專題：與絕對(duì)值有關(guān)的九種常見題型（解析版）

與絕對(duì)值有關(guān)的九種常見題型題型01絕對(duì)值的定義在找規(guī)律中的應(yīng)用【典例分析】【例1-1】（23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·階段練習(xí)）在有些情況下，不需要計(jì)算結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉，例如：；；；．根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算：．【答案】2【分析】此題主要考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，有理數(shù)的加減運(yùn)算，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：正數(shù)絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)．【詳解】解：，故答案為：25【例1-2】（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）已知：，…照此規(guī)律(1)______；(2)計(jì)算：；(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值計(jì)算解答即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值計(jì)算解答即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值計(jì)算解答即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法以及絕對(duì)值的定義．熟練掌握有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵【例1-3】（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）在有些情況下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值去掉．例如：；；；．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：①________；②________．(2)用簡(jiǎn)單的方法計(jì)算：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）①②根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)可得答案；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再相互抵消可得答案．【詳解】（1）解：①∵，∴；②∵，∴；故答案為：；；（2）解：，．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練地掌握運(yùn)算法則和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）①正數(shù)：，；②負(fù)數(shù)：，；③零：；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：不論正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，它們的絕對(duì)值一定是數(shù)．【答案】5127150非負(fù)【分析】（1）①根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可；②根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可；③根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可；（2）由絕對(duì)值表示數(shù)軸上的某點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可得答案．【詳解】解（1）①正數(shù)：5，12；②負(fù)數(shù)：7，15；③零：0；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：不論正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，它們的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)．故答案為：（1）①5；12；②7；15；③0；（2）非負(fù)【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，絕對(duì)值的非負(fù)性的含義，理解絕對(duì)值的非負(fù)性是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）用字母a表示一個(gè)有理數(shù)，則一定是非負(fù)數(shù)，也就是它的值為正數(shù)或0，所以的最小值為0，而一定是非正數(shù)，即它的值為負(fù)數(shù)或0，所以有最大值0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論完成下列問題：(1)有最______值______；有最______值______；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，有最值，并求出這個(gè)最值；(3)若，求的值．【答案】(1)小,,大,(2)當(dāng)時(shí),有最小值(3)【分析】(1)根據(jù)有最小值為,有最大值為進(jìn)去求解；(2)根據(jù)當(dāng)時(shí)有最小值為進(jìn)行求解；(3)先由題意得,確定出，的值，再代入計(jì)算.【詳解】（1）∵有最小值為,有最大值為,∴有最小值,有最大值,故答案為:小,,大,；（2）∵當(dāng),即時(shí),有最小值，∴當(dāng)時(shí),有最小值；（3）由題意得,,∴且,解得,.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性進(jìn)行求解【變式1-3】（七年級(jí)上·湖南永州·期末）（1）填空：①正數(shù)：，；②負(fù)數(shù)：，；③零：；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：無論什么數(shù)，它們的絕對(duì)值一定是數(shù)，即（3）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列材料，求的最小值解：，當(dāng)，即時(shí)，的最小值是2解答下列問題①求的最小值；

②有最大值還是最小值，求出這個(gè)值，并求出a的值【答案】（1）①，8；②0.7，12；③0；（2）非負(fù)；（3）①2020；②最大值25，a=5【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義即可得出答案；（2）分析（1）中的結(jié)論，即可得到（2）中的答案；（3）①要使有最小值，則需使x最小，結(jié)合（2）中結(jié)論有，可得出時(shí)，最小，即可得出答案；②由，得出當(dāng)時(shí)，原式有最大值，求出a的值，代入即可得出答案．【詳解】解：（1）①正數(shù)：，8；②負(fù)數(shù)：0.7，12；③零：0；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：無論什么數(shù)，它們的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)，即；（3）①當(dāng)即時(shí)∴有最小值是2020②有最大值．當(dāng)，即a=5時(shí)有最大值25，此時(shí)a=5．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．

題型02絕對(duì)值在比較大小中的應(yīng)用【典例分析】【例2-1】（23-24七年級(jí)上·湖北荊門·期中）下列比較大小正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，A，B先化簡(jiǎn)，再比較，C，D直接根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小比較．【詳解】解：A．∵，∴，故不正確；B．∵，∴，故正確；C．∵，∴，故不正確；D．∵，∴，故不正確；故選B【例2-2】（23-24七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）比較大?。海ㄌ睢?gt;”“<”或“”）．【答案】<【分析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值越大，其值越小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：<【例2-3】（23-24七年級(jí)上·云南文山·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示．比較a、b、c、-a、、的大小，用“<”連接起來；【答案】【分析】本題考查數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，根據(jù)數(shù)軸可得，，再進(jìn)行大小比較即可；【詳解】解：由數(shù)軸可得，，，∴．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列四組有理數(shù)的大小比較正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較；根據(jù)絕對(duì)值和有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，再比較大小即可．【詳解】解：A.因?yàn)?，，所以，錯(cuò)誤；B.，錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，，所以，錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以，正確；故選：D【變式2-2】（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）比較大?。海ㄌ睢埃尽被颉埃肌保敬鸢浮浚肌痉治觥勘绢}考查了有理數(shù)的大小比較，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值打的反而小，據(jù)此作答即可．【詳解】，∵，∴，即，故答案為：＜．【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示出有理數(shù)，，，所在的點(diǎn)，并用“＞”比較它們的大?。敬鸢浮?，數(shù)軸表示數(shù)見詳解．【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，相反數(shù)，有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，注意：在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．先化簡(jiǎn)，再在數(shù)軸上把各個(gè)數(shù)表示出來，再比較即可．【詳解】解：，在數(shù)軸上表示如下：因此它們的大小如下：

題型03絕對(duì)值的非負(fù)性再求字母取值范圍中的應(yīng)用【典例分析】【例3-1】（七年級(jí)上·廣東廣州·期中）若，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義或絕對(duì)值的非負(fù)性解題．【詳解】解：【方法1】正數(shù)的絕對(duì)值是本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，由此可知，當(dāng)時(shí)，，即．選B．【方法2】任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即．∵，∴，即．故選B．【點(diǎn)睛】絕對(duì)值的非負(fù)性是指在中，無論a是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者0，都是非負(fù)數(shù)（正數(shù)或0）．這樣的非負(fù)數(shù)我們?cè)诤竺娴膶W(xué)習(xí)中會(huì)陸續(xù)接觸到．絕對(duì)值的非負(fù)性主要應(yīng)用在解決“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都是0”等問題上【例3-2】（22-23七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由絕對(duì)值的非負(fù)性可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的非負(fù)性的含義，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，掌握“”是解本題的關(guān)鍵【例3-3】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍為.【答案】/【分析】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握絕對(duì)值的非負(fù)性．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可解答．【詳解】故答案為：【變式演練】【變式3-1】（七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如果，那么m的取值范圍是（

）A． B． C．m≥3 D．【答案】A【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可．【詳解】解：∵，是非負(fù)數(shù)，∴是非負(fù)數(shù)，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確絕對(duì)值的非負(fù)性【變式3-2】（20-21七年級(jí)上·天津南開·階段練習(xí)）如果，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：∵∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的非負(fù)性【變式3-3】（七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則x的取值范圍是；若，則x的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的求法以及分式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以x的取值范圍是；因?yàn)椋瑒t，且，所以.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值和分式，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的求法.

題型04絕對(duì)值的幾何意義再求字母值中的應(yīng)用【典例分析】【例4-1】（23-24七年級(jí)上·四川眉山·期中）我們知道，的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，可以理解為，進(jìn)一步地，數(shù)軸上，表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)的距離可以用表示，例如：表示和的兩點(diǎn)之間的距離是．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)取最小值時(shí)，求出所有滿足條件的整數(shù)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值的意義，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)絕對(duì)值的意義可得當(dāng)取最小值時(shí)，，從而可得整數(shù)的值，再計(jì)算有理數(shù)的加法即可得．【詳解】解：指的是在數(shù)軸上，表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)和的點(diǎn)的距離之和，由數(shù)軸可知，當(dāng)取最小值時(shí)，，則所有滿足條件的整數(shù)的和為，故選：C【例4-2】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是“數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離”．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，嘗試解決下列問題：若的最小值是，則為．【答案】或/8或-2【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法，分類討論，圖形結(jié)合分析即可求解．【詳解】解：∵代數(shù)式的幾何意義是“數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離”，∴的幾何意義是“數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離”與“數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離”之和為，如圖所示，

∴當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，，解得，a=-2；當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，，解得，；∴的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法，掌握以上計(jì)算方法，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【例4-3】（23-24七年級(jí)上·山西晉城·期中）閱讀下列材料，完成后面任務(wù)：我們知道x的幾何意義是數(shù)軸上數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，即x=x-0，也可以說，x表示數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為x1-x2表示數(shù)軸上數(shù)例1：已知x=2，求的值．解：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)表示的數(shù)為和2，所以的值為或2．例2：已知x-1=2，求的值．解：在數(shù)軸上與1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)表示的數(shù)為3和，所以的值為3或．任務(wù)：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．(1)．(2)．【答案】(1)或8(2)8或【分析】本題主要考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，及利用兩點(diǎn)之間的距離解絕對(duì)值方程；（1）根據(jù)x可表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，據(jù)此求解可得；（2）可表示數(shù)軸上x表示的點(diǎn)與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，據(jù)此求解可得．理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為8的點(diǎn)表示的數(shù)為和8，∴x的值為或8．（2）解：在數(shù)軸上與2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為6的點(diǎn)表示的數(shù)為8和，∴x的值為8或【變式演練】【變式4-1】（23-24七年級(jí)上·四川眉山·期中）問題背景數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起—一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，我們知道，它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離，又如式子，它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離，即若點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則AB之間的距離可表示為．問題探究（1）若，則．（2）若，則．【答案】4或2或5【分析】本題主要考查的是絕對(duì)值，數(shù)軸的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解絕對(duì)值的幾何意義．（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義得出或，求出x的值即可；（2）分、、三種情況進(jìn)行討論，求出x的值即可．【詳解】解：（1）∵；∴或；解得：或；故答案為：4或2．（2）當(dāng)時(shí)，；化簡(jiǎn)得：，解得；當(dāng)時(shí)，；化簡(jiǎn)得：，此方程無解；當(dāng)時(shí)，；化簡(jiǎn)得：，解得；∴或；故答案為或5【變式4-2】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．材料：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值時(shí)，老師教過我們絕對(duì)值的幾何意義，如表示，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離一般地，點(diǎn)，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，那么，之間的距離可表示為．(1)點(diǎn)，，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，，那么到的距離與到的距離之和可表示為______（用含絕對(duì)值的式子表示）；(2)利用數(shù)軸探究：①的最小值是______；②求的最小值以及此時(shí)的值．【答案】(1)①；②最小值為，【分析】本題考查絕對(duì)值及數(shù)軸上點(diǎn)的距離，題目難度較大，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，理解絕對(duì)值的幾何意義．（1）分別表示，，即可求解；（2）①到數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個(gè)點(diǎn)的距離；②到數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個(gè)點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離．【詳解】（1）解：，，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為，故答案為：；（2）①到數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個(gè)點(diǎn)的距離，的最小值是，故答案為：；②到數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個(gè)點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離，在時(shí)取最小值，最小值為．【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）我們知道，|a|可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A，B，分別用數(shù)a，b表示，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離，利用此結(jié)論，回答以下問題：(1)數(shù)軸上表示數(shù)8的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示數(shù)－1的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是_________．(2)數(shù)軸上點(diǎn)A用數(shù)a表示，則①若，那么a的值是_________．②當(dāng)_________時(shí)，有最小值，最小值是_________；③有最小值，最小值是_________；【答案】(1)5，2(2)①或；②，0；③；④【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解可得；（2）①利用絕對(duì)值定義知或，分別求解可得；②根據(jù)絕對(duì)值的意義可得；③的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示的點(diǎn)的距離之和，由兩點(diǎn)之間線段最短即可求得答案；【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示數(shù)8的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示數(shù)-1的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是，故答案為：5，2；（2）數(shù)軸上點(diǎn)A用數(shù)a表示，①若，則或，∴或，故答案為：或；②∵表示數(shù)軸上到表示點(diǎn)a的數(shù)的點(diǎn)和表示的點(diǎn)的距離，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是0；故答案為：，0③∵的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示的點(diǎn)的距離之和，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握絕對(duì)值的意義和性質(zhì)，逐步探索變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵

題型05絕對(duì)值在數(shù)軸中的應(yīng)用【典例分析】【例5-1】（23-24七年級(jí)上·云南楚雄·期末）若數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則下列關(guān)系式：①|(zhì)a|>|b|；②；③；④；⑤．其中正確的有（）

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加減，絕對(duì)值，數(shù)軸上數(shù)的大小比較．由數(shù)軸得，，|a|>|b|，進(jìn)而得出，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸得，，|a|>|b|，①正確；②，正確；③，正確；④，正確；⑤，正確．其中正確的有5個(gè)，故選：A．【例5-2】（23-24七年級(jí)上·山西臨汾·期末）已知數(shù)a，b，c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則．【答案】【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的加減計(jì)算，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子符號(hào)，先根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得到，進(jìn)而得到，據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得到答案．【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知，∴，∴，故答案為；【例5-3】．（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)、、、，其中，且．(1)則的長(zhǎng)為________；(2)若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，點(diǎn)、、所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、、，求的值．【答案】(1)2(2)2【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，解題關(guān)鍵是計(jì)算出線段的長(zhǎng)度．（1）根據(jù)已知條件可以直接求出．（2）根據(jù)已知條件得出A、B、C、D之間的距離為2，因?yàn)辄c(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，得出其他各點(diǎn)表示的數(shù)，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：2（2）因?yàn)?，，所以．若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，則a=-2，，d=4，

【變式演練】【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是，且，則下列結(jié)論：；；a+c<0；．其中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了數(shù)軸的特征和應(yīng)用，絕對(duì)值的含義和求法，中點(diǎn)定義，根據(jù)a=b可得，b>0，與互為相反數(shù)，即可判斷，由，得點(diǎn)表示的數(shù)為或，即或，即可判斷，熟練掌握用數(shù)軸表示數(shù)的方法及數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a=∴由數(shù)軸可知，，b>0，與互為相反數(shù)，∴，，故錯(cuò)誤，正確；∵，∴點(diǎn)表示的數(shù)為或，即或，∴，故錯(cuò)誤；，故正確；綜上可知，正確，故選：【變式5-2】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的大小比較，通過數(shù)軸上數(shù)的大小去絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算，熟悉掌握數(shù)軸的定義是解決本題的關(guān)鍵．由數(shù)軸可得，并從數(shù)軸上可得出，，絕對(duì)值的大小，從而可以得出各項(xiàng)式子的正負(fù)，去絕對(duì)值可得出答案．【詳解】解：由數(shù)軸得，，且，∴a+c<0，，，．故答案為：【變式5-3】（22-23七年級(jí)上·河南洛陽·期中）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，我們把在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，記作．那么在數(shù)軸上表示、兩點(diǎn)之間的距離記為，請(qǐng)你利用數(shù)軸回答問題：(1)在數(shù)軸上，如果表示的是，表示的是2，則兩點(diǎn)之間的距離為______．(2)數(shù)軸上表示和1兩點(diǎn)之間的距離為______．表示和兩點(diǎn)之間的距離為______．(3)判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0．【答案】(1)8(2)，(3)＞；＜；＞【分析】（1）求兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值即可；（2）利用絕對(duì)值的定義，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離解答即可；（3）根據(jù)、、在數(shù)軸上的位置判斷出其符號(hào)及絕對(duì)值的大小，再判斷出各式的符號(hào)即可．【詳解】（1）如果表示的是，表示的是2，則兩點(diǎn)之間的距離為．故答案為：；（2）和1兩點(diǎn)之間的距離為，和兩點(diǎn)之間的距離為．故答案為：，；（3）由題意可知，，，∴c-b>0，a-b<0，．故答案為：＞，＜，＞．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵

題型06絕對(duì)值的非負(fù)性在求值中的應(yīng)用【典例分析】【例6-1】（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如果，則的值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查了絕對(duì)值及平方非負(fù)性的應(yīng)用，由題意得是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴∴∴a+b=1故選：A【例6-2】（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期中）已知，求的值為．【答案】【分析】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性，代入求值，先根據(jù)絕對(duì)值得非負(fù)性求出，的值，然后代入解題即可．【詳解】解：由題可得：，解得，∴，故答案為：【例6-3】（22-23七年級(jí)下·廣東河源）已知：，求的值．【答案】8【分析】由，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求得a與b的值，然后代入a與b的值即可得答案．【詳解】解：∵，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，原式，即的值是8．【點(diǎn)睛】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，此題比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是求得a與b的值．【變式演練】【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·安徽亳州·期末）若，則的值是（

）A．?1 B．1 C．?2023 D．2023【答案】A【分析】本題考查絕對(duì)值平方得非負(fù)性，代數(shù)式求值．根據(jù)題意計(jì)算出，再代入代數(shù)式即可得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，故選：A【變式6-2】．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，求的值為．【答案】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義以及絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴，而∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)，絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性，掌握絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性是解決問題的前提，求出a、b的值是正確解答的關(guān)鍵【變式6-3】（21-22七年級(jí)上·廣西柳州·期中）若，求的值【答案】1【分析】依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：由|a+2|+（b﹣3）2＝0，得a+2＝0，b﹣3＝0．解得a＝﹣2，b＝3．（a+b）2021＝12021＝1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和乘方運(yùn)算，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

題型07絕對(duì)值的非負(fù)性在化簡(jiǎn)中的應(yīng)用【典例分析】【例7-1】（21-22七年級(jí)上·安徽安慶·期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)2|a+b|+|b﹣a|＝．【答案】﹣3a﹣b/-b-3a【分析】根據(jù)絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，可化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)整式的加減，可得答案．【詳解】解：從數(shù)軸可以看出，，且a>b，∴，，∴原式＝﹣2（a+b）+b﹣a＝﹣2a﹣2b+b﹣a＝﹣3a﹣b，故答案為：﹣3a﹣b．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵【例7-2】（23-24七年級(jí)上·山東菏澤·期末）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足，請(qǐng)回答問題：

(1)求a、b、c的值．(2)a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)P在AB之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：．【答案】(1)a的值為，的值為1，的值為5；(2)【分析】本題考查整式加減的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、理解數(shù)軸上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)的表示，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的分類，偶次冪和絕對(duì)值的非負(fù)性求解；（2）根據(jù)點(diǎn)所在的位置結(jié)合絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后按照整式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：是最小的正整數(shù)，，，，a+b=0，，，的值為，的值為1，的值為5；（2）解：，，，，【例7-3】（22-23七年級(jí)上·四川南充·期中）已知：b最小的正整數(shù)且a、b滿足，試回答問題．(1)請(qǐng)直接寫出a、b、c的值．______，______，______．(2)a、b、c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程）．

【答案】(1)，1，5(2)10或【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定b的值，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，則每個(gè)數(shù)是0，即可求得a，b，c的值；（2）根據(jù)x的范圍，確定，，的符號(hào)，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義即可化簡(jiǎn)．【詳解】（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴．∵∴，∴，，c=5；（2）∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)．綜上所述，的值為10或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零【變式演練】【變式7-1】（21-22七年級(jí)上·湖北隨州·期中）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足．（1）請(qǐng)求出a、b、c的值；（2）a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：．（寫出化簡(jiǎn)過程）【答案】（1），，c=5；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；【詳解】（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴∵，∴，a+b=0，∴c=5，；（2）當(dāng)時(shí)，，，x+3>0，∴，，，；當(dāng)時(shí)，，，x+3>0，∴，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，偶次方的非負(fù)性，整式加減運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵【變式7-2】（23-24七年級(jí)上·湖北孝感·期中）已知是最小的正整數(shù)，且滿足．(1)填空：_________，_________，_________；(2)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，點(diǎn)為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)在1到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．若在運(yùn)動(dòng)過程中的值保持不變，求的值．【答案】(1)，1，5(2)(3)【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，（1）根據(jù)最小的正整數(shù)、絕對(duì)值和平方的非負(fù)性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)x的取值范圍，去絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可得；（3）首先求出A，B，C所在位置，然后計(jì)算出BC和AB，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是最小的正整數(shù)，∴，∵，∴a+b=0，，解得．（2）∵，∴，∴原式，，，，．（3）由題意知：秒后對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為．所以，．，，．∵的值不變，∴．解得【變式7-3】（22-23七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知是最大的負(fù)整數(shù)，且，，滿足，試回答問題：(1)請(qǐng)直接寫出，，的值；(2)若在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn)為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)在原點(diǎn)到點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括原點(diǎn)和點(diǎn)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：．【答案】(1)；(2)8【分析】（1）直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出a，b，c的值；（2）利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】（1）解：∵b是最大的負(fù)整數(shù)，，∴；（2）解：由題意得，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值，正確利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．

題型08絕對(duì)值的非負(fù)性在求最值中的應(yīng)用【典例分析】【例8-1】（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期中）設(shè)個(gè)有理數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】本題考查的是絕對(duì)值的非負(fù)性的應(yīng)用，由，結(jié)合已知條件得到，再取值驗(yàn)證符合題意即可.【詳解】解：∵，∴，∴．當(dāng)時(shí)，取，，則且，滿足題目條件，故所求n的最小值為20．故選B【例8-2】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，|a-1|的值最小，最小值為．【答案】10【分析】本題考查絕對(duì)值的意義．由絕對(duì)值的意義可知，即說明當(dāng)時(shí)，|a-1|的值最小，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，|a-1|的值最小，∴，|a-1|的最小值為．故答案為：1，0．【例8-3】（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）式子有沒有最小值，如果有，請(qǐng)你求出這個(gè)最小值和的值，如果沒有，請(qǐng)你說明理由．【答案】當(dāng)時(shí)，有最小值．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值的知識(shí)，解題的關(guān)鍵理解任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)【變式演練】【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·四川綿陽·階段練習(xí)）若a是有理數(shù)，則的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可求解．【詳解】解：∵a是有理數(shù)∴可為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零由絕對(duì)值的非負(fù)性可知：∴即：的最小值是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性．熟記相關(guān)結(jié)論即可【變式8-2】（23-24七年級(jí)上·河南信陽·階段練習(xí)）已知，則的最大值為.【答案】【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，代數(shù)式求值，根據(jù)絕對(duì)值的意義可得，得出，代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值為，故答案為：【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期中）若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，并且的立方等于它本身．(1)試求值；(2)若，且，，試求的值．(3)若，則的最小值為．【答案】(1)(2)(3)2024【分析】（1）根據(jù)題意得a+b=0，進(jìn)而有即可求得答案；（2）根據(jù)和之間的關(guān)系求得2a-3b、和的正負(fù)，求得代入代數(shù)式即可求得．（3）根據(jù)條件求出m的值，代入即可轉(zhuǎn)化為三個(gè)絕對(duì)值求最值，利用絕對(duì)值的意義即可求得．【詳解】（1）解：∵、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，，，∴，．（2），a+b=0，，∴，，的立方等于它本身，∴，∵，，∴，，，∴．（3）∵，∴，無論還是都有，根據(jù)絕對(duì)值的意義為x到、和的距離之和，只有可以取得最小值，則．故最小值為2024．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、絕對(duì)值性質(zhì)及其意義、相反數(shù)和倒數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是絕對(duì)值的正負(fù)和到特定點(diǎn)之間的距離

題型09絕對(duì)值在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例分析】【例9-1】（23-24七年級(jí)上·山東菏澤·期末）如圖，檢測(cè)4個(gè)足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，則最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及絕對(duì)值的意義，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．用上面各個(gè)選項(xiàng)顯示的數(shù)值求出其絕對(duì)值，然后比較絕對(duì)值，絕對(duì)值最小就是最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，即可作答．【詳解】解：依題意，得，，，∵，∴最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是“”，故選：C．【例9-2】（23-24七年級(jí)上·湖北宜昌·階段練習(xí)）裝牛奶的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為克，現(xiàn)抽取袋進(jìn)行檢測(cè)，超過標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)，結(jié)果如下表所示：（單位：克）．其中，質(zhì)量最標(biāo)準(zhǔn)的是號(hào)（填寫序號(hào)）袋號(hào)①②③④⑤質(zhì)量+3【答案】④【分析】找出