與前k個圓交于2k個點，這2k個點把這個圓分為2k因此，這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎上又增加了2k個部分，即k2即當n=k+1時，命題成立，根據(jù)數(shù)學歸納法可得：平面內(nèi)有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，這n個圓把平面分成了n2【變式4-3】在平面直角坐標系中，函數(shù)f（x）＝1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數(shù)f（x）＝1﹣x2的圖象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k個矩形的面積，Sn表示這n個矩形的面積總和．（1）求ak的表達式；（2）利用數(shù)學歸納法證明12+22【解題思路】（1）第k個矩形的高為1?(k（2）先用數(shù)學歸納法證明12+22+?+n【解答過程】解：（1）由題意第k個矩形的高是1?∴ak（2）（i）當n＝1時，13（ii）設n＝k時命題成立，即12則n＝k+1時，1=1=1∴n＝k+1時命題成立，綜上，n∈N*時，命題為真，即12∴S=1?【題型5用數(shù)學歸納法證明整除問題】【方法點撥】用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵是把n=k+1時的被除數(shù)分解成n=k時的式子及含有除數(shù)的式子的形式.【例5】（2022·上海·高二專題練習）證明：當n∈N?時，【解題思路】運用數(shù)學歸納法進行證明即可.【解答過程】（1）當n=1時，f1（2）假設當n=kk≥1,k∈N?則當n=k+1時，fk+1故fk+1綜合（1）（2）可知當n∈N?時，【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時練習）先猜想，再用數(shù)學歸納法證明你的猜想：n3【解題思路】先分別用n取1,2,3,4時驗證，則可猜想：n3【解答過程】n=1時，原式=6，n=2時，原式=18，n=3時，原式=42，n=4時，原式=84，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：n3證明：（1）當n=1時，13（2）假設當n=k(k∈N?)當n=k+1(k∈N?)其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，由假設知k3故k3+5k，所以當n=k+1時，命題也成立．據(jù)（1）（2），可知n3故n3【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習）證明：n3【解題思路】利用數(shù)學歸納法即可證明.【解答過程】解：⑴當n=1時，n3⑵假設當n=k時，命題成立，即n3當n=k+1時，n3由假設知：k3而kk+1為偶數(shù)，故3k故k+13即當n=k+1時，命題成立，由⑴⑵可知，命題對一切正整數(shù)成立，即n3【變式5-3】（2021·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明：n3+n+13+【解題思路】先驗證n=1時，n3+n+13+n+23能被9整除；假設當n=k時，k【解答過程】證明：（1）當n=1時，13+2（2）假設當n=kk∈N?時結論成立，即k則當n=k+1時，k+1=k因為k3+k+13+k+23所以，k+13+k+23+由（1）（2）知命題對一切n∈N【題型6用歸納法解決與遞推公式有關的數(shù)列問題】【方法點撥】在給出了已知數(shù)列的遞推關系的情況下，可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項，利用不完全歸納法得出結論，然后利用數(shù)學歸納法證明該結論.正確計算是歸納的前提，常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關結論是歸納的橋梁，而運用數(shù)學歸納法證明才是歸納的最終歸宿.【例6】（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中(1)試求：a2，a3的值，并猜想數(shù)列{a(2)用數(shù)學歸納法加以證明.【解題思路】（1）根據(jù)遞推關系寫出a2，a（2）應用數(shù)學歸納法，首先判斷n=1時通項公式是否成立，再假設n=k時通項公式成立，進而利用an,S【解答過程】(1)因為an=S所以a2=S因為a3所以14a3=由a1=1(2)①當n=1時，a1②假設當n=k時猜想成立，即a那么，當n=k+1時，由題設an=Snn(2n?1)所以Sk=k(2k?1)a則ak+1因此，k(2k+3)a所以ak+1這就證明了當n=k+1時命題成立.由①②可知：命題對任何n∈N【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a2（1）求S12、S2（2）由（1）猜想數(shù)列Sn【解題思路】（1）由an=12+1n（2）由（1）猜想，數(shù)列Sn2n的通項公式