2024-2025學年天津市濱海學校高二數(shù)學上學期第一次月考試卷及答案解析

-2025學年天津市濱海學校高二數(shù)學上學期第一次月考試卷滿分：150分考試時間：100分鐘一、單選題（每題5分，共60分）1.直線的傾斜角為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由直線的傾斜角求直線的斜率，結(jié)合直線方程得的值.【詳解】直線傾斜角為，所以斜率為，即，解得.故選：B2.若方程表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.(0,+∞)【答案】B【解析】【分析】方程配方，左邊配成平方和的形式，右邊為正即可表示圓．【詳解】方程化為標準方程為，有，∴．.故選：B3.已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.4.圓圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.5.若直線與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率、傾斜角之間的關(guān)系分析求解.【詳解】因為直線恒過點，直線與坐標軸的交點分別為，直線的斜率，此時傾斜角為；直線的斜率不存在，此時傾斜角為；所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：B.6.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用兩直線平行解出的值即可.【詳解】由題意，若，所以，解得或，經(jīng)檢驗，或時，，則“”是“”的充分不必要條件，故選：C．7.四棱錐中，，，，則頂點到底面的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先求出平面的法向量，再根據(jù)點到面的距離的向量公式求解即可.【詳解】設平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以頂點到底面的距離為.故選：A.8.已知直線與直線間的距離為，則（）A.或 B.C.或11 D.6或【答案】A【解析】【分析】運用兩條平行直線間距離公式計算即可.【詳解】直線可化為，所以，解得或．故選：A.9.已知直線l過定點，且方向向量為，則點到l的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計算與的夾角的余弦值得出直線與直線的夾角的正弦值，再計算點到直線的距離．【詳解】由題意得，所以，又直線的方向向量為，則，所以，設直線與直線所成的角為，則，則，所以點到直線的距離為．故選：A．10.已知點D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面及二次函數(shù)的最值求解.【詳解】因為，且四點共面，由空間四點共面的性質(zhì)可知，即，所以，所以當時，有最小值.故選：D11.已知集合，，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的元素以及求得的取值范圍.【詳解】集合表示直線，即上除去點的點，集合表示直線上的點．因為，所以直線與相交，且交點不是點，所以且，解得且．故選：C12.已知、為圓不同兩點，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，題目轉(zhuǎn)化為、到直線的距離之和，變換得到，計算得到答案.【詳解】因為Ax1,y1、所以，，，且，因為，則，因為，則是邊長為的等邊三角形，表示、到直線的距離之和，原點到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點，作于，且，，，故在圓上，.故的最小值為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是首先求出，再將題意轉(zhuǎn)化為表示、到直線的距離之和，最后利用中位線性質(zhì)和圓外點外圓上點距離最值問題解決.二、填空題（每題5分，共40分）13.已知經(jīng)過、兩點的直線l的方向向量為，則實數(shù)a的值為______．【答案】【解析】【分析】由已知得出，進而根據(jù)已知條件、結(jié)合向量共線列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.又直線l的方向向量為，所以，與共線，所以有，解得.故答案為：.14.直三棱柱中，，分別是的中點，，則所成角的余弦值為___________【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，設與所成角為，則.故答案為：15.已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過點，則直線的一般式方程為__________.【答案】或【解析】【分析】先由傾斜角求直線的斜率，然后寫出直線的點斜式方程，最后化為直線的一般式方程.【詳解】因為，且，則，所以直線的斜率為，又因為直線經(jīng)過點，則直線的方程為，所以直線的一般式方程為或.故答案為：或.16.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為__________.【答案】【解析】【分析】由，借助模長公式得出的長.【詳解】因為所以即故答案為：17.如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是_________．【答案】2【解析】【分析】求出關(guān)于直線和的對稱點，由兩個對稱點間距離得結(jié)論．【詳解】設點P關(guān)于直線AB的對稱點為，直線方程為，因此．解得，即，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2，0)，則光線所經(jīng)過的路程PMN的長為CD＝2．故答案為：．18.①坐標系中，經(jīng)過三點的圓的方程為___________②過兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程為___________【答案】①.②.【解析】【分析】①設所求圓的一般方程為，將三個點的坐標代入圓的一般方程，可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，可得出圓的方程，進而可求得圓心坐標和半徑.②首先設圓的標準方程為，根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】①設所求圓的一般方程為，由題意可得，解得，所以，所求圓的方程為②設圓的標準方程為，由題知：，所以標準方程為.故答案為:，19.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則點P形成的軌跡長度為________，點S與P距離的最小值是________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】建系，根據(jù)空間向量垂直關(guān)系可得點P的軌跡方程為.空1：根據(jù)圓的弦長公式運算求解；空2：根據(jù)空間中兩點間距離公式運算求解.【詳解】由題意可知，建立空間直角坐標系，如圖所示．則，設，則，因為AM⊥MP，則，解得，所以點P的軌跡方程為，空1：根據(jù)圓的弦長公式，可得點P形成的軌跡長度為；空2：因為，所以當時，點S與P距離的最小，其最小值為．故答案為：；.20.已知圓，點的坐標為，過點作直線交圓于兩點，則的取值范圍為______【答案】.【解析】【分析】取中點為，連接，，確定點的軌跡為以為直徑的圓，根據(jù)得到答案.【詳解】取中點為，連接，如圖所示：則，又，，故點的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，因為，，所以，即，則.故答案為：.三、解答題（前兩題每題12分，后兩題每題13分，共50分）21.已知點，直線和（1）過點作的垂線，求垂足的坐標；（2）過點作分別于交于點，若恰為線段的中點，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直線的位置關(guān)系求方程，再聯(lián)立求解交點坐標，（2）設出點坐標，由中點表示點坐標，分別代入直線方程聯(lián)立求解．【小問1詳解】，即，則，直線為，即，聯(lián)立方程，解得，故．【小問2詳解】不妨設，則，則，解得，故直線過點和點，故直線方程為，即．22.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，平面，，點是棱的中點，點是棱上的一點，且.（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，從而可證明.（2）分別求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，所以，設，則，解得，即.則，設平面的一個法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個法向量為.因為，設平面的一個法向量為，所以即，令，解得，所以平面的一個法向量為，又，所以平面平面；【小問2詳解】，所以.設平面的一個法向量為，所以，即令，解得，所以平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個法向量為.，所以平面和平面夾角的大小為23.已知圓與直線相切于點，圓心在軸上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線：與圓交于，兩點，求弦的最短長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，設出圓方程，再結(jié)合兩點之間的距離公式，以及直線垂直的性質(zhì)，即可求解．（2）先求出直線的定點，再判斷定點在圓內(nèi)，再結(jié)合垂徑定理，以及兩點之間的距離公式，即可求解．【小問1詳解】依題意，圓心在軸上，可設圓的方程為，圓與直線相切于點，，解得，，故圓的方程為．【小問2詳解】直線：，，令，解得，直線過定點，又圓的方程為．所以圓心，半徑，，故定點在圓的內(nèi)部，當直線與直線垂直時，弦取得最小值，，，，弦的最短長度為．24.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在求出長.【解析】【分析】（1）利用線面平行判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算，求直線與平面的夾角的正弦值，