湖南省長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷

2024—2025—1學(xué)期麓山國際高一第一次學(xué)情檢測試卷數(shù)學(xué)出題人：蔡大勇審題人：喻淼時(shí)量：120分鐘滿分：150分第I卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】由分式與二次根式有意義的條件可得、集合，結(jié)合交集定義即可得解.【詳解】由，可得，，則，故且.故選：D.2.下列各組的兩個(gè)函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】先檢驗(yàn)兩函數(shù)定義域，再檢驗(yàn)解析式，根據(jù)同一函數(shù)的概念，分析即可得答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，定義域和解析式都同，是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域和解析式都不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，解析式不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由解得，故的定義域?yàn)?，由解得或，故的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A3.已知，則使成立的充分條件為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件的概念，結(jié)合不等式的性質(zhì)或舉出反例，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由得，不一定有，所以不是成立充分條件；選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)不一定有，所以不是成立的充分條件；選項(xiàng)C：由可得，當(dāng)，，且時(shí)滿足，此時(shí)不一定有，所以不是成立的充分條件；選項(xiàng)D：由可得，即，此時(shí)，所以是成立的充分條件；故選：D4.設(shè)集合，或x>5，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件按集合A是否為空集兩類列式計(jì)算得解.【詳解】因集合，若，有，解得，此時(shí)，于是得，若，因或x>5，則由得：，解得：，綜上得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A5.關(guān)于的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集和韋達(dá)定理，可得，且，，然后代入選項(xiàng)，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由題知，，且，，即得，故A錯(cuò)；由可得，所以，解得或，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，故C錯(cuò)；由可得，即，所以，故D正確.故選：D6.已知命題：，，則為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】通過分離參數(shù)，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解的最值問題，從而求出充要條件，對(duì)A，B，C，D再根據(jù)必要不充分條件的定義求解即可.【詳解】解：，，在上恒成立，即a>x+令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，的值均為4，在上的最大值為4，是命題為真命題的充要條件，對(duì)A，得不到，得不到，故是為真命題的既不充分也不必要條件，故A錯(cuò)；對(duì)B，得不到，而可以得到，故是為真命題的必要不充分條件；故B對(duì)；對(duì)C，得不到，得不到，故是為真命題的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)；對(duì)D，是為真命題的充要條件；故D錯(cuò).故選：B.7.已知正數(shù)滿足．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.(4，2) D.【答案】C【解析】【分析】因?yàn)楹愠闪?，所以轉(zhuǎn)化為，將已知等式改寫形式為：，再利用“1”的代換后使用基本不等式得到的最小值為8，從而轉(zhuǎn)化為解不等式.【詳解】由題意知：即：∴∴又∵，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為8.∴解得：故選：C.8.若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端點(diǎn)范圍，結(jié)合不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解求另一端點(diǎn)的范圍，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由恰有兩個(gè)整數(shù)解，即恰有兩個(gè)整數(shù)解，所以，解得或，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，因?yàn)?，所以兩個(gè)整數(shù)解，則，即，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，因?yàn)?，所以兩個(gè)整數(shù)解，則，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知集合，，，，則下面說法正確的是（）A.B.C.D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】求得集合的關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得集合判斷選項(xiàng)B；求得集合判斷選項(xiàng)C；利用為偶數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】根據(jù)題意，可得集合A表示除以2余數(shù)為1的自然數(shù)集，集合表示除以3余數(shù)為1的自然數(shù)集，集合表示除以4余數(shù)為1的自然數(shù)集，集合表示除以3余數(shù)為2的自然數(shù)集，或，則，所以選項(xiàng)A正確；或N，選項(xiàng)B不正確；，選項(xiàng)C正確；若，則為偶數(shù)，故，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10.給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（）A.已知函數(shù)值域?yàn)锽.關(guān)于“的不等式有解”的一個(gè)必要不充分條件是C.函數(shù)，定義域，值域，則滿足條件的有3個(gè)D.若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)m的值為【答案】AC【解析】【分析】利用常數(shù)分離法求值域，小充分大必要，函數(shù)定義，配湊法求解析式等逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，在上單調(diào)遞增，故其值域?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，關(guān)于“的不等式有解”等價(jià)于，即，根據(jù)小充分大必要，是充分條件不是必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域可以是，故C正確；對(duì)于D，，故，若，即，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.下列說法正確的有A.若，則的最大值是B.若，則的最小值為2C.若，，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是4D.已知，，且，則最小值是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)中各式的特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)變形，使用基本不等式進(jìn)行判斷．注意“1”的妙用及等號(hào)能否取到．【詳解】對(duì)于，由可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故正確；對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但此時(shí)無解，等號(hào)無法取得，則最小值不為2，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，，時(shí)，等號(hào)成立，由于，，均為正實(shí)數(shù)，則等號(hào)取不到，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由可得，代入到，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故正確．故選：．第Ⅱ卷三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.命題，的否定是___________．【答案】【解析】【分析】利用特稱命題的否定形式回答即可.【詳解】命題“，”的否定形式是“”.故答案為：.13.函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【解析】【分析】利用換元法直接求解函數(shù)值域即可.【詳解】令，則，所以，所以，即函數(shù)值域?yàn)?故答案為：14.已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】先求出時(shí)，的值域?yàn)?；再分類討論，分別求出在上的值域，根據(jù)題意列不等式，分別求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由于為上的增函數(shù)，其值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，為頂點(diǎn)在開口向上的拋物線，對(duì)稱軸.i.若，則二次函數(shù)的最小值為.要使的值域?yàn)镽，只需：，解得：.所以；ii.若，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小值為.要使的值域?yàn)镽，只需：，解得：.所以；綜上所述：實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合，利用并集、交集的定義可求得結(jié)果；（2）分析可知，分、兩種情況討論，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，.【小問2詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，解得，成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：.16.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由四個(gè)全等的矩形（圖中陰影部分）和一個(gè)小正方形構(gòu)成的面積為的十字形地域，現(xiàn)計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為420元；在四個(gè)相同的矩形上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為21元；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為8元.設(shè)總造價(jià)為（單位：元），長為（單位：）．（1）將表示為的函數(shù)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最??？并求出這個(gè)最小值．【答案】（1）（2）米，元【解析】【分析】（1）設(shè)，求得，結(jié)合題意，即可求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，正方形構(gòu)成的面積為且，矩形的面積為，則陰影部分的面積為，設(shè)，則，可得，且，解得，所以，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為.【小問2詳解】解：由（1）知，，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的長為米時(shí)，總造價(jià)為最小，且最小值為元.17.已知且.（1）求的最小值（2）求的最小值（3）求的最小值【答案】（1）25（2）10（3）【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到，求出；（2）利用基本不等式得到，求出；（3）求出，，從而得到，換元后，利用基本不等式得到最小值.【小問1詳解】且，由于，故，解得或（舍去），故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為25【小問2詳解】且，由于，故，兩邊平方后，解得或（舍去），故的最小值為10，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；【小問3詳解】，若，此時(shí)，不成立，舍去，故，故，因?yàn)椋?，故，令，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，故的最小值為.18.已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上最大值為2，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即得.（2）分類討論求解含參數(shù)的一元二次不等式即得.【小問1詳解】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，，解得，則；當(dāng)，即時(shí)，，解得，矛盾，所以.【小問2詳解】顯然，而，因此不等式為，當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式解集，所以當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.19.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域0,+∞內(nèi)存在，使函數(shù)成立；（1）請給出一個(gè)的值，使函數(shù)（2）函數(shù)是否是集合M中的元素？若是，請求出所有組成的集合；若不是，請說明理由；（3）設(shè)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）=2；（2）是，（3）或【解析】【分析】（1）利用列不等式，由此求得的一個(gè)取值.（2）假設(shè)存在符合題意，驗(yàn)證，由此判斷出的所有可能取值.（3）利用列不等式，對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，依題意在定義域0,+∞內(nèi)存在，使函數(shù)成立，而，即，即，故可取，此時(shí).（2）假設(shè)存在符合題意，而，即，即，化簡得，解得.所以函數(shù)是