1314特殊角的三角函數(shù)及其運(yùn)算（B卷能力拓展）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

1.3—1.4特殊角的三角函數(shù)及其運(yùn)算學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、填空題1．（2021·湖北安陸市九年級(jí)二模）如圖，在四邊形中，連接，，，．若，，則______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作BD垂線，垂足為E，設(shè)BE為x，DE為y，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，以及可證，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作BD垂線，垂足為E，在中，，，設(shè)BE為x，DE為y，則根據(jù)勾股定理可得：，即：，，，，，，，即；根據(jù)，解得：，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)以及勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山東淄川九年級(jí)一模）如圖，在銳角中，，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接．則__________．【答案】【分析】先證明是等腰直角三角形，設(shè)AD=CD=x，則=，BD=x，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：∵在銳角中，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)AD=CD=x，則=，BD=ABAD=x，∵平分交于點(diǎn)，∴BE=CE=DE，∴，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角的正切三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．3．（2021·云南昭通九年級(jí)期中）如圖，在中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)______________________時(shí)，．【答案】或【分析】依題意，，，分兩種情形討論，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，；進(jìn)而根據(jù)，列方程即可解決；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖，作于,于,證明，進(jìn)而可得,根據(jù)，列方程即可解決．【詳解】依題意，，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，當(dāng)，四邊形是平行四邊形，，，則，即，則解得，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖，作于于，則四邊形是矩形，在和中由則解得．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，特殊角的三角函數(shù)值，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣東深圳市九年級(jí)二模）如圖，在和中，，，點(diǎn)D在BC邊上，AC與DE相交于點(diǎn)F，，則__________．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，三角形相似的性質(zhì)計(jì)算【詳解】如圖，連接EC，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=60°，∴△BAC∽△DAE，∴AC：AE=AB：AD，∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠EAC=∠BAD，∴△EAC∽△DAB，∴AD：AE=BD：EC=AB：AC，∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，∴AB：AC=tan60°=，∴AD=AE，BD=EC，∵∠EFA=∠CFD，∠ACB=∠AED=60°，∴△EFA∽△CFD，∴EF：CF=FA：FD，∵∠EFC=∠AFD，∴△EFC∽△AFD，∴DF：CF=AD：EC，∵DF=3FC，∴AD=3EC，∴AD：BD=3EC：EC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用三角形相似的判定，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶市九年級(jí)月考）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且∠B＝60°，A、C分別在雙曲線y＝的圖象上，若B在雙曲線y＝的圖象上，則k的值為_(kāi)____．【答案】9【分析】如圖作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．連接OB．首先證明，然后通過(guò)證得，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．連接OB．∵A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OC，∵BC＝AB，OA＝OC，∠ABC＝60°，∴OB⊥AC，，∴∵∠BFO＝∠BOA＝∠AEO＝90°，∵∠BOF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠OAE，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為﹣9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·山東東營(yíng)中考真題）如圖，正方形中，，AB與直線l所夾銳角為，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，…，依此規(guī)律，則線段________．【答案】【分析】利用tan30°計(jì)算出30°角所對(duì)直角邊，乘以2得到斜邊，計(jì)算3次，找出其中的規(guī)律即可.【詳解】∵AB與直線l所夾銳角為，正方形中，，∴∠=30°，∴=tan30°==1，∴；∵=1，∠=30°，∴=tan30°=，∴；∴線段,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，規(guī)律思考，熟練進(jìn)行計(jì)算，抓住指數(shù)的變化這個(gè)突破口求解是解題的關(guān)鍵.7．（2021·河南九年級(jí)二模）如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用平行線分線段成比例定理得到PG=GE，PE=PG，得到當(dāng)PG⊥CD時(shí)，PG最小，即PE取得最小值，最小值為PG，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△BCH中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：設(shè)PE交CD于點(diǎn)G，∵四邊形PCEF為平行四邊形，D為PF的中點(diǎn)，∴PF∥CE，即PD∥CE，∴，即PG=GE，∴PE=PG，當(dāng)PG⊥CD時(shí)，PG最小，即PE取得最小值，最小值為PG，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴PH∥CG，則四邊形PHCG為矩形，∴PG=CH，在Rt△BCH中，BC=5，∠ABC=60°，∴CH=BC，∴PE的最小值為PG=3CH=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．二、解答題8．（2021·廣東龍崗九年級(jí)期末）如圖1，分別以的、為斜邊間外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、．

（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求的正切值；（3）如圖3，以的邊為斜邊問(wèn)外作等腰直角三角形，連接，試探究線段、的關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)tan；(3)結(jié)論是：DG=EG，且DG⊥EG，證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可證∠DAG=∠BAF，可求，可證△ADG∽△ABF；（2）由∠BAC=90°，和都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可證點(diǎn)D，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，證△ADG∽△ABF；可得∠AGD=∠AFB，可求BD=AD=2，AF=3，DF==5，利用三角函數(shù)求tan=tan∠AFB=；（3）結(jié)論是：DG=EG，且DG⊥EG，證△ECG∽△BCF，可得BF=EG，∠EGC=∠BFC，由△ADG∽△ABF得BF=EG，∠AGD=∠AFB，可得DG=EG，∠DGE=90°即可．【詳解】（1）∵和都是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠CAF=45°，∴∠DAG=∠DAB+∠BAC=∠CAF+∠DAB=∠BAF，∴AD=ABcos45°=，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴AG=，∵AF=ACcos45°=，∴，∴，∴，又∠DAG=∠BAF，∴△ADG∽△ABF；（2）∵∠BAC=90°，和都是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠CAF=45°，∴∠DAF=∠DAB+∠BAC+∠CAF=45°+90°+45°=180°，∴點(diǎn)D，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∵∠DAB=90°即∠FDB=90°，∴△DBF為直角三角形，∵△ADG∽△ABF；∴∠AGD=∠AFB，∵，，∴BD=AD=ABcos45°=，AF=ACcos45°=，∴DF=AF+AD=3+2=5，∴tan=tan∠AFB=；（3）結(jié)論是：DG=EG，且DG⊥EG，理由如下：∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，∴∠BCE=∠ACB=45°，∴EC=BCcos45°=，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴CG=，

∴CF=AF=ACcos45°=，∴，∴，∴，∴∠BCE+∠ACB=∠ACF+∠ACB，即∠ECG=∠BCF，∴△ECG∽△BCF，∴