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江西省上饒市玉山文苑學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集,集合,則(
)A.或 B.或C.或x>2 D.或x>22.“x>0”是“”的(
)A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知均為實(shí)數(shù),下列不等關(guān)系推導(dǎo)不成立的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則4.以下形式中,不能表示“是的函數(shù)”的是(
)A. B.C. D.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,,,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B.是奇函數(shù)C. D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱6.下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中,正確的是(
)A. B.C. D.7.已知函數(shù),則的值為(
)A. B.0 C.1 D.28.下列命題中,不正確命題的個(gè)數(shù)為(
).①函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn);②若函數(shù)有反函數(shù),則它一定是單調(diào)函數(shù);③若函數(shù)存在反函數(shù),則必有成立;④函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上有相同的單調(diào)性.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知不等式的解集為,且,則下列說法正確的是(
)A.B.C.有最大值D.不等式的解集為10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù),為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,若,下列敘述正確的是(
)A. B.關(guān)于對稱 C.關(guān)于對稱 D.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,的圖象關(guān)于對稱.當(dāng)時(shí),,若,則下列說法正確的是(
)A.的周期為4 B.的圖象關(guān)于對稱C. D.當(dāng)時(shí),三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù),若對任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.13.函數(shù)的值域?yàn)椋?4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.(15分)函數(shù)(1)當(dāng)恒成立時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍(3)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍16.(17分)已知函數(shù)經(jīng)過,兩點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明;(3)若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.(13分)我們知道,函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)是奇函數(shù),并寫出函數(shù)的對稱中心;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性(不用證明),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(17分)已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)設(shè)函數(shù),若對任意的,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(15分)已知函數(shù)在上的最大值為2,集合.(1)求的值,并用區(qū)間的形式表示集合;(2)若,對,都,使得,求實(shí)數(shù)的值.參考答案1.B【分析】根據(jù)全集和補(bǔ)集的概念可直接得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,所以?故選:B2.B【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系以及小范圍可以推出大范圍,大范圍推不出小范圍即可求解.【詳解】解:,“x>0”是“”的必要不充分條件.故選:B.3.D【分析】對于ABC,利用不等式的性質(zhì)即可判斷;對于D,舉反例判斷.【詳解】對于A,利用不等式的對稱性易知,若,則,故A正確:對于B,,說明,則,故B正確:對于C,利用不等式的可加性易知,若,,則,故C正確:對于D,取,,,,滿足條件,但,故D錯(cuò)誤.故選:D.4.C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義,判斷出C項(xiàng)中不滿足一個(gè)對應(yīng)唯一的一個(gè),從而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義,每一個(gè)自變量的值,都有唯一確定的值與之對應(yīng),選項(xiàng)C中,某些的值,有兩個(gè)值與之對應(yīng),不符合函數(shù)的定義,所以正確選項(xiàng)為C.故選:C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題,涉及到的知識點(diǎn)有函數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題目.5.D【分析】利用賦值法可得,即可判斷A,利用,即可根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B,利用可判斷的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,即可判斷D,結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì),即可求解C.【詳解】取,則,即,得,故A正確;取,則,得,故是奇函數(shù),B正確;對任意的都有,可得,因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,故D錯(cuò)誤;由于且是奇函數(shù),得,即,因此,C正確.故選:D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:由得到,即可判斷對稱,利用,即可利用遞推法求解.6.C【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式逐個(gè)判斷即可.【詳解】A中,(),故A錯(cuò)誤;B中,,故B錯(cuò)誤;C中,(),故C正確;D中,,故D錯(cuò)誤.故選:C.7.C【分析】將代入分段函數(shù)的解析式計(jì)算即可.【詳解】,又,所以.故選:C.8.D【分析】根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)圖象和性質(zhì)之間的關(guān)系,逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假,可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,,此時(shí)函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn),故①錯(cuò)誤;②若函數(shù)有反函數(shù),則函數(shù)一定是一一映射,但它不一定是單調(diào)函數(shù);故②錯(cuò)誤③若函數(shù)存在反函數(shù),若x不屬于函數(shù)的定義域時(shí),無意義;當(dāng)x不屬于函數(shù)的定義域時(shí),無意義;故③錯(cuò)誤;④函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上有相同的單調(diào)性,故④正確;故不正確的命題的個(gè)數(shù)為3個(gè),故選:D.9.ACD【分析】由一元二次不等式的解法判斷A;由題意可知方程的一個(gè)根為,將代入,再結(jié)合,可得,從而判斷B;將代入,可得,從而得,利用基本不等式判斷C;將、代入,求解后即可判斷D.【詳解】解:因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?,故A正確;由題意可知方程的一個(gè)根為,所以,又因?yàn)?,所以,即,故B錯(cuò)誤;因?yàn)椋?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,故C正確;因?yàn)?,,所以,即為,,即,解得:或,所以原不等式的解集為:,故D正確.故選:ACD.10.ACD【分析】利用奇偶性得到恒等式,再利用賦值思想即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以則可推出關(guān)于對稱,即故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以則關(guān)于對稱,故C正確;由令得,,由令得,,所以,所以,又因?yàn)椋瑒t,所以,故D正確,故選:ACD.11.AB【分析】由已知可得,結(jié)合,可求周期判斷A;由已知可得的圖象關(guān)于2,0對稱,結(jié)合對稱性與周期性可得的圖象關(guān)于對稱,判斷B;由已知可得,,結(jié)合已知可求判斷C;利用對稱性可求當(dāng)時(shí),的解析式判斷D.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱,所以,又,所以fx=-fx所以的周期為4,故A正確;因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱,所以的圖象關(guān)于2,0對稱,因?yàn)?,所以關(guān)于對稱,所以的圖象關(guān)于對稱,又的周期為4,所以可得的圖象關(guān)于對稱,故B正確;因?yàn)殛P(guān)于對稱,所以,又的圖象關(guān)于對稱,所以,所以,,又,所以,解得,所以當(dāng)時(shí),,,故C錯(cuò)誤;當(dāng),則,因?yàn)?,所以,故D錯(cuò)誤.故選:AB.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題解題思路在于利用函數(shù)的對稱性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對稱和中心對稱的特征,再利用對稱性推斷結(jié)論,得到相關(guān)點(diǎn)的函數(shù)值,確定參數(shù)值,得到函數(shù)的解析式,再利用函數(shù)對稱性求出相應(yīng)解析式.12.【分析】不等式變形為,然后由單調(diào)性可知恒成立,利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,且fx連續(xù),所以在R上單調(diào)遞增,所以不等式,所以對任意,恒成立,即因?yàn)殚_口向下,所以,解得.故答案為:13.【分析】分別求出每一段函數(shù)的值域,再求并集即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,所以;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以;綜上所述,,故答案為:.14.3【分析】設(shè),利用同構(gòu)結(jié)合二次方程的解可得,故可求的值.【詳解】設(shè),則,故即,整理得到:,故為方程的正根,故,故,故,故答案為:3.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:與對數(shù)有關(guān)的求值問題,應(yīng)該利用指對數(shù)的轉(zhuǎn)化把對數(shù)問題轉(zhuǎn)化指數(shù)問題來處理,轉(zhuǎn)化過程中注意觀察所得代數(shù)式的結(jié)構(gòu)便于利用同構(gòu)策略處理,15.(1);(2)或;(3).【分析】(1)討論,根據(jù)一元二次不等式恒成立及判別式列不等式求參數(shù)范圍;(2)由一元二次不等式根的個(gè)數(shù)得或,再應(yīng)用韋達(dá)定理及已知條件求參數(shù)范圍;(3)根據(jù)不等式恒成立,將主元看作并結(jié)合一元一次不等式性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),恒成立;當(dāng)時(shí),恒成立,則,解得;當(dāng)時(shí),顯然不恒成立.綜上,的取值范圍是.(2)由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以,且,解得或,所以,因?yàn)?,即,則,解得或,綜上,或.(3)若恒成立,對恒成立,則,即為.16.(1)(2)在上單調(diào)遞減,證明見解析(3)【分析】(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組求解即可;(2)利用單調(diào)性的定義證明即可;(3)將問題轉(zhuǎn)化為,然后利用單調(diào)性求解最值即可得解.【詳解】(1),,,解得,.(2)在0,1上單調(diào)遞減,證明如下:任取,且,則,,且,,,∴,,即,所以函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減.(3)由對任意恒成立得,由(2)知在0,1上單調(diào)遞減,函數(shù)在上的最大值為,,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.(1)證明見解析,(2)【分析】(1)利用奇偶函數(shù)的判定方法證得為奇函數(shù),根據(jù)的對稱中心即可判斷出函數(shù)的對稱中心;(2)由(1)可以判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得不等式的范圍.【詳解】(1)由題意,令,顯然函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),它關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,所以函數(shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(2)由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,由(1)知函數(shù)是奇函數(shù),又,即,所以,,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.(1)(2)【分析】(1)首先可得函數(shù)的定義域,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到,求出參數(shù)的值,再檢驗(yàn)即可;(2)首先求出在上的值域,再利用換元法求出在上的值域,依題意,即可得到不等式組,解答即可.【詳解】(1)由題意可得,函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,可得,經(jīng)檢驗(yàn),對于,成立,所以.(2)由(1)可得,因?yàn)?,所以,,,,,所以?dāng)時(shí)的值域,又,,設(shè),,則,當(dāng)時(shí),取最小值為,當(dāng)時(shí),取最大值為,即在上的值域,又對任意的,總存在,使得成立,即,所以,解得,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19.(1)2
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