物理人教版必修一第二章勻變速直線運(yùn)動(dòng)的研究習(xí)題課2　追及與相遇問題

習(xí)題課2追及與相遇問題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解追及與相遇問題的實(shí)質(zhì).2.會(huì)分析追及問題的臨界條件．一、對“相遇”與“追及”的認(rèn)識1．相遇問題相向運(yùn)動(dòng)的兩物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇．2．追及問題同向運(yùn)動(dòng)的兩物體，若后者能追上前者，則追上時(shí)，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度，即v1≥v2.例1如圖1所示，甲、乙兩車沿著同一條平直公路同向行駛，甲車以20m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，乙車原來速度為8m/s，從距甲車80m處以大小為4m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，問：乙車經(jīng)多少時(shí)間能追上甲車？圖1答案10s解析設(shè)經(jīng)時(shí)間t乙車追上甲車．在這段時(shí)間內(nèi)甲、乙兩車位移分別為x甲＝v甲t，x乙＝v乙t＋eq\f(1,2)at2追上時(shí)的位移條件為x乙＝x甲＋x0，即20t＋80＝8t＋2t2整理得：t2－6t－40＝0解得：t1＝10s，t2＝－4s(舍)乙車經(jīng)10s能追上甲車．二、追及問題的分析思路及臨界條件1．追及問題中的兩個(gè)關(guān)系和一個(gè)條件(1)兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個(gè)關(guān)系可通過畫草圖得到．(2)一個(gè)條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)．2．能否追上的判斷方法物體B追趕物體A：開始時(shí)，兩個(gè)物體相距x0.若vA＝vB時(shí)，xA＋x0≤xB，則能追上；若vA＝vB時(shí)，xA＋x0＞xB，則沒有追上．3．若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，一定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)．4．解題思路和方法分析物體運(yùn)動(dòng)過程→畫運(yùn)動(dòng)示意圖→找兩物體位移關(guān)系→列位移方程例2當(dāng)交叉路口的綠燈亮?xí)r，一輛客車以a＝2m/s2的加速度由靜止啟動(dòng)，在同一時(shí)刻，一輛貨車以10m/s的恒定速度從客車旁邊同向駛過(不計(jì)車長)，則：(1)客車什么時(shí)候追上貨車？客車追上貨車時(shí)離路口多遠(yuǎn)？(2)在客車追上貨車前，兩車的最大距離是多少？答案(1)10s100m(2)25m解析(1)客車追上貨車的過程中，兩車所用時(shí)間相等，位移也相等，即v2t1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)，代入數(shù)據(jù)解得t1＝10s，x＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×2×102m＝100m.(2)兩車距離最大時(shí)，兩車應(yīng)具有相等的速度，即v2＝at2，代入數(shù)據(jù)解得t2＝5s.Δx＝v2t2－eq\f(1,2)ateq\o\al(,22)＝10×5m－eq\f(1,2)×2×52m＝25m.后面速度小的做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體追前面速度大的勻速運(yùn)動(dòng)的物體，一定能追上．v1<v2兩者距離逐漸增加，v1>v2兩者距離逐漸減小，即當(dāng)v1＝v2時(shí)，兩者具有最大的距離．例3某人離公共汽車尾部20m，以速度v向汽車勻速跑過去，與此同時(shí)，汽車以1m/s2的加速度從靜止啟動(dòng)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．試問，此人的速度v分別為下列數(shù)值時(shí)，能否追上汽車？如果能，要用多長時(shí)間？如果不能，則他與汽車之間的最小距離是多少？(1)v＝6m/s；(2)v1＝7m/s.答案(1)不能2m(2)能4s解析(1)當(dāng)汽車速度達(dá)到6m/s時(shí)，所需的時(shí)間t＝eq\f(v,a)＝eq\f(6,1)s＝6s在這段時(shí)間內(nèi)的人的位移x1＝vt＝6×6m＝36m汽車的位移x2＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×1×62m＝18m因?yàn)閤1<x2＋20m，所以人不能追上汽車，此時(shí)兩車有最小距離，最小距離Δx＝x2＋20m－x1＝2m.(2)當(dāng)汽車速度達(dá)到7m/s時(shí)，所需的時(shí)間t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(7,1)s＝7s在這段時(shí)間內(nèi)的人的位移x1′＝v1t1＝7×7m＝49m汽車的位移x2′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×1×72m＝24.5m因?yàn)閤1′>x2′＋20m，所以人能追上公共汽車．設(shè)經(jīng)過t′時(shí)間人追上汽車，有v1t′＝eq\f(1,2)at′2＋20m解得t1′＝4s，t2′＝10s(舍去)若速度大的勻速直線運(yùn)動(dòng)的后者追速度小的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的前者，v1>v2兩者距離減小，v1<v2兩者距離增大；能否追上的臨界條件是速度相等時(shí)位移關(guān)系．若v1＝v2時(shí)x1≥x2＋s0(s0為兩車初始距離)則能追上．若追不上，v1＝v2時(shí)，兩者有最小距離．1．(用圖象分析追及相遇問題)甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，t＝0時(shí)刻同時(shí)經(jīng)過公路旁的同一個(gè)路標(biāo)．在如圖2描述兩車運(yùn)動(dòng)的v－t圖中，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20s的運(yùn)動(dòng)情況．關(guān)于兩車之間的位置關(guān)系，下列說法正確的是()圖2A．在0～10s內(nèi)兩車逐漸靠近B．在10～20s內(nèi)兩車逐漸遠(yuǎn)離C．在t＝10s時(shí)兩車在公路上相遇D．在5～15s內(nèi)兩車的位移相等答案D解析在0～10s內(nèi)，乙車在甲的前方，而且乙的速度大于甲的速度，則兩車逐漸遠(yuǎn)離，故A錯(cuò)誤．在10～20s內(nèi)，乙車在甲的前方，乙的速度小于甲的速度，則兩車逐漸靠近．故B錯(cuò)誤．根據(jù)圖象的“面積”等于物體的位移大小，可以看出，在t＝10s時(shí)乙車的位移大于甲車的位移，t＝0時(shí)刻又在同一位置出發(fā)，所以在t＝10s時(shí)兩車沒有相遇，故C錯(cuò)誤．在5～15s內(nèi)兩車圖線的“面積”相等，則通過的位移相等．故D正確．2．(追及問題分析)一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動(dòng)的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)的自行車恰好從汽車的旁邊通過．(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經(jīng)多長時(shí)間追上？追上時(shí)汽車的瞬時(shí)速度多大？(2)在汽車追上自行車前，當(dāng)v汽<v自時(shí)，兩者間的距離如何變化？當(dāng)v汽>v自時(shí)，兩者間的距離如何變化？汽車追上自行車前多長時(shí)間與自行車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)的距離是多大？答案見解析解析(1)因?yàn)槠囎黾铀龠\(yùn)動(dòng)，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，故汽車一定能追上自行車．汽車追上自行車時(shí)，兩者位移相等，x汽＝x自，即eq\f(1,2)at2＝v自t，得：t＝eq\f(2v自,a)＝eq\f(2×6,3)s＝4sv汽＝at＝3×4m/s＝12m/s.(2)開始階段，v汽<v自，兩者間的距離逐漸變大．后來v汽>v自，兩者間的距離又逐漸減?。云囎飞献孕熊嚽?，當(dāng)v汽＝v自時(shí)，兩者距離最大．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t1，汽車速度等于自行車速度，則at1＝v自，代入數(shù)據(jù)得t1＝2s此時(shí)x自′＝v自t1＝6×2m＝12mx汽′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×3×22m＝6m最大距離Δx＝x自′－x汽′＝6m.3．(避碰問題分析)一輛貨車以8m/s的速度在平直公路上行駛，由于調(diào)度失誤，在后面600m處有一輛客車以72km/h的速度向它靠近．客車司機(jī)發(fā)覺后立即合上制動(dòng)器，但客車要滑行2000m才能停止．求：(1)客車滑行的加速度大小；(2)通過計(jì)算分析兩車是否會(huì)相撞．答案(1)0.1m/s2(2)見解析解析(1)設(shè)v2＝72km/h＝20m/s，由v2－veq\o\al(,02)＝2ax得客車剎車的加速度大小為a＝eq\f(v\o\al(,22),2x)＝eq\f(202,2×2000)m/s2＝0.1m/s2.(2)假設(shè)不相撞，設(shè)兩車達(dá)到共同速度用時(shí)為t，則v2－at＝v1，t＝120s貨車在該時(shí)間內(nèi)的位移x1＝v1t＝8×120m＝960m客車在該時(shí)間內(nèi)的位移x2＝eq\f(v1＋v2,2)t＝1680m位移大小關(guān)系：x2＝1680m>600m＋x1＝1560m，故會(huì)相撞．課時(shí)作業(yè)一、選擇題(1～2為單項(xiàng)選擇題，3～5為多項(xiàng)選擇題)1．甲、乙兩物體先后從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿一條直線運(yùn)動(dòng)，它們的v－t圖象如圖1所示，由圖可知()圖1A．甲比乙運(yùn)動(dòng)快，且早出發(fā)，所以乙追不上甲B．t＝20s時(shí)，乙追上甲C．在t＝20s之前，甲比乙運(yùn)動(dòng)快；在t＝20s之后，乙比甲運(yùn)動(dòng)快D．由于乙在t＝10s時(shí)才開始運(yùn)動(dòng)，所以t＝10s時(shí)，甲在乙前面，它們之間的距離為乙追上甲前的最大距離答案C解析從題圖中看出開始甲比乙運(yùn)動(dòng)快，且早出發(fā)，但是乙做勻加速運(yùn)動(dòng)，最終是可以追上甲的，A項(xiàng)錯(cuò)誤；t＝20s時(shí)，速度圖象中甲的速度圖線與時(shí)間軸所圍的面積大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙沒有追上甲，B項(xiàng)錯(cuò)誤；在t＝20s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20s之后，乙的速度大于甲的速度，C項(xiàng)正確；乙在追上甲之前，當(dāng)它們速度相同時(shí)，它們之間的距離最大，對應(yīng)的時(shí)刻為t＝20s，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．2．甲車以3m/s2的加速度由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車落后2s在同一地點(diǎn)由靜止出發(fā)，以4m/s2的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車速度方向一致．在乙車追上甲車之前，兩車距離的最大值是()A．18m B．24mC．22m D．28m答案B解析乙車從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，落后甲2s，則開始階段甲車在前．當(dāng)乙車速度小于甲車的速度時(shí)，兩車距離增大；當(dāng)乙車速度大于甲車的速度時(shí)，兩車距離減小，則當(dāng)兩車速度相等時(shí)距離最大．即：a甲(t乙＋2)＝a乙t乙，解得：t乙＝6s；兩車距離的最大值為Δx＝x甲－x乙＝eq\f(1,2)a甲(t乙＋2)2－eq\f(1,2)a乙teq\o\al(,乙2)＝24m，故選B.3．A與B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)向同一方向運(yùn)動(dòng)，A做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，B做勻速直線運(yùn)動(dòng)．開始計(jì)時(shí)時(shí)，A、B位于同一位置，則當(dāng)它們再次位于同一位置時(shí)()A．兩質(zhì)點(diǎn)速度相等B．A與B在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度相等C．A的瞬時(shí)速度是B的2倍D．A與B的位移相同答案BCD解析設(shè)A的加速度為a，B的速度為v，經(jīng)過時(shí)間t，A、B再次位于同一位置，由題意可得eq\f(1,2)at2＝vt，t＝eq\f(2v,a)，故此時(shí)A的速度v′＝at＝2v，所以A錯(cuò)誤，C正確；由題意知A、B在t時(shí)間內(nèi)位移相同，根據(jù)平均速度的定義式eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)，可知A與B在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度相等，所以B、D正確．4．在平直公路上，自行車與同方向行駛的一輛汽車在t＝0時(shí)同時(shí)經(jīng)過某一個(gè)路標(biāo)，它們的位移x(m)隨時(shí)間t(s)變化的規(guī)律：汽車為x＝10t－eq\f(1,4)t2，自行車為x＝6t，則下列說法正確的是()A．汽車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)B．不能確定汽車和自行車各做什么運(yùn)動(dòng)C．開始經(jīng)過路標(biāo)后較小時(shí)間內(nèi)汽車在前，自行車在后D．當(dāng)自行車追上汽車時(shí)，它們距路標(biāo)96m答案ACD解析汽車的位移時(shí)間關(guān)系為x＝10t－eq\f(1,4)t2，可知汽車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，自行車的位移時(shí)間關(guān)系為x＝6t，可知自行車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；開始階段汽車的初速度大于自行車的速度，所以在較小時(shí)間內(nèi)汽車的位移大于自行車的位移，汽車在前，自行車在后，選項(xiàng)C正確；根據(jù)10t－eq\f(1,4)t2＝6t得t＝16s，此時(shí)距路標(biāo)的距離s＝96m，選項(xiàng)D正確．5．一輛汽車正在以v＝20m/s的速度勻速行駛．突然，司機(jī)看見車的正前方x0＝33m處有一只狗，如圖2甲所示，若從司機(jī)看見狗開始計(jì)時(shí)(t＝0)，司機(jī)采取了一系列動(dòng)作．整個(gè)過程中汽車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖乙所示，g取10m/s2.則下列判斷正確的是()圖2A．汽車先做勻速運(yùn)動(dòng)再做反向勻減速運(yùn)動(dòng)B．汽車減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為5m/s2C．若狗正以v′＝4m/s的速度與汽車同向奔跑，則不能擺脫被撞的噩運(yùn)D．汽車從司機(jī)發(fā)現(xiàn)狗至停止運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離為48.4m答案BC解析汽車先做勻速運(yùn)動(dòng)，再做同方向的勻減速運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；汽車做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a＝－eq\f(20,4)m/s2＝－5m/s2，B正確；當(dāng)汽車由v＝20m/s減速到v1＝4m/s時(shí)，所需時(shí)間為t＝eq\f(Δv,a)＝eq\f(4－20,－5)s＝3.2s，司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間為t1，從司機(jī)看到狗到汽車速度減為v1＝4m/s時(shí)間內(nèi)，汽車所通過的位移為x1＝vt1＋eq\f(v\o\al(,12)－v2,2a)＝(20×0.5＋eq\f(42－202,－2×5))m＝48.4m，而狗通過的位移為x2＝v′(t1＋t)＝4×(0.5＋3.2)m＝14.8m，x1＞x2＋x0＝47.8m，所以狗將被撞，C正確；汽車從司機(jī)看見狗至停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段內(nèi)前進(jìn)的距離為x3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0.5＋4.5×20×\f(1,2)))m＝50m，D錯(cuò)誤．二、非選擇題6．慢車以0.1m/s2的加速度從車站啟動(dòng)開出，同時(shí)在距車站2km處，在與慢車平行的另一軌道上，有一輛以72km/h的速度迎面開來的快車開始做勻減速運(yùn)動(dòng)，以便到站停下，問：(1)兩車何時(shí)錯(cuò)車？(2)錯(cuò)車點(diǎn)離車站多遠(yuǎn)？答案(1)100s(2)500m解析(1)a1＝0.1m/s2，v＝72km/h＝20m/s，快車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小a2＝eq\f(v2,2x)＝eq\f(400,4000)m/s2＝0.1m/s2，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間開始錯(cuò)車，則有：eq\f(1,2)a1t2＋vt－eq\f(1,2)a2t2＝x，代入數(shù)據(jù)解得t＝100s.(2)由位移時(shí)間公式可得x′＝eq\f(1,2)a1t2＝eq\f(1,2)×0.1×1002m＝500m.7．已知A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度v1＝10m/s，B車在后，速度v2＝30m/s，B車在距A車x0＝75m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時(shí)B車立即剎車，但B車要經(jīng)過x＝180m才能停下來．求：(1)B車剎車過程的加速度大??；(2)B車剎車時(shí)A仍按原速率行駛，兩車是否會(huì)相撞？(3)若相撞，求B車從開始剎車到兩車相撞用多少時(shí)間？若不相撞，求兩車的最小距離．答案(1)2.5m/s2(2)兩車會(huì)相撞(3)6s解析(1)設(shè)B車加速度大小為aB，剎車至停下來的過程中，由veq\o\al(2,2)＝2aBx解得：aB＝2.5m/s2(2)B車在開始剎車后t時(shí)刻的速度為vB＝v2－aBtB車的位移xB＝v2t－eq\f(1,2)aBt2A車的位移xA＝v1t設(shè)t時(shí)刻兩車速度相等，vB＝v1解得：t＝8s將t＝8s代入公式得xB＝160m，xA＝80m因xB＞xA＋x0＝155m故兩車會(huì)相撞．(3)設(shè)B車從開始剎車到兩車相撞所用時(shí)間為t′，則滿足xB＝xA＋x0代入數(shù)據(jù)解得：t1′＝6s，t2′＝10s(不符合題意)故B車從開始剎車到兩車相撞用時(shí)6s.8．公交車作