2024-2025學年牡丹江市一中高二數(shù)學上學期10月考試卷及答案解析

-2025學年西北師大附中高二數(shù)學上學期第一次月考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和記為，那么表示的隨機試驗結(jié)果是（）A.2枚都是4點B.1枚是1點，另1枚是3點C.2枚都是2點D.1枚是1點，另1枚是3點，或者2枚都是2點【答案】D【解析】【分析】由隨機變量的意義可解.【詳解】A表示的是隨機試驗中的其中一個結(jié)果，B，C中表示的是隨機試驗中的部分結(jié)果，而D是代表隨機試驗中的所有試驗結(jié)果.故選：D.2.對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關(guān)系不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)事件之間的關(guān)系與運算分別判斷選項即可.【詳解】用表示試驗的射擊情況，其中表示第1次射擊的情況，表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間.由題意得，，，，則，，且.即ABC都正確；又，..故D不正確.故選：D.3.番禺圖書館新館是一個集知識、信息、文化為一體的綜合性閱讀場所.有段時間內(nèi)，若甲同學前往圖書館新館的概率為0.5，乙前往圖書館新館的概率0.8，且甲、乙兩人各自行動，則在此段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書館新館的概率是（）A.0.9 B.0.8 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用利用獨立事件及對立事件的概率公式計算即得.【詳解】依題意，甲、乙兩人都沒前往番禺圖書館新館的概率，所以甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書館新館的概率是.故選：A4.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投，先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響，則甲獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分三種情況，甲第一次即投中，第二次投中，第三次投中，求出相應(yīng)的概率相加后得到答案.【詳解】甲獲勝分為三種情況，甲第一次即投中，此時概率為，甲第一次沒有投中，第二次投中，乙沒有投中，此時概率為，甲前兩次沒有投中，第三次投中，乙兩次均未投中，此時概率為，故甲獲勝的概率為.故選：C5.兩等差數(shù)列和的前項和分別是,已知,則A.7 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】.故選：D.【點睛】等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，等差數(shù)列是比較重要的一類數(shù)列，也是高考中考查的重點內(nèi)容.6.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則取最大值時的為（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值，然后解不等式可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，.由于，所以，令，解得，所以取最大值時的為.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的最值，考查計算能力，屬于中等題.7.在等比數(shù)列中，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)基本量運算求出等比數(shù)列中，從而判斷是等比數(shù)列，最后應(yīng)用求和公式計算即可.【詳解】令的公比為，因為，所以，解得.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列是公比為首項為的等比數(shù)列，所以.故選：B.8.已知數(shù)列前n項和為，且，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而得數(shù)列的通項公式，然后由求和公式計算．【詳解】，時，，相減得，∴，又，，所以從第二項項開始成等比數(shù)列，時，，，故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列描述正確的是（）A.若事件A，B滿足，則A與B是對立事件B.若，，，則事件A與B相互獨立C.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”不是互斥事件D.一個袋子中有2個紅球，3個綠球，采用不放回方式從中依次隨機地取出兩球，第二次取到紅球的概率是【答案】BC【解析】【分析】A選項，舉出反例；B選項，利用判斷出事件A與B相互獨立；C選項，根據(jù)互斥事件的定義作出判斷；D選項，分兩種情況進行計算.【詳解】對于A，例如，投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A為“點數(shù)為1，2，3”，事件B為“點數(shù)為2，4，6”，則，但是A，B不是對立事件，故A不正確；對于B，，，故B正確；對于C，擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”能同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故C正確；對于D，若第一次摸到紅球，則第二次摸到紅球的概率為，若第一次摸到綠球，則第二次摸到紅的概率為，所以第二次摸到紅球的概率為，故D不正確.故選：BC10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為，公差，，是與的等比中項，則下列選項正確的是（）A. B.C.當且僅當時，取得最大值 D.當時，n的最大值為20【答案】BD【解析】【分析】分別運用等差數(shù)列求和公式以及等比中項的性質(zhì)，列方程可得首項和公差，可判斷A，B；判斷數(shù)列{an}中小于0的項以及大于0的項，可判斷C；由解不等式可判斷【詳解】因為，故，又，整理得到：，故，，故A錯，B正確.可得，當時，；當時，；當時，，故當、時，取得最大值，故C錯誤.又，令，則，即n的最大值為20，故D正確.故選：BD.11.已知數(shù)列滿足，，，則（）A.是等比數(shù)列 B.C.是遞增數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件探求數(shù)列的特性，再逐項分析計算判斷作答.【詳解】數(shù)列滿足，，，則，，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，A正確；，則，B不正確；，則，是遞增數(shù)列，C正確；，當時，，則，當時，，當時，，即，，D正確.故選：ACD【點睛】易錯點睛：等比數(shù)列公比q不確定，其前n項和直接用公式處理問題，漏掉對的討論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)三個隨機事件，若與互斥，與對立，且，，則_____________．【答案】【解析】【分析】由與對立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對立，，與互斥，.故答案為：.13.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項和為，則的最大值為_______【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，，進而求得等比數(shù)列的通項公式，得到，在由等差數(shù)列的求和公式，得到，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】因為為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比，由，可得，為方程的兩根，又由，所以，，得，即，所以，由，所以為等差數(shù)列，所以，則，即數(shù)列也為等差數(shù)列，所以，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當或9時，最大，最大值為18．故答案為：18．14.等差數(shù)列前13項和為91，正項等比數(shù)列滿足，則______．【答案】13【解析】【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的下標和性質(zhì)求解可得.【詳解】由題知，，解得，所以，所以.故答案為：13四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝.（1）數(shù)列是否為等差數(shù)列？說明理由．（2）求an.【答案】（1）是等差數(shù)列，理由見解析；（2）an＝.【解析】【分析】（1）由已知得－＝，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得證；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得答案.【詳解】解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，所以數(shù)列是以首項為＝，公差為d＝的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，＝＋(n－1)d＝，∴an＝.16.習近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機制、危機干預(yù)機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級：調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)列式求解，（2）由分層抽樣與對立事件的概率公式求解．【小問1詳解】由已知條件可得，每組的縱坐標的和乘以組距為1，所以，解得.【小問2詳解】由（1）知，所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評分在有人，有人，因為經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，心理等級均達不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為.17.設(shè)A、B、C三個事件兩兩相互獨立，事件A發(fā)生的概率是，A、B、C同時發(fā)生的概率是，A、B、C都不發(fā)生的概率是.（1）試分別求出事件B和事件C發(fā)生的概率；（2）試求A、B、C只有一個發(fā)生的概率.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式和對立事件概率公式列出方程組，求出事件B和事件C發(fā)生的概率；（2）在第一問的基礎(chǔ)上利用獨立事件和對立事件概率公式進行求解.【小問1詳解】由題意得：，，即，解得：或【小問2詳解】設(shè)A、B、C只有一個發(fā)生的概率為P，當時，則；當時，同理可得：，綜上：A、B、C只有一個發(fā)生的概率為18.已知數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用關(guān)系及等比數(shù)列定義求通項公式，利用等差數(shù)列的通項公式求基本量，即得的通項公式；（2）應(yīng)用錯位相減、等比數(shù)列前n項和公式求.【小問1詳解】當時，，解得.當時，,，兩式相減得，即，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，又，所以，解得，故.【小問2詳解】令，由（1）知，則，①，②①—②，得，所以.19.已知數(shù)列滿足：，．（）求，，的值．（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．（）令，如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），，；（2）見解析；（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系求值即可．（2）由遞推關(guān)系可得，與原式相減可得，即，于是可得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．（3）由（）可得，故，作差判斷可得數(shù)列前三項遞增，從第四項開始遞減，于是可得數(shù)列的最大項為．由題意可得恒成立，于是，解不等式可得所求范圍．試題解析：（）由題意，，，，計算可得，，．（）由題意可得，，，兩式相減得，即，∴，又