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文檔簡介
與絕對值有關(guān)的九種常見題型題型01絕對值的定義在找規(guī)律中的應(yīng)用【典例分析】【例1-1】(23-24七年級上·河南駐馬店·階段練習)在有些情況下,不需要計算結(jié)果也能把絕對值符號去掉,例如:;;;.根據(jù)上述規(guī)律,計算:.【答案】2【分析】此題主要考查了絕對值的化簡,有理數(shù)的加減運算,根據(jù)絕對值的性質(zhì):正數(shù)絕對值等于它本身,負數(shù)絕對值等于它的相反數(shù),進行計算即可,解題關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的性質(zhì).【詳解】解:,故答案為:25【例1-2】(23-24七年級上·山東德州·階段練習)已知:,…照此規(guī)律(1)______;(2)計算:;(3)計算:.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)絕對值計算解答即可;(2)根據(jù)絕對值計算解答即可;(3)根據(jù)絕對值計算解答即可.【詳解】(1)解:,故答案為:;(2)解:原式;(3)解:原式.【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法以及絕對值的定義.熟練掌握有理數(shù)的減法法則:減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵【例1-3】(23-24七年級上·河南鄭州·階段練習)在有些情況下,不需要計算出結(jié)果也能把絕對值去掉.例如:;;;.(1)根據(jù)上面的規(guī)律,把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式:①________;②________.(2)用簡單的方法計算:.【答案】(1);(2)【分析】(1)①②根據(jù)正數(shù)的絕對值等于本身,負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)可得答案;(2)根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡,再相互抵消可得答案.【詳解】(1)解:①∵,∴;②∵,∴;故答案為:;;(2)解:,.【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算,熟練地掌握運算法則和絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵【變式演練】【變式1-1】(23-24七年級上·全國·課后作業(yè))(1)①正數(shù):,;②負數(shù):,;③零:;(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律發(fā)現(xiàn):不論正數(shù)、負數(shù)和零,它們的絕對值一定是數(shù).【答案】5127150非負【分析】(1)①根據(jù)絕對值的定義求解即可;②根據(jù)絕對值的定義求解即可;③根據(jù)絕對值的定義求解即可;(2)由絕對值表示數(shù)軸上的某點到原點的距離可得答案.【詳解】解(1)①正數(shù):5,12;②負數(shù):7,15;③零:0;(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律發(fā)現(xiàn):不論正數(shù)、負數(shù)和零,它們的絕對值一定是非負數(shù).故答案為:(1)①5;12;②7;15;③0;(2)非負【點睛】本題考查的是求解一個數(shù)的絕對值,絕對值的非負性的含義,理解絕對值的非負性是解本題的關(guān)鍵.【變式1-2】(23-24七年級上·河南周口·階段練習)用字母a表示一個有理數(shù),則一定是非負數(shù),也就是它的值為正數(shù)或0,所以的最小值為0,而一定是非正數(shù),即它的值為負數(shù)或0,所以有最大值0.根據(jù)這個結(jié)論完成下列問題:(1)有最______值______;有最______值______;(2)當a為何值時,有最值,并求出這個最值;(3)若,求的值.【答案】(1)小,,大,(2)當時,有最小值(3)【分析】(1)根據(jù)有最小值為,有最大值為進去求解;(2)根據(jù)當時有最小值為進行求解;(3)先由題意得,確定出,的值,再代入計算.【詳解】(1)∵有最小值為,有最大值為,∴有最小值,有最大值,故答案為:小,,大,;(2)∵當,即時,有最小值,∴當時,有最小值;(3)由題意得,,∴且,解得,.【點睛】此題考查了絕對值性質(zhì)的應(yīng)用能力,關(guān)鍵是能準確理解并運用絕對值的非負性進行求解【變式1-3】(七年級上·湖南永州·期末)(1)填空:①正數(shù):,;②負數(shù):,;③零:;(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn):無論什么數(shù),它們的絕對值一定是數(shù),即(3)請認真閱讀下列材料,求的最小值解:,當,即時,的最小值是2解答下列問題①求的最小值;
②有最大值還是最小值,求出這個值,并求出a的值【答案】(1)①,8;②0.7,12;③0;(2)非負;(3)①2020;②最大值25,a=5【分析】(1)根據(jù)絕對值的意義即可得出答案;(2)分析(1)中的結(jié)論,即可得到(2)中的答案;(3)①要使有最小值,則需使x最小,結(jié)合(2)中結(jié)論有,可得出時,最小,即可得出答案;②由,得出當時,原式有最大值,求出a的值,代入即可得出答案.【詳解】解:(1)①正數(shù):,8;②負數(shù):0.7,12;③零:0;(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn):無論什么數(shù),它們的絕對值一定是非負數(shù),即;(3)①當即時∴有最小值是2020②有最大值.當,即a=5時有最大值25,此時a=5.【點睛】本題考查了絕對值的相關(guān)知識,在數(shù)軸上,一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值:正數(shù)的絕對值是它本身,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0.
題型02絕對值在比較大小中的應(yīng)用【典例分析】【例2-1】(23-24七年級上·湖北荊門·期中)下列比較大小正確的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較,A,B先化簡,再比較,C,D直接根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小比較.【詳解】解:A.∵,∴,故不正確;B.∵,∴,故正確;C.∵,∴,故不正確;D.∵,∴,故不正確;故選B【例2-2】(23-24七年級上·新疆烏魯木齊·階段練習)比較大小:(填“>”“<”或“”).【答案】<【分析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小,正數(shù)大于0,0大于負數(shù),兩個負數(shù)比較大小,絕對值越大,其值越小,據(jù)此求解即可.【詳解】解:∵,∴,故答案為:<【例2-3】(23-24七年級上·云南文山·階段練習)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.比較a、b、c、-a、、的大小,用“<”連接起來;【答案】【分析】本題考查數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較、絕對值的化簡,根據(jù)數(shù)軸可得,,再進行大小比較即可;【詳解】解:由數(shù)軸可得,,,∴.【變式演練】【變式2-1】(23-24七年級上·貴州貴陽·階段練習)下列四組有理數(shù)的大小比較正確的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了絕對值,有理數(shù)的乘方,有理數(shù)的大小比較;根據(jù)絕對值和有理數(shù)的乘方法則進行計算,再比較大小即可.【詳解】解:A.因為,,所以,錯誤;B.,錯誤;C.因為,,所以,錯誤;D.因為,所以,正確;故選:D【變式2-2】(23-24七年級上·河南鄭州·階段練習)比較大?。海ㄌ睢埃尽被颉埃肌保敬鸢浮浚肌痉治觥勘绢}考查了有理數(shù)的大小比較,先化簡絕對值,再根據(jù)兩個負數(shù)比較大小,絕對值打的反而小,據(jù)此作答即可.【詳解】,∵,∴,即,故答案為:<.【變式2-3】(23-24七年級上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習)請在數(shù)軸上表示出有理數(shù),,,所在的點,并用“>”比較它們的大?。敬鸢浮?,數(shù)軸表示數(shù)見詳解.【分析】本題考查了數(shù)軸,絕對值,相反數(shù),有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用,注意:在數(shù)軸上表示的數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.先化簡,再在數(shù)軸上把各個數(shù)表示出來,再比較即可.【詳解】解:,在數(shù)軸上表示如下:因此它們的大小如下:
題型03絕對值的非負性再求字母取值范圍中的應(yīng)用【典例分析】【例3-1】(七年級上·廣東廣州·期中)若,則a的取值范圍是(
).A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義或絕對值的非負性解題.【詳解】解:【方法1】正數(shù)的絕對值是本身,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0,由此可知,當時,,即.選B.【方法2】任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù),即.∵,∴,即.故選B.【點睛】絕對值的非負性是指在中,無論a是正數(shù)、負數(shù)或者0,都是非負數(shù)(正數(shù)或0).這樣的非負數(shù)我們在后面的學習中會陸續(xù)接觸到.絕對值的非負性主要應(yīng)用在解決“若幾個非負數(shù)的和為零,則這幾個非負數(shù)都是0”等問題上【例3-2】(22-23七年級上·吉林長春·期末)若,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由絕對值的非負性可得,從而可得答案.【詳解】解:∵,∴,∴,故選B.【點睛】本題考查的是絕對值的非負性的含義,絕對值的化簡,掌握“”是解本題的關(guān)鍵【例3-3】(23-24七年級上·北京豐臺·階段練習)已知,則的取值范圍為.【答案】/【分析】本題考查了絕對值的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于掌握絕對值的非負性.根據(jù)絕對值的非負性即可解答.【詳解】故答案為:【變式演練】【變式3-1】(七年級上·江蘇揚州·期中)如果,那么m的取值范圍是(
)A. B. C.m≥3 D.【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的非負性求解即可.【詳解】解:∵,是非負數(shù),∴是非負數(shù),∴,故選:A.【點睛】本題考查了絕對值非負數(shù)的性質(zhì),解題關(guān)鍵是明確絕對值的非負性【變式3-2】(20-21七年級上·天津南開·階段練習)如果,則x的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意得,進行解答即可得.【詳解】解:∵∴,∴,故選B.【點睛】本題考查了絕對值,解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的非負性【變式3-3】(七年級上·全國·課后作業(yè))若,則x的取值范圍是;若,則x的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)絕對值的求法以及分式進行計算,即可得到答案.【詳解】因為,所以x的取值范圍是;因為,則,且,所以.【點睛】本題考查絕對值和分式,解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的求法.
題型04絕對值的幾何意義再求字母值中的應(yīng)用【典例分析】【例4-1】(23-24七年級上·四川眉山·期中)我們知道,的幾何意義是:數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離,可以理解為,進一步地,數(shù)軸上,表示數(shù)的點到表示數(shù)的點的距離可以用表示,例如:表示和的兩點之間的距離是.根據(jù)絕對值的幾何意義,當取最小值時,求出所有滿足條件的整數(shù)的和為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸、絕對值的意義,熟練掌握絕對值的意義是解題關(guān)鍵.先根據(jù)絕對值的意義可得當取最小值時,,從而可得整數(shù)的值,再計算有理數(shù)的加法即可得.【詳解】解:指的是在數(shù)軸上,表示數(shù)的點到表示數(shù)和的點的距離之和,由數(shù)軸可知,當取最小值時,,則所有滿足條件的整數(shù)的和為,故選:C【例4-2】(23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習)我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法.例如,代數(shù)式的幾何意義是“數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離”.請你根據(jù)上述材料,嘗試解決下列問題:若的最小值是,則為.【答案】或/8或-2【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的計算方法,分類討論,圖形結(jié)合分析即可求解.【詳解】解:∵代數(shù)式的幾何意義是“數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離”,∴的幾何意義是“數(shù)軸上所對應(yīng)的點與-a所對應(yīng)的點之間的距離”與“數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離”之和為,如圖所示,
∴當所對應(yīng)的點在點左邊時,,解得,a=-2;當所對應(yīng)的點在點右邊時,,解得,;∴的值為或,故答案為:或.【點睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法,掌握以上計算方法,圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.【例4-3】(23-24七年級上·山西晉城·期中)閱讀下列材料,完成后面任務(wù):我們知道x的幾何意義是數(shù)軸上數(shù)的對應(yīng)點與原點之間的距離,即x=x-0,也可以說,x表示數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離.這個結(jié)論可以推廣為x1-x2表示數(shù)軸上數(shù)例1:已知x=2,求的值.解:在數(shù)軸上與原點距離為2的點表示的數(shù)為和2,所以的值為或2.例2:已知x-1=2,求的值.解:在數(shù)軸上與1對應(yīng)的點的距離為2的點表示的數(shù)為3和,所以的值為3或.任務(wù):仿照材料中的解法,求下列各式中的值.(1).(2).【答案】(1)或8(2)8或【分析】本題主要考查的是數(shù)軸上兩點之間的距離,及利用兩點之間的距離解絕對值方程;(1)根據(jù)x可表示數(shù)軸上表示x的點到原點的距離,據(jù)此求解可得;(2)可表示數(shù)軸上x表示的點與2對應(yīng)的點的距離,據(jù)此求解可得.理解數(shù)軸上兩點之間的距離的表示是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:∵在數(shù)軸上與原點距離為8的點表示的數(shù)為和8,∴x的值為或8.(2)解:在數(shù)軸上與2對應(yīng)的點的距離為6的點表示的數(shù)為8和,∴x的值為8或【變式演練】【變式4-1】(23-24七年級上·四川眉山·期中)問題背景數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具,它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起—一對應(yīng)的關(guān)系,揭示了數(shù)點之間的內(nèi)在聯(lián)系,它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ),我們知道,它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點與原點(即表示0的點)之間的距離,又如式子,它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點與表示數(shù)3的點之間的距離,即若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,則AB之間的距離可表示為.問題探究(1)若,則.(2)若,則.【答案】4或2或5【分析】本題主要考查的是絕對值,數(shù)軸的有關(guān)知識,解題的關(guān)鍵是理解絕對值的幾何意義.(1)根據(jù)絕對值的意義得出或,求出x的值即可;(2)分、、三種情況進行討論,求出x的值即可.【詳解】解:(1)∵;∴或;解得:或;故答案為:4或2.(2)當時,;化簡得:,解得;當時,;化簡得:,此方程無解;當時,;化簡得:,解得;∴或;故答案為或5【變式4-2】(23-24七年級上·安徽合肥·階段練習)認真閱讀下面的材料,完成有關(guān)問題.材料:在學習絕對值時,老師教過我們絕對值的幾何意義,如表示,在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離;,所以表示,在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離;,所以表示在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離一般地,點,在數(shù)軸上分別表示有理數(shù),,那么,之間的距離可表示為.(1)點,,在數(shù)軸上分別表示有理數(shù),,,那么到的距離與到的距離之和可表示為______(用含絕對值的式子表示);(2)利用數(shù)軸探究:①的最小值是______;②求的最小值以及此時的值.【答案】(1)①;②最小值為,【分析】本題考查絕對值及數(shù)軸上點的距離,題目難度較大,解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,理解絕對值的幾何意義.(1)分別表示,,即可求解;(2)①到數(shù)軸上兩個點距離之和最小的點取在這兩點之間,最小距離即是這兩個點的距離;②到數(shù)軸上三個點距離之和最小的點即是中間那個點,最小值是左右兩邊二點之間的距離.【詳解】(1)解:,,點到點的距離與點到點的距離之和為,故答案為:;(2)①到數(shù)軸上兩個點距離之和最小的點取在這兩點之間,最小距離即是這兩個點的距離,的最小值是,故答案為:;②到數(shù)軸上三個點距離之和最小的點即是中間那個點,最小值是左右兩邊二點之間的距離,在時取最小值,最小值為.【變式4-3】(23-24七年級上·陜西西安·階段練習)我們知道,|a|可以理解為,它表示:數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離,這是絕對值的幾何意義.進一步地,數(shù)軸上的兩個點A,B,分別用數(shù)a,b表示,那么A,B兩點之間的距離為,反過來,式子的幾何意義是:數(shù)軸上表示數(shù)a的點和表示數(shù)b的點之間的距離,利用此結(jié)論,回答以下問題:(1)數(shù)軸上表示數(shù)8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是_________,數(shù)軸上表示數(shù)-1的點和表示數(shù)的點之間的距離是_________.(2)數(shù)軸上點A用數(shù)a表示,則①若,那么a的值是_________.②當_________時,有最小值,最小值是_________;③有最小值,最小值是_________;【答案】(1)5,2(2)①或;②,0;③;④【分析】(1)根據(jù)兩點間的距離公式求解可得;(2)①利用絕對值定義知或,分別求解可得;②根據(jù)絕對值的意義可得;③的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示的點的距離之和,由兩點之間線段最短即可求得答案;【詳解】(1)解:數(shù)軸上表示數(shù)8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是,數(shù)軸上表示數(shù)-1的點和表示數(shù)的點之間的距離是,故答案為:5,2;(2)數(shù)軸上點A用數(shù)a表示,①若,則或,∴或,故答案為:或;②∵表示數(shù)軸上到表示點a的數(shù)的點和表示的點的距離,∴當時,有最小值,最小值是0;故答案為:,0③∵的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示的點的距離之和,由兩點之間線段最短可知:當時,有最小值,最小值為,故答案為;【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)、數(shù)軸上兩點間的距離,熟練掌握絕對值的意義和性質(zhì),逐步探索變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵
題型05絕對值在數(shù)軸中的應(yīng)用【典例分析】【例5-1】(23-24七年級上·云南楚雄·期末)若數(shù),在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示,則下列關(guān)系式:①|(zhì)a|>|b|;②;③;④;⑤.其中正確的有()
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸,有理數(shù)的加減,絕對值,數(shù)軸上數(shù)的大小比較.由數(shù)軸得,,|a|>|b|,進而得出,再根據(jù)有理數(shù)的加減法則判斷即可.【詳解】解:由數(shù)軸得,,|a|>|b|,①正確;②,正確;③,正確;④,正確;⑤,正確.其中正確的有5個,故選:A.【例5-2】(23-24七年級上·山西臨汾·期末)已知數(shù)a,b,c對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示,則.【答案】【分析】本題主要考查了化簡絕對值,整式的加減計算,根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷式子符號,先根據(jù)數(shù)軸上點的位置得到,進而得到,據(jù)此化簡絕對值即可得到答案.【詳解】解:由數(shù)軸上點的位置可知,∴,∴,故答案為;【例5-3】.(23-24七年級上·吉林長春·期末)如圖,在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點、、、,其中,且.(1)則的長為________;(2)若點對應(yīng)的數(shù)是2,點、、所對應(yīng)的數(shù)分別為、、,求的值.【答案】(1)2(2)2【分析】本題考查了數(shù)軸,絕對值,解題關(guān)鍵是計算出線段的長度.(1)根據(jù)已知條件可以直接求出.(2)根據(jù)已知條件得出A、B、C、D之間的距離為2,因為點C對應(yīng)的數(shù)是2,得出其他各點表示的數(shù),代入計算即可.【詳解】(1)解:2(2)因為,,所以.若點對應(yīng)的數(shù)是2,則a=-2,,d=4,
【變式演練】【變式5-1】(23-24七年級上·河南駐馬店·期末)如圖,數(shù)軸上的三個點表示的數(shù)分別是,且,則下列結(jié)論:;;a+c<0;.其中正確的有(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】此題考查了數(shù)軸的特征和應(yīng)用,絕對值的含義和求法,中點定義,根據(jù)a=b可得,b>0,與互為相反數(shù),即可判斷,由,得點表示的數(shù)為或,即或,即可判斷,熟練掌握用數(shù)軸表示數(shù)的方法及數(shù)軸上點的特點是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵a=∴由數(shù)軸可知,,b>0,與互為相反數(shù),∴,,故錯誤,正確;∵,∴點表示的數(shù)為或,即或,∴,故錯誤;,故正確;綜上可知,正確,故選:【變式5-2】(23-24七年級上·四川達州·期末)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示,化簡.【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的大小比較,通過數(shù)軸上數(shù)的大小去絕對值,整式的加減運算,熟悉掌握數(shù)軸的定義是解決本題的關(guān)鍵.由數(shù)軸可得,并從數(shù)軸上可得出,,絕對值的大小,從而可以得出各項式子的正負,去絕對值可得出答案.【詳解】解:由數(shù)軸得,,且,∴a+c<0,,,.故答案為:【變式5-3】(22-23七年級上·河南洛陽·期中)有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示,我們把在數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值,記作.那么在數(shù)軸上表示、兩點之間的距離記為,請你利用數(shù)軸回答問題:(1)在數(shù)軸上,如果表示的是,表示的是2,則兩點之間的距離為______.(2)數(shù)軸上表示和1兩點之間的距離為______.表示和兩點之間的距離為______.(3)判斷正負,用“>”或“<”填空:______0,______0,______0.【答案】(1)8(2),(3)>;<;>【分析】(1)求兩個數(shù)的差的絕對值即可;(2)利用絕對值的定義,再根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離解答即可;(3)根據(jù)、、在數(shù)軸上的位置判斷出其符號及絕對值的大小,再判斷出各式的符號即可.【詳解】(1)如果表示的是,表示的是2,則兩點之間的距離為.故答案為:;(2)和1兩點之間的距離為,和兩點之間的距離為.故答案為:,;(3)由題意可知,,,∴c-b>0,a-b<0,.故答案為:>,<,>.【點睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較,熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵
題型06絕對值的非負性在求值中的應(yīng)用【典例分析】【例6-1】(23-24七年級上·海南省直轄縣級單位·期末)如果,則的值為(
)A.1 B.3 C. D.【答案】A【分析】本題考查了絕對值及平方非負性的應(yīng)用,由題意得是解題關(guān)鍵.【詳解】解:∵,,∴∴∴a+b=1故選:A【例6-2】(23-24七年級上·江蘇徐州·期中)已知,求的值為.【答案】【分析】本題考查絕對值的非負性,代入求值,先根據(jù)絕對值得非負性求出,的值,然后代入解題即可.【詳解】解:由題可得:,解得,∴,故答案為:【例6-3】(22-23七年級下·廣東河源)已知:,求的值.【答案】8【分析】由,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì),可求得a與b的值,然后代入a與b的值即可得答案.【詳解】解:∵,∴,解得,∴當時,原式,即的值是8.【點睛】此題考查了非負數(shù)的性質(zhì),此題比較簡單,關(guān)鍵是求得a與b的值.【變式演練】【變式6-1】(23-24七年級上·安徽亳州·期末)若,則的值是(
)A.?1 B.1 C.?2023 D.2023【答案】A【分析】本題考查絕對值平方得非負性,代數(shù)式求值.根據(jù)題意計算出,再代入代數(shù)式即可得到本題答案.【詳解】解:∵,∴,解得:,∴,故選:A【變式6-2】.(23-24七年級上·廣東佛山·階段練習)若與互為相反數(shù),求的值為.【答案】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義以及絕對值、偶次方的非負性求出a、b的值,再代入計算即可.【詳解】解:∵與互為相反數(shù),∴,而∴,∴,∴故答案為:.【點睛】本題考查相反數(shù),絕對值以及偶次方的非負性,掌握絕對值、偶次方的非負性是解決問題的前提,求出a、b的值是正確解答的關(guān)鍵【變式6-3】(21-22七年級上·廣西柳州·期中)若,求的值【答案】1【分析】依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值,然后代入計算即可.【詳解】解:由|a+2|+(b﹣3)2=0,得a+2=0,b﹣3=0.解得a=﹣2,b=3.(a+b)2021=12021=1.【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)和乘方運算,熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
題型07絕對值的非負性在化簡中的應(yīng)用【典例分析】【例7-1】(21-22七年級上·安徽安慶·期中)實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡2|a+b|+|b﹣a|=.【答案】﹣3a﹣b/-b-3a【分析】根據(jù)絕對值都是非負數(shù),可化簡絕對值,根據(jù)整式的加減,可得答案.【詳解】解:從數(shù)軸可以看出,,且a>b,∴,,∴原式=﹣2(a+b)+b﹣a=﹣2a﹣2b+b﹣a=﹣3a﹣b,故答案為:﹣3a﹣b.【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸,利用正數(shù)的絕對值是它本身,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵【例7-2】(23-24七年級上·山東菏澤·期末)已知:b是最小的正整數(shù),且a、b、c滿足,請回答問題:
(1)求a、b、c的值.(2)a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C,點P為一動點,其對應(yīng)的數(shù)為x,點P在AB之間運動時(即時),請化簡式子:.【答案】(1)a的值為,的值為1,的值為5;(2)【分析】本題考查整式加減的應(yīng)用,非負數(shù)的性質(zhì)、理解數(shù)軸上點所對應(yīng)數(shù)的表示,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.(1)根據(jù)有理數(shù)的分類,偶次冪和絕對值的非負性求解;(2)根據(jù)點所在的位置結(jié)合絕對值的意義進行化簡,然后按照整式加減運算法則進行計算.【詳解】(1)解:是最小的正整數(shù),,,,a+b=0,,,的值為,的值為1,的值為5;(2)解:,,,,【例7-3】(22-23七年級上·四川南充·期中)已知:b最小的正整數(shù)且a、b滿足,試回答問題.(1)請直接寫出a、b、c的值.______,______,______.(2)a、b、c對應(yīng)的點分別為A、B、C,點P為一動點,其對應(yīng)的數(shù)為x,點P在0到2之間運動時(即時),請化簡式子:(請寫出化簡過程).
【答案】(1),1,5(2)10或【分析】(1)根據(jù)b是最小的正整數(shù),即可確定b的值,然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì),幾個非負數(shù)的和是0,則每個數(shù)是0,即可求得a,b,c的值;(2)根據(jù)x的范圍,確定,,的符號,然后根據(jù)絕對值的意義即可化簡.【詳解】(1)∵b是最小的正整數(shù),∴.∵∴,∴,,c=5;(2)∵,∴,,當時,,當時,,∴當時,;當時.綜上所述,的值為10或.【點睛】本題考查了數(shù)軸與絕對值:①當a是正有理數(shù)時,a的絕對值是它本身a;②當a是負有理數(shù)時,a的絕對值是它的相反數(shù);③當a是零時,a的絕對值是零【變式演練】【變式7-1】(21-22七年級上·湖北隨州·期中)已知:b是最小的正整數(shù),且a、b滿足.(1)請求出a、b、c的值;(2)a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C,點P為動點,其對應(yīng)的數(shù)為x,點P在0到2之間運動時(即時),請化簡式子:.(寫出化簡過程)【答案】(1),,c=5;(2)當時,;當時,.【分析】(1)根據(jù)絕對值和平方的非負性計算即可;(2)根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可;【詳解】(1)∵b是最小的正整數(shù),∴∵,∴,a+b=0,∴c=5,;(2)當時,,,x+3>0,∴,,,;當時,,,x+3>0,∴,,,;【點睛】本題主要考查了絕對值的非負性,偶次方的非負性,整式加減運算,準確計算是解題的關(guān)鍵【變式7-2】(23-24七年級上·湖北孝感·期中)已知是最小的正整數(shù),且滿足.(1)填空:_________,_________,_________;(2)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別是,點為數(shù)軸上一動點,其對應(yīng)的數(shù)為,點在1到2之間運動時(即),請化簡式子:;(3)在(2)的條件下,點在數(shù)軸上運動,若點以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點和點分別以每秒個單位長度和5個單位長度的速度向右運動.點與點之間的距離表示為,點與點之間的距離表示為.若在運動過程中的值保持不變,求的值.【答案】(1),1,5(2)(3)【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì),數(shù)軸上的動點,化簡絕對值,(1)根據(jù)最小的正整數(shù)、絕對值和平方的非負性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)x的取值范圍,去絕對值進行計算即可得;(3)首先求出A,B,C所在位置,然后計算出BC和AB,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)解:∵是最小的正整數(shù),∴,∵,∴a+b=0,,解得.(2)∵,∴,∴原式,,,,.(3)由題意知:秒后對應(yīng)的數(shù)分別為.所以,.,,.∵的值不變,∴.解得【變式7-3】(22-23七年級上·全國·單元測試)已知是最大的負整數(shù),且,,滿足,試回答問題:(1)請直接寫出,,的值;(2)若在數(shù)軸上所對應(yīng)的點為,點為數(shù)軸上一動點,其對應(yīng)的數(shù)為,點在原點到點之間運動時(包括原點和點),請化簡式子:.【答案】(1);(2)8【分析】(1)直接利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出a,b,c的值;(2)利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案.【詳解】(1)解:∵b是最大的負整數(shù),,∴;(2)解:由題意得,∴,∴.【點睛】此題主要考查了絕對值,正確利用絕對值的性質(zhì)化簡是解題關(guān)鍵.
題型08絕對值的非負性在求最值中的應(yīng)用【典例分析】【例8-1】(23-24七年級上·廣東廣州·期中)設(shè)個有理數(shù)滿足,且,則的最小值是()A.19 B.20 C.21 D.22【答案】B【分析】本題考查的是絕對值的非負性的應(yīng)用,由,結(jié)合已知條件得到,再取值驗證符合題意即可.【詳解】解:∵,∴,∴.當時,取,,則且,滿足題目條件,故所求n的最小值為20.故選B【例8-2】(23-24七年級上·吉林長春·階段練習)當時,|a-1|的值最小,最小值為.【答案】10【分析】本題考查絕對值的意義.由絕對值的意義可知,即說明當時,|a-1|的值最小,據(jù)此即可求解.【詳解】解:∵,∴當時,|a-1|的值最小,∴,|a-1|的最小值為.故答案為:1,0.【例8-3】(23-24七年級上·廣東廣州·階段練習)式子有沒有最小值,如果有,請你求出這個最小值和的值,如果沒有,請你說明理由.【答案】當時,有最小值.【分析】根據(jù)絕對值的非負性即可求解.【詳解】解:∵,∴,∴當時,有最小值.【點睛】此題考查了絕對值的知識,解題的關(guān)鍵理解任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù)【變式演練】【變式8-1】(23-24七年級上·四川綿陽·階段練習)若a是有理數(shù),則的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的非負性即可求解.【詳解】解:∵a是有理數(shù)∴可為正數(shù)、負數(shù)、零由絕對值的非負性可知:∴即:的最小值是故選:C【點睛】本題考查絕對值的非負性.熟記相關(guān)結(jié)論即可【變式8-2】(23-24七年級上·河南信陽·階段練習)已知,則的最大值為.【答案】【分析】本題考查了絕對值的意義,代數(shù)式求值,根據(jù)絕對值的意義可得,得出,代入代數(shù)式,即可求解.【詳解】解:∵,∴,∴,∴,∴,即的最大值為,故答案為:【變式8-3】(23-24七年級上·廣東廣州·期中)若、互為相反數(shù),、互為倒數(shù),并且的立方等于它本身.(1)試求值;(2)若,且,,試求的值.(3)若,則的最小值為.【答案】(1)(2)(3)2024【分析】(1)根據(jù)題意得a+b=0,進而有即可求得答案;(2)根據(jù)和之間的關(guān)系求得2a-3b、和的正負,求得代入代數(shù)式即可求得.(3)根據(jù)條件求出m的值,代入即可轉(zhuǎn)化為三個絕對值求最值,利用絕對值的意義即可求得.【詳解】(1)解:∵、互為相反數(shù),、互為倒數(shù),,,∴,.(2),a+b=0,,∴,,的立方等于它本身,∴,∵,,∴,,,∴.(3)∵,∴,無論還是都有,根據(jù)絕對值的意義為x到、和的距離之和,只有可以取得最小值,則.故最小值為2024.【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算、絕對值性質(zhì)及其意義、相反數(shù)和倒數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是絕對值的正負和到特定點之間的距離
題型09絕對值在實際問題中的應(yīng)用【典例分析】【例9-1】(23-24七年級上·山東菏澤·期末)如圖,檢測4個足球,其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù),不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù),則最接近標準質(zhì)量的是(
)A.B.C. D.【答案】C【分析】本題考查了正負數(shù)的實際應(yīng)用以及絕對值的意義,難度較小,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.用上面各個選項顯示的數(shù)值求出其絕對值,然后比較絕對值,絕對值最小就是最接近標準質(zhì)量,即可作答.【詳解】解:依題意,得,,,∵,∴最接近標準質(zhì)量的是“”,故選:C.【例9-2】(23-24七年級上·湖北宜昌·階段練習)裝牛奶的標準質(zhì)量為克,現(xiàn)抽取袋進行檢測,超過標準的質(zhì)量記為正數(shù),不足的記為負數(shù),結(jié)果如下表所示:(單位:克).其中,質(zhì)量最標準的是號(填寫序號)袋號①②③④⑤質(zhì)量+3【答案】④【分析】找出
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