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學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁,共5頁山東省淄博市名校2025屆數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期開學(xué)預(yù)測試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷(100分)一、選擇題(本大題共8個小題,每小題4分,共32分,每小題均有四個選項,其中只有一項符合題目要求)1、(4分)函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是()A.x且x≠1 B.x且x≠1 C.x且x≠1 D.x且x≠12、(4分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足為D,AD=8,DB=2,則CD的長為()A.4 B.16 C.2 D.43、(4分)某交警在一個路口統(tǒng)計某時間段來往車輛的車速情況如下表,則上述車速的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()A.50,8 B.50,50 C.49,50 D.49,84、(4分)一個菱形的兩條對角線的長分別為5和8,那么這個菱形的面積是A.40 B.20 C.10 D.255、(4分)用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°”時,應(yīng)先假設(shè)()A.有一個內(nèi)角小于60° B.每一個內(nèi)角都小于60°C.有一個內(nèi)角大于60° D.每一個內(nèi)角都大于60°6、(4分)如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB,=,BE=2,則tan∠DBE的值()A. B.2 C. D.7、(4分)矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是()A.對角線互相垂直B.對角線互相平分C.對角線相等D.每一條對角線平分一組對角8、(4分)為了解某小區(qū)居民的日用電情況,居住在該小區(qū)的一名同學(xué)隨機抽查了15戶居民的日用電量,結(jié)果如下表:日用電量(單位:度)45678戶數(shù)25431則關(guān)于這15戶家庭的日用電量,下列說法錯誤的是()A.眾數(shù)是5度 B.平均數(shù)6度C.極差(最大值-最小值)是4度 D.中位數(shù)是6度二、填空題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分)9、(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,則連結(jié)兩條直角邊中點的線段長為_______.10、(4分)已知是實數(shù),且和都是整數(shù),那么的值是________.11、(4分)當(dāng)x=_____時,分式的值為零.12、(4分)如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常數(shù))沒有實根,那么c的取值范圍是.13、(4分)使二次根式有意義的x的取值范圍是_____.三、解答題(本大題共5個小題,共48分)14、(12分)如圖,在四邊形中,,是的中點,,,于點.(1)求證:四邊形是菱形;(2)若,,求的長.15、(8分)如圖1,P為△ABC內(nèi)一點,連接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一個三角形與△ABC相似,那么就稱P為△ABC的自相似點.(1)如圖2,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中線,過點B作BE⊥CD,垂足為E,試說明E是△ABC的自相似點.(2)如圖3,在△ABC中,∠A<∠B<∠C.若△ABC的三個內(nèi)角平分線的交點P是該三角形的自相似點,求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù).16、(8分)如圖,在長方形ABCD中,AB=6,BC=8,點O在對角線AC上,且OA=OB=OC,點P是邊CD上的一個動點,連接OP,過點O作OQ⊥OP,交BC于點Q.(1)求OB的長度;(2)設(shè)DP=x,CQ=y,求y與x的函數(shù)表達式(不要求寫自變量的取值范圍);(3)若OCQ是等腰三角形,求CQ的長度.17、(10分)已知:如圖,在正方形ABCD中,E為DC上一點,AF平分∠BAE且交BC于點F.
求證:BF+DE=AE.18、(10分)如圖,在四邊形中,,,,,,點從點出發(fā),以每秒單位的速度向點運動,點從點同時出發(fā),以每秒單位的速度向點運動,其中一個動點到達終點時,另一個動點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為秒.(1)當(dāng)時,若以點,和點,,,中的兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形,且線段為平行四邊形的一邊,求的值.(2)若以點,和點,,,中的兩個點為頂點的四邊形為菱形,且線段為菱形的一條對角線,請直接寫出的值.B卷(50分)一、填空題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分)19、(4分)如圖,將正五邊形ABCDE的C點固定,并按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度,可使得新五邊形A′B′C′D′E′的頂點D′落在直線BC上,則旋轉(zhuǎn)的角度是______________度.20、(4分)如圖,在中,是邊上的中線,是上一點,且連結(jié),并延長交于點,則_________.21、(4分)要使四邊形ABCD是平行四邊形,已知∠A=∠C=120°,則還需補充一個條件是_____.22、(4分)如圖矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,過點O的直線分別交AD和BC于點E,F(xiàn),AB=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為_____.23、(4分)如圖,一次函數(shù)的圖象交軸于點,交軸于點,點在線段上,過點分別作軸于點,軸于點.若矩形的面積為,則點的坐標為______.二、解答題(本大題共3個小題,共30分)24、(8分)如圖,矩形OABC的頂點A,C在x,y軸正半軸上,反比例函數(shù)過OB的中點D,與BC,AB交于M,N,且已知D(m,2),N(8,n).(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)若將矩形一角折疊,使點O與點M重合,折痕為PQ,求點P的坐標;(3)如圖2,若將沿OM向左翻折,得到菱形OQMR,將該菱形沿射線OB以每秒個單位向上平移t秒.①用t的代數(shù)式表示和的坐標;②要使該菱形始終與反比例函數(shù)圖像有交點,求t的取值范圍.25、(10分)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,點P是射線BD上一動點,以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE,點E的位置隨著點P的位置變化而變化.(1)探索發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)點E在菱形ABCD內(nèi)部時,連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系是_______,CE與AD的位置關(guān)系是_______.(2)歸納證明證明2,當(dāng)點E在菱形ABCD外部時,(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由.(3)拓展應(yīng)用如圖3,當(dāng)點P在線段BD的延長線上時,連接BE,若AB=5,BE=13,請直接寫出線段DP的長.26、(12分)某市教育局為了了解初二學(xué)生每學(xué)期參加綜合實踐活動的情況,隨機抽樣調(diào)查了某校初二學(xué)生一個學(xué)期參加綜合實踐活動的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:(1)扇形統(tǒng)計圖中a的值為;(2)補全頻數(shù)分布直方圖;(3)在這次抽樣調(diào)查中,眾數(shù)是天,中位數(shù)是天;(4)請你估計該市初二學(xué)生每學(xué)期參加綜合實踐活動的平均天數(shù)約是多少?(結(jié)果保留整數(shù))
參考答案與詳細解析一、選擇題(本大題共8個小題,每小題4分,共32分,每小題均有四個選項,其中只有一項符合題目要求)1、B【解析】
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)且分母不為0,列出不等式組,即可求x的范圍.【詳解】2x﹣1≥0且x﹣1≠0,解得x≥且x≠1,故選B.考查自變量的取值范圍,掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)且分母不為0是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】
∵∠C=90°,CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°,∠CAD+∠CBD=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠CBD,∴△ADC∽△CDB,∴,∵AD=8,DB=2∴CD=1.故選A3、B【解析】
把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,第10、11個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù),在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是50,得到這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).【詳解】解:要求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù),把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,第10、11兩個數(shù)的平均數(shù)是50,所以中位數(shù)是50,在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是50,即眾數(shù)是50,故選:B.本題考查一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),在求中位數(shù)時,首先要把這列數(shù)字按照從小到大或從大到小排列,找出中間一個數(shù)字或中間兩個數(shù)字的平均數(shù)即為所求.4、B【解析】根據(jù)菱形的面積=對角線之積的一半,可知菱形的面積為5×8÷2=20.故選B.5、B【解析】
根據(jù)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立矩形解答即可.【詳解】解:用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于”時,第一步應(yīng)先假設(shè)每一個內(nèi)角都小于,故選:.本題考查的是反證法,解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.反證法的步驟是:(1)假設(shè)結(jié)論不成立;(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾;(3)假設(shè)不成立,則結(jié)論成立.6、B【解析】
試題解析:設(shè)AE=3x,∵∴BE=5x?3x=2x=2,∴x=1,∴AD=5,AE=3,故選B.7、B【解析】
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形,共有的性質(zhì)就是平行四邊形的性質(zhì).【詳解】矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是對角線互相平分.故選:B.本題考查矩形、菱形、正方形的性質(zhì),熟記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】
根據(jù)眾數(shù)的定義,在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多就是眾數(shù),以及根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求法,可以得出平均數(shù),極差是最大值與最小值的差,中位數(shù)是按大小排列后最中間一個或兩個的平均數(shù),求出即可.【詳解】解:∵由圖表得:15戶家庭日用電量分別為:4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8
∴此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是:5度,故本選項A正確;
此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:(4×2+5×5+6×4+7×3+8)÷15≈5.73度,故本選項B錯誤;
極差是:8-4=4度,故本選項C正確;
中位數(shù)是:6度,故本選項D正確.
故選:B.本題主要考查了眾數(shù),中位數(shù),極差以及加權(quán)平均數(shù)的求法,正確的區(qū)分它們的定義是解決問題的關(guān)鍵.二、填空題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分)9、6.5【解析】試題分析:依題意作圖可知EF為Rt△ABC中位線,則EF=AB.在Rt△ABC中AB=所以EF=6.5考點:中位線定理點評:本題難度較低,主要考查學(xué)生對三角形中位線定理知識點的掌握.10、【解析】
根據(jù)題意可以設(shè)m+=a(a為整數(shù)),=b(b為整數(shù)),求出m,然后代人=b求解即可.【詳解】由題意設(shè)m+=a(a為整數(shù)),=b(b為整數(shù)),∴m=a-,∴=b,整理得:
,∴b2-8=1,8a-ab2=-b,解得:b=±3,a=±3,∴m=±3-.故答案為?±3-.本題主要考查的是實數(shù)的有關(guān)知識,根據(jù)題意可以設(shè)m+=a(a為整數(shù)),=b(b為整數(shù)),整理求出a,b的值是解答本題的關(guān)鍵..11、1【解析】
要使分式的值為0,則必須分式的分子為0,分母不能為0,進而計算x的值.【詳解】解:由題意得,x﹣1=0且x+1≠0,解得x=1.故答案為:1.本題主要考查分式為0的情況,關(guān)鍵在于分式的分母不能為0.12、c>1【解析】
根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根時△<0,得出△=(-6)2-4c<0,再解不等式即可.【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常數(shù))沒有實根,∴△=(-6)2-4c<0,即36-4c<0,解得:c>1.故答案為c>1.13、【解析】試題分析:根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的條件,要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須.考點:二次根式有意義的條件.三、解答題(本大題共5個小題,共48分)14、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明四邊形是平行四邊形,再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得,從而可證四邊形是菱形;(2)作,垂足為,根據(jù)勾股定理求出BC的長,再利用菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.【詳解】解:(1),,四邊形是平行四邊形,,是的中點,,是菱形;(2)作,垂足為,,,,.,.四邊形是菱形,,,.此題考查菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、勾股定理、平行四邊形的判定,證明四邊形AECD是菱形是解題的關(guān)鍵.15、(1)詳見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)已知條件得出∠BEC=∠ACB,以及∠BCE=∠ABC,得出△BCE∽△ABC,即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A,∠ACB=2∠BCP=4∠A,即可得出各內(nèi)角的度數(shù).【詳解】解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中線,
∴CD=AB,
∴CD=BD,
∴∠BCE=∠ABC,
∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,
∴∠BEC=∠ACB,
∴△BCE∽△ABC,
∴E是△ABC的自相似點;
(2)∵P是△ABC的內(nèi)心,∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∵△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點,∴△BCP∽△ABC
∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A,∠ACB=2∠BCP=4∠A,
∴∠A+2∠A+4∠A=180°,
∴∠A=,
∴該三角形三個內(nèi)角度數(shù)為:,,.本題考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角,此題綜合性較強,注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關(guān)鍵.16、(1)5;(2);(3)當(dāng)或時,⊿OCQ是等腰三角形.【解析】
(1)利用勾股定理先求出AC的長,繼而根據(jù)已知條件即可求得答案;(2)延長QO交AD于點E,連接PE、PQ,先證明△AEO≌△CQO,從而得OE=OQ,AE=CQ=y,由垂直平分線的性質(zhì)可得PE=PQ,即,在Rt⊿EDP中,有,在Rt⊿PCQ中,,繼而可求得答案;(3)分CQ=CO,OQ=CQ,OQ=OC三種情況分別進行討論即可求得答案.【詳解】(1)∵四邊形ABCD是長方形,∴∠ABC=90°,∴,∴OB=OA=OC=;(2)延長QO交AD于點E,連接PE、PQ,∵四邊形ABCD是長方形,∴CD=AB=6,AD=BC=8,AD//BC,∴∠AEO=∠CQO,在△COQ和△AOE中,,∴△AEO≌△CQO(SAS),∴OE=OQ,AE=CQ=y,∴ED=AD-AE=8-y,∵OP⊥OQ,∴OP垂直平分EQ,∴PE=PQ,∴,∵PD=x,∴CP=CD-CP=6-x,在Rt⊿EDP中,,在Rt⊿PCQ中,,∴,∴;(3)分三種情況考慮:①如圖,若CQ=CO時,此時CQ=CO=5;②如圖,若OQ=CQ時,作OF⊥BC,垂足為點F,∵OB=OC,OF⊥BC,∴BF=CF=BC=4,∴,∵OQ=CQ,∴,∴,∴,∴;③若OQ=OC時,此時點Q與點B重合,點P在DC延長線上,此情況不成立,綜上所示,當(dāng)或時,⊿OCQ是等腰三角形.本題考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用等,準確識圖,熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.17、詳見解析【解析】
根據(jù)正方形的性質(zhì),將△ABF以點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)90°,AB必與AD重合,設(shè)點F的對應(yīng)點為F′,得△ADF′,且有△ABF≌△ADF′,如圖所示;
可得F′,D,E,C四點共線,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì),利用等量代換,可得∠AF′D=∠F′AE,即得AE=EF′=DF′+DE,再由DF′=BF,即可得證.【詳解】證明:∵ABCD是正方形,
∴△ABF以點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)90°,AB必與AD重合,設(shè)點F的對應(yīng)點為F′,得△ADF′,且有△ABF≌△ADF′,如圖所示.
∵∠ADF′+∠ADE=180°,
∴F′,D,E,C四點共線.
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFB.
又∵∠3=∠2=∠1,
∴∠F′AE=∠DAF=∠AFB.
而∠AF′D=∠AFB,
∴∠AF′D=∠F′AE,
∴AE=EF′=DF′+DE.
∵DF′=BF,
∴BF+DE=AE.本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì),以及等量代換的思想,解題的關(guān)鍵是找出合適的輔助線.18、(1)當(dāng)t=或4時,線段為平行四邊形的一邊;(2)v的值是2或1【解析】
(1)由線段為平行四邊形的一邊分兩種情況,利用平行四邊形的性質(zhì)對邊相等建立方程求解即可得到結(jié)論;(2)由線段為菱形的一條對角線,用菱形的性質(zhì)建立方程求解即可求出速度.【詳解】(1)由線段為平行四邊形的一邊,分兩種情況:①當(dāng)P、Q兩點與A、B兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時,∵AP∥BQ,∴當(dāng)AP=BQ時,四邊形APQB是平行四邊形,此時t=22-3t,解得t=;②當(dāng)P、Q兩點與C、D兩點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時,∵PD∥QC,∴當(dāng)PD=QC時,四邊形PQCD是平行四邊形,此時16-t=3t,解得t=4;綜上,當(dāng)t=或4時,線段為平行四邊形的一邊;(2)在Rt△ABP中,,AP=t∴,當(dāng)PD=BQ=BP時,四邊形PBQD是菱形,∴,解得∴當(dāng)t=6,點Q的速度是每秒2個單位時四邊形PBQD是菱形;在Rt△ABQ中,,BQ=22-vt,∴,當(dāng)AP=AQ=CQ時,四邊形AQPC是菱形,∴,解得,∴當(dāng)t=,點Q的速度是每秒1個單位時四邊形AQPC是菱形,綜上,v的值是2或1.此題考查圖形與動點問題,平行四邊形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),勾股定理,正確理解圖形的形狀及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.一、填空題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分)19、1°【解析】
由于正五邊形的每一個外角都是1°,所以將正五邊形ABCDE的C點固定,并依順時針方向旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)1°,就可使新五邊形A′B′C′D′E′的頂點D′落在直線BC上.【詳解】解:將正五邊形ABCDE的C點固定,并依順時針方向旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)1度,可使得新五邊形A′B′C′D′E′的頂點D′落在直線BC上.
故答案為:1.本題考查正多邊形的外角及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):
(1)任何正多邊形的外角和是360°;
(2)①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.20、1:8.【解析】
先過點D作GD∥EC交AB于G,由平行線分線段成比例可得BG=GE,再根據(jù)GD∥EC,得出AE=,最后根據(jù)AE:EB=:2EG,即可得出答案.【詳解】過點D作GD∥EC交AB于G,∵AD是BC邊上中線,∴,即BG=GE,又∵GD∥EC,∴,∴AE=,∴AE:EB=:2EG=1:8.故答案為:1:8.本題主要考查了平行線分線段成比例定理,用到的知識點是平行線分線段成比例定理,關(guān)鍵是求出AE、EB、EG之間的關(guān)系.21、∠B=∠D=60°【解析】
由條件∠A=∠C=120°,再加上條件∠B=∠D=60°,可以根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得到四邊形ABCD是平行四邊形.【詳解】解:添加條件∠B=∠D=60°,∵∠A=∠C=120°,∠B=∠D=60°,∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°∴AD∥CB,AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形).故答案是:∠B=∠D=60°.考查了平行四邊形的判定,關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理:①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.22、1.【解析】
首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF,得△AOE、△COF的面積相等,從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△BCD的面積.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,∠AEO=∠CFO;又∵∠AOE=∠COF,在△AOE和△COF中,∵,∴△AOE≌△COF(ASA),∴S△AOE=S△COF,∴S陰影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△BCD;∵S△BCD=BC?CD=1,∴S陰影=1.故答案為1.本題主要考查矩形的性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì)定理,掌握三角形的判定和性質(zhì)定理,是解題的關(guān)鍵.23、(,1)或(,3)【解析】
由點P在一次函數(shù)y=﹣2x+4的圖象上,可設(shè)P(x,﹣2x+4),由矩形OCPD的面積是可求解.【詳解】解:∵點P在一次函數(shù)y=﹣2x+4的圖象上,∴設(shè)P(x,﹣2x+4),∴x(﹣2x+4)=,解得:x1=,x2=,∴P(,1)或(,3).故答案是:(,1)或(,3)本題運用了一次函數(shù)的點的特征的知識點,關(guān)鍵是運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.二、解答題(本大題共3個小題,共30分)24、(1);(2);(3)①;;②【解析】
(1)由題意得OA=8,因為D為OB的中點,得出D(4,2),代入反比例函數(shù)的解析式可得;
(2)求出M點的坐標,再利用勾股定理求出OP的長,可得點P坐標;
(3)①過點O′作O′T⊥x軸,垂足為T,可得△OO′T∽△OBA,進而可表示的坐標,利用勾股定理求出CR,可表示的坐標;
②把R′(2t-3,t+4)代入反比例函數(shù)的解析式解答即可.【詳解】解:(1)∵N(8,n),四邊形OABC是矩形,
∴OA=8,
∵D為OB的中點,
∴D(4,2),
∴2=,則k=8,
∴y=;
(2)∵D(4,2),
∴點M縱坐標為4,
∴4=,則x=2,
∴M(2,4),
設(shè)OP=x,則MP=x,CP=4-x,CM=2,由勾股定理得:(4-x)2+22=x2,
解得:x=,即OP=,
∴P(0,);(3)①過點O′作O′T⊥x軸,垂足為T.
可得△OO′T∽△OBA,
∵,
∴=,
∵OO′=,
∴OT=2t,O′T=t,
∴O′(2t,t);
設(shè)CR=x,則OR=RM=x+2,
∴x2+42=(x+2)2,解得x=3,即CR=3,
∴R′(2t-3,t+4);②∵R′(2t-3,t+4),
根據(jù)題意得:t+4=,
化簡得:2t2+5t-20=0,解得:或(舍去),本題主要考查的是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì),求得CR的長是解題的關(guān)鍵.25、(1)BP=CE,CE⊥AD;(2)(1)中的結(jié)論仍成立.理由見解析;(3)PD=.【解析】
(1)由菱形ABCD和∠ABC=60°可證△ABC與△ACD是等邊三角形,由等邊△APE可得AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,減去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE,根據(jù)SAS可證得△BAP≌△CAE,故有BP=CE,∠ABP=∠ACE.由菱形對角線平分一組對角可證∠ABP=30°,故∠ACE=30°即CE平分∠ACD,由AC=CD等腰三角形三線合一可得CE⊥AD.
(2)證明過程同(1).
(3)由AB=5即△ABC為等邊三角形可求得BD的長.連接CE,由(2)可求∠BCE=90°,故在Rt△BCE中,由勾股定理可求CE的長.又由(2)可得BP=CE,由DP=BP-BD即求得DP的長.【詳解】解:(1)∵菱形ABCD中,∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等邊三角形
∴AB=AC,AC=CD,∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等邊三角形
∴AP=AE
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