專題02圓的方程及位置關系（考點清單知識導圖+3考點清單+10題型解讀）（教師版） 2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題02圓的方程及位置關系【清單01】圓的方程一、圓的標準方程1.圓的基本要素：圓心和半徑2.圓的標準方程一般地，如果平面直角坐標系中⊙C的圓心為C（a，b），半徑為r（r>0），設M（x，y）為平面直角坐標系中任意一點，則點M在⊙C上的充要條件是CM=r，即（x（x?a）2+（y?b）二、圓的一般方程1.當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).當D2＋E2－4F=0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).3.當D2＋E2－4F<0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形.【清單02】點與圓的位置關系一．由圓的標準方程判斷點與圓位置關系圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設所給點為M(x0，y0)，則位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上│MA│＝r?點M在圓A上點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內│MA│<r?點M在圓A內點M(x0，y0)在圓內?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點在圓外│MA│>r?點M在圓A外點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2二．由圓的一般方程判斷點與圓位置關系已知M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置關系如下表：位置關系代數(shù)關系點在圓上x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0點在圓內x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0點在圓外x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0判斷二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓要"兩看"：一看方程是否具備圓的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；二看它能否表示圓．此時判斷D2＋E2-4AF是否大于0，或直接配方變形，判斷等號右邊是否為大于零的常數(shù).【清單03】直線與圓的位置關系及切線一．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0圖形二．圓的切線(1)過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.三.切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).注意：過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關系，以便確定切線的條數(shù)．四．圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【清單04】圓與圓的位置關系及切線、弦長一.圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種，分別為:外離、外切、相交、內切、內含。二.圓與圓位置關系的判定1.幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1，r2的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)2.代數(shù)法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?內切或外切；,Δ＜0?內含或外離Ｗ.))注意：涉及兩圓相切時，沒特別說明，務必要分內切和外切兩種情況進行討論．注意：1.圓與圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內含；2.圓與圓相交，兩圓有兩個公共點；3.圓與圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內切和外切.三.兩圓的公切線兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線，可分為外公切線和內公切線.兩圓的公切線有如圖所示的五種情況：位置關系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內切兩圓內含圖示????公切線條數(shù)432101.外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；2.外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；3.相交時，有2條公切線，都是外公切線；4.內切時，有1條公切線；5.內含時，無公切線.四．兩圓相交時公共弦所在直線的方程：圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：1.將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；2.兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2)．【考點題型一】圓的方程及解法方法總結：1.已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入，2.一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法:步驟如下:(1)根據(jù)題意設出圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(2)根據(jù)已知條件，列出關于a，b，r的方程組;(3)求出a，b，r的值，代入所設方程中即可另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程【例1】（23-24高二上·吉林長春·期中）圓心在x軸上，并且過點A?1,3和BA．x+42+C．x?22+【答案】D【分析】設圓心為Ea,0，由EA=【詳解】設圓心為Ea,0，由EA=EB可得所以，圓心為E?2,0，圓的半徑為EA故所求圓的標準方程為x+2故選：D.【變式1-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）與兩坐標軸都相切，且圓心在直線2x?y【答案】x+22【分析】設所求圓的標準方程為x?a2+y?b2=a2【詳解】設所求圓的標準方程為x?因為所求圓與兩坐標軸都相切，則b=±當b=a時，則圓心a,a在直線2x此時，所求圓的標準方程為x+6當b=?a時，則圓心a,?a在直線2x此時，所求圓的標準方程為x+2綜上所述，所求圓的標準方程為x+22+故答案為：x+22+【變式1-2】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知△ABC的頂點為A0，2，B6，4(1)求邊AC的垂直平分線的一般式方程；(2)求△ABC【答案】(1)2(2)(【分析】（1）求出直線AC的斜率，可得出AC邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式方程可得結果；（2）設△ABC的外接圓的方程為x2+y2【詳解】（1）設AC中點為D，所以D0+42,由題意得kAC=0?2又因為AC的垂直平分線過點D2,1所以AC的垂直平分線的方程為：y?1=2x?2（2）設△ABC的外接圓的方程為x將A，B，C三點坐標代入上式得2E+F所以圓M的方程為x2+y【變式1-3】（23-24高二上·江西·階段練習）若圓x2+yA．-9 B．-8C．9 D．8【答案】D【分析】由圓的一般方程配方得出其標準方程，由半徑為2得出答案.【詳解】由x2+y所以r=20?2m故選：D.【變式1-4】（22-23高二上·江蘇南通·期中）已知圓M：x2A．?3,1 B．?3,?1C．3,1 D．3,?1【答案】D【分析】把一般方程化為標準方程即可求解【詳解】圓M：x2x?3所以圓心坐標為3,?1，故選：D【考點題型二】圓的一般方程方法總結：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件方程表示的圖形D2＋E2－4F＞0圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)的圓D2＋E2－4F=0表示點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F<0不表示任何圖形【例2】（23-24高二上·浙江舟山·階段練習）若a∈?2,?1,0,1A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】由圓的一般方程表示圓的條件計算即可.【詳解】由題意可知：a2解之得?2<a又a∈?2,?1,0,1故選：C【變式2-1】（22-23高二上·江蘇蘇州·期中）曲線x2+y【答案】4【分析】分情況去掉絕對值，從而可作出曲線的圖像，進而求得面積.【詳解】分四種情況討論：①當x<1,y<0表示圓心為(0,?1)，半徑為2的圓；②當x<1,y≥0表示圓心為(0,1)，半徑為2的圓；③當x≥1,y<0表示圓心為(2,?1)，半徑為2的圓；④當x≥1,y≥0表示圓心為(2,1)，半徑為2的圓.作出圖像如下圖所示：由圖可知：曲線所圍成圖形為四個半圓和一個正方形所組成的區(qū)域，正方形邊長和圓的直徑相等，所以S=2×故答案為：4π【變式2-2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）若方程x2A．m<?1 B．C．m>?1 D．【答案】C【分析】若二元二次方程x2+y【詳解】由D2得(4m即4m解得m故選：C.【變式2-3】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知拋物線y=x2?4x+3與x軸交于A,B（其中點B在點A的右邊），與(1)求圓M的方程；(2)經(jīng)過點B的直線l與圓M的另一個交點為P，若PB=AC，求直線【答案】(1)x(2)3x?【分析】（1）求出點A,（2）求出AC，設出直線方程，然后利用垂徑定理列方程求解.【詳解】（1）對于拋物線y令y=0得x=1或x=3令x=0得y=3設圓的方程為x2所以1+D+F故圓M的方程為x2（2）由（1）得圓M的標準方程為x?22+y?2又PB=當直線l斜率不存在時，PB=1當直線l斜率存在時，設為y=kx則PB22=52即直線l的方程為3x?【變式2-4】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）若圓C的方程為x2+yA．36π5 B．C．125π5【答案】D【分析】根據(jù)圓的方程求出圓的半徑的最小值，即可求得答案.【詳解】因為圓C的方程為x2故(2m)2故圓的半徑的最小值為12則圓C的最小周長為2π×3故選：D.【考點題型三】點與圓的位置關系方法總結：位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上│MA│＝r?點M在圓A上點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內│MA│<r?點M在圓A內點M(x0，y0)在圓內?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點在圓外│MA│>r?點M在圓A外點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2【例3】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）圓(x?1)2+(A．3 B．5C．7 D．9【答案】B【分析】求出圓心到點Q的距離d，則距離在d?【詳解】設圓心為O，半徑為r，坐標為1,2，則d=OQ=4?12故選：B.【變式3-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）若點P(a,b)A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)點與圓，直線與圓位置關系計算即可判斷.【詳解】因為點Pa,b所以a2設圓心C0,0到直線ax+by則d=圓C:x2因為d>r，所以直線ax+故選：C.【變式3-2】（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）點P3,a關于直線x+y?A．4 B．6C．8 D．10【答案】BC【分析】利用軸對稱的性質，算出點P3,a關于直線x+y?a=0的對稱點Q【詳解】設點P3,a關于直線x+則y?ax?3?若點Q在圓x?22+y?4對照各個選項，可知B、C兩項符合題意．故選：BC．【變式3-3】（多選）（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知圓M：x2A．點4,0在圓M外 B．圓M的半徑為5C．直線x+y=0截圓M的弦長為3 【答案】BD【分析】將圓的方程標準化即可判斷B項，運用比較已知點到圓心的距離與半徑即可判斷A項，由弦長公式計算可判斷C項，由直線是否過圓心可判斷D項.【詳解】因為x2所以圓心坐標為(2,0)，半徑為r=對于A項，因為點(4,0)到圓心的距離d=所以點(4,0)在圓M內，故A項錯誤；對于C項，因為圓心到直線的距離為d=所以弦長為2r對于D項，因為直線x+3y?2=0所以圓M關于x+3故選：BD.【變式3-4】（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓C：x?3A．圓C過定點 B．點0,0在圓C外C．直線4x?3y?3=0平分圓周 D．存在實數(shù)【答案】ACD【分析】選項A，將圓的方程化簡得到x2+y選項B，利用點與圓位置關系的判斷方法即可判斷出選項的正誤；選項C，根據(jù)條件，可得圓心(3k,4k選項D，根據(jù)條件可得4k?1=【詳解】對于選項A，由x?3k2整理得到x2由x2+y2+2y=06x+8y對于選項B，因為圓心為(3k,4k點0,0到圓心的距離d=又因為k∈R，當k>0時，d<r，此時點對于選項C，因為圓心為(3k,4k?1)，又對于選項D，若圓與x軸相切，則有4k?1=1+25k2，即故選：ACD.【考點題型四】直線與圓的位置關系方法總結：直線與圓的位置關系的判斷方法若給出圖形，可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計算量小，代數(shù)法可一同求出交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當?shù)倪x擇.【例4】（23-24高二上·江蘇淮安·期中）已知點P(m,n)在圓OA．相交 B．相切C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離與半徑進行比較，從而求解.【詳解】由點P(m,n)圓心O0,0到直線的距離：d所以得：直線mx+ny=6故選：A【變式4-1】（23-24高二上·江蘇南京·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知點A3,0，動點Px,y滿足PAPOA．外離 B．外切C．相交 D．內切【答案】C【分析】利用已知條件列出方程，化簡可得點P的軌跡方程為圓，再判斷圓心距和半徑的關系即可得解.【詳解】由PAPO=2，得則x?32+表示圓心為(?1,0)，半徑為R=2圓x?12+y?1兩圓的圓心距為?1?12+0?1所以兩個圓相交.故選：C.【變式4-2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）直線ax+y?A．相交 B．相切C．相離 D．三種關系均存在【答案】A【分析】根據(jù)直線方程得到直線恒過定點1,?1，然后根據(jù)點1,?1在圓內得到直線與圓相交.【詳解】直線ax+y?令x?1=0y+1=0，解得x=1y因為12+?1所以直線ax+故選：A.【變式4-3】（23-24高二上·江蘇·期中）若直線l:kx?y?2=0A．43,2 C．?2,43∪【答案】A【分析】先求出直線l:kx?y?2=0所過的定點(0,?2)，再將曲線1?【詳解】直線l:kx?將1?(y?1)∴曲線C:1?(y?1)2=x?1當直線l經(jīng)過點(1,0)時，l與曲線C有兩個不同的交點，此時k=2，直線記為l當l與半圓相切時，由|k?3|k2+1當43<k≤2時，故選：A.【變式4-4】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）直線y=?x+1A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【分析】聯(lián)立方程后考慮方程組的解，從而可得交點的個數(shù).【詳解】聯(lián)立直線方程和曲線方程可得y=?x+1即y≤1y2?y=0，解得y=0故選：C【考點題型五】圓的切線方法總結：求過某一點的圓的切線方程(1)點(x0，y①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為-1k②)如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y=y0或x=(2)點(x0，y①設切線方程為y-y0=k(x-x②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x=xo，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況【例5】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓C:x2+y2+2x?2A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】先判斷1,?1與圓的位置關系，然后可判斷出切線條數(shù).【詳解】因為圓心為?1,1，半徑r=所以1,?1到?1,1的距離為22所以1,?1在圓外，過圓外一點作圓的切線有2條，故選：B.【變式5-1】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知圓C:x2+y2?2A．5 B．7C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心與半徑r,利用兩點間的距離公式求得PC,從而切線長為PC【詳解】圓C:x2+y2?2x∴切線長為PC故選:B.【變式5-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）圓x+12+y?2【答案】2x【分析】由切線與過切點的半徑垂直求得切線斜率后可得切線方程．【詳解】圓心坐標為(?1,2)，圓心與切點連線斜率為2?1?1?1切線方程為y?1=2(x?1)故答案為：2x【變式5-3】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）問題：平面直角坐標系xOy中，圓C過點A（6，0），且___________.（在以下三個條件中任選一個，補充在橫線上.）①圓心C在直線l:2x?7y+8=0上，圓C過點B（1，5）；②圓C過點B(1,5)和D(5,?1)(1)求圓C的標準方程；(2)求過點A的圓C的切線方程.【答案】(1)((2)3【分析】（1）選①條件,設出圓方程，將圓心坐標代入直線方程、點的坐標代入圓方程，利用待定系數(shù)法求解；選②條件，點的坐標代入圓方程，利用待定系數(shù)法求解；選③條件，設圓C的方程為x2+y（2）求得kAC=?2【詳解】（1）選①條件設所求圓的方程為(x(6?a)2+(0?b)所以所求圓的方程是(x選②條件設圓C的方程為x2因為圓C過點A，B，C，所以有62解得D=?6，E=?4，F(xiàn)=0即(選③條件因為圓C過直線3x+5yx2因為圓C過點A（6，0），將點A的坐標代入方程，解得λ=?2所以圓C的方程是x2+（2）∵A在圓C上，kAC=?2∴過點A的切線方程是y=32【變式5-4】（23-24高二上·江蘇常州·期中）如圖，已知圓O：x2+y2=1，點P

(1)已知t=1(2)直線MN是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.【答案】(1)x=1或(2)直線MN恒過定點，定點坐標為0,【分析】（1）易知當切線斜率不存在時其方程為x=1；當切線斜率存在時設其方程為y（2）如圖，易知M,O,N,【詳解】（1）由題意知，當切線斜率不存在時，切線方程為x=1當切線斜率存在時，設切線方程為y?4=即kx?得4?kk2+1=1綜上，切線方程為x=1或y（2）連接OM、ON，則OM⊥

則M,O,N,連接MN，則MN為兩圓的公共弦.又O1(0+所以O1:(兩圓的方程相減，得tx+4即直線MN的方程為tx+4y?1=0所以直線MN恒過定點(0,1【考點題型六】直線與圓相交弦長問題方法總結：含參直線注意不要忽略斜率不存在的情況【例6】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）過點0,2引直線l與圓x2+y2=2A．±33 C．±1 D．±【答案】D【分析】當直線l的斜率不存在時，直線l即為y軸，此時A、B、O三點共線，不符合題意；當直線l的斜率存在時，設方程為y=kx+2【詳解】x2+y2=2當直線l的斜率不存在時，直線點0,2可得直線l即為y軸，此時A、不符合題意；當直線l的斜率存在時，設方程為y=S△所以當sin∠AOB=1即∠AOB即△AOB為等腰直角三角形，可得O到l的距離為1即圓心0,0到直線l的距離為d=解得k=±故選：D.【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線l:mx+(1)試判斷直線l與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若直線l與圓O交于A,B兩點，分別過A,B的圓【答案】(1)直線l與圓O相交，理由見解析(2)m【分析】（1）由直線過圓內一定點P?1,1（2）由直線與圓切的幾何性質，得四邊形OADB為正方形，轉化為圓心到直線的距離為22r，從而建立關于參數(shù)【詳解】（1）直線l與圓O相交，理由如下：直線l可化為：mx由此可知l恒過定點P?1,1由OP=?12+1所以，直線l與圓C相交.（2）設分別過A,B的圓O的切線交點為所以OA⊥AD，OB⊥BD所以四邊形OADB為正方形，則點O到直線AB的距離為d=則有m?1解得：m=?2±

【變式6-2】（多選）（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知圓M:(x+1)2+(y+1)2=4，直線l:x+yA．四邊形MAPB面積的最小值為4B．線段AB的最小值為2C．當直線AB的方程為x+y=0D．若動直線l1//l，l1且交圓M于C、D兩點，且弦長CD【答案】ABD【分析】由切線性質PA⊥AM，PB⊥MB，PA=PB，由點到直線距離公式求得圓心M到直線l的距離，結合四邊形MAPB面積計算判斷AB，當AB方程為x+y=0時，由對稱性求得AB，求出∠APB，然后再取一特殊值得出【詳解】圓M:(x+1)2可知|MA|=|MB|=2，SMAPB=2S△APM當|PM|取最小值時，四邊形此時|PM所以四邊形MAPB面積的最小值為28?4又圓心M(?1,?1)到直線l的距離d所以當SMAPB取得最小值時，S可得|AB|=22S當直線AB的方程為x+y=0時，kAB=?1所以直線AB與直線OM垂直，又O是AB中點，|MA|=|MB所以|AB|=2|所以MA⊥易得四邊形MAPB是正方形，此時∠APB=90°，而當PM=4時，直角三角形中sin∠APM=2設M到直線l1的距離為d1，因為|CD所以d12=設l1:x+y解得m∈(0,2?所以直線l1的橫截距?m的取值范圍為故選：ABD【變式6-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知半徑為4的圓C與直線l1：3(1)求圓C的方程；(2)已知直線l2：kx?y+3=0與圓C相交于A，B兩點，當【答案】(1)x2(2)14x?2y【分析】（1）設出圓的標準方程，利用直線與圓相切即可求得圓的方程;（2）根據(jù)幾何法求弦長，表示出面積，借助基本不等式計算即可.【詳解】（1）結合題意：因為圓心C在y軸的負半軸上,且半徑為4,所以可設圓的標準方程為：x2+y?因為直線l1：3x?4y+8=0即：d=?4b+83所以圓C的方程為：x2（2）由上問可得：x2+y+32所以圓心到直線l2：kx?y結合圓的弦長公式：AB=2直線l2與圓C相交于A，B兩點，所以0<所以S△當且僅當d2=16?d2時，即即d=0+3+3k所以直線l2的方程：14x?2【變式6-4】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知A是圓C1:x2+(y?6【答案】π【分析】首先得到圓心坐標與半徑，則當點A到點C2的距離最短，并且AC、AB與圓C2相切（B、C為切點）時，∠BAC【詳解】圓C1:x2+圓C2:x?23因為A是圓C1:x2+y?可知點A到點C2的距離最短，并且AC、AB與圓C2:(x?23此時點A在線段C1C2又AC2=(23所以∠BAC=2∠BAC2故答案為：π2【考點題型七】圓與圓的位置關系方法總結：判斷圓與圓的位置關系的兩種方法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程組成二元二次方程組，消元化成一元二次方程，通過方程根的判別式，應用此法時要注意當?=0或?<0時，兩圓相切或相離，均又包含兩種情況，因此，應用此法比較繁瑣（2）幾何法:應用此法判斷圓與圓的位置關系的步驟:①將兩圓的方程化為標準方程;②求兩圓的圓心坐標和半徑r1，r③求兩圓的圓心距d;④比較d與|r1-r2|，|r【例7】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）若圓C1:(x?A．4,6 B．4,6C．?6,?4∪4,6 【答案】C【分析】根據(jù)兩圓相交建立不等式求解.【詳解】由圓的方程可知，C1C2所以根據(jù)兩圓相交可得4<|a|<6，即4<a故選：C【變式7-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）設集合M=x,yx2+A．0,2?1 C．0,2?2 D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的意義及集合間的運算結果可得兩圓位置關系，進而可得參數(shù)范圍.【詳解】由已知集合M=x,yx2+集合N=x,yx?12又M∩得圓M與圓N相內切或內含，且圓N在內部，所以MN=解得r≤2?又r>0所以0<r故選：C.【變式7-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知圓O1：x2+y2=1，圓【答案】?4,4【分析】由題意確定兩圓的圓心和半徑，利用圓與圓的位置關系建立不等式組，解之即可.【詳解】由題意知，O1(0,0),r因為圓O1與圓O2有公共點，所以r2解得?4≤a≤4，所以實數(shù)a取值范圍是故答案為：?4,4.【變式7-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知圓C1：x2+y2?2x?6y=0，圓A．20 B．－20C．10 D．－10【答案】B【分析】求出兩圓的相交弦所在直線的方程，將圓C1【詳解】圓C1：x所以圓心為1,3，半徑為10，若圓C2平分圓C1的周長，則圓C1的圓心1,3在圓C將圓C2：x2+y2得兩圓公共弦所在直線方程m+2代入1,3得m+2故選：B【變式7-4】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知圓C:x2+y(1)若P為圓C上的動點，當∠PAO最大時，求直線PA(2)若圓M過點O及點A，且與圓C外切，求圓M的方程.【答案】(1)2+(2)x【分析】（1）求出點P的位置，即可得出直線PA的斜率；（2）設出點M坐標，利用圓M與圓C外切和圓M到原點的距離即可得出圓M的方程.【詳解】（1）在圓C:xC:x?22+當∠PAO最大時，PA與圓相切，CP此時A?2,0,C2,4,P點恰好是以B0,2為圓心，AC=42為直徑的圓B此時∠APC∴∠PACtan75°=（2）由題意及（1）得，在圓C:x圓心C2,4，半徑R圓M過點O及點A，∴圓M的圓心N在直線x=-1設M(?1,b)因為圓M與圓C外切，所以|CM|=(2?(?1))又OM=(?1)2∴聯(lián)立解得：b=1或b所以r=故所求圓M的標準方程為：x+1【考點題型八】圓的公切線與相交弦方法總結：兩圓的公切線有如圖所示的五種情況：位置關系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內切兩圓內含圖示????公切線條數(shù)432101.外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；2.外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；3.相交時，有2條公切線，都是外公切線；4.內切時，有1條公切線；5.內含時，無公切線.【例8】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）若圓x2+y2=1與圓xA．?3 B．3C．3或?3 D．5【答案】C【分析】分析可知兩圓外切，可得出關于實數(shù)a的等式，解之即可.【詳解】圓x2+y2=1圓x?42+y?因為兩圓有3條公切線，則兩圓外切，則C1C2解得a=±3故選：C.【變式8-1】（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）若圓C1:x2+A．1 B．121C．36 D．126【答案】AB【分析】由C1與圓C【詳解】由圓C1:x則圓C1可得C1(2,0),C2(?2,?3)若圓C1與圓C2有且僅有一條公切線，則C1則滿足C1C2=r2?故選：AB.【變式8-2】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知過點A1,3的圓C:x?a(1)求圓C的標準方程；(2)求過點1,0且被圓C截得的弦長為3的直線l的斜率k.【答案】(1)x(2)k【分析】（1）由已知條件，利用待定系數(shù)法解得a,（2）設直線方程為y=【詳解】（1）因為圓C過點A1,3，所以1?a因為圓C的圓心在直線y=2x上，所以b又因為圓C與直線3x?4y=0又0<a<2，則①②③聯(lián)立解得所以圓C的標準方程為x?1（2）由題意可得圓心到直線l的距離d=設直線l方程為y=kx所以d=k?2?【變式8-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓C的圓心在直線y=x(1)求圓C的方程；(2)已知直線l經(jīng)過0,3，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．【答案】(1)((2)y=3或【分析】（1）由點C在直線y=（2）首先結合圖形判斷點D0,3在圓上，設出直線l，利用垂徑定理將弦長問題轉化為圓心到直線的距離問題求得k【詳解】（1）設圓心坐標為C(m,m)，因圓C過點A解得：m=1，則C(1,1),圓的半徑為5，故圓C的方程為：（2）如圖，直線l經(jīng)過的點D0,3恰好在圓C上，因直線l被圓C截得的弦長為2，故其斜率一定存在，設直線l為l即l:kx?y+3=0，過點C作CH⊥DE,垂足為H即點C到直線l的距離為|k+2|k2+1=2，解得：k=0或k【變式8-4】（23-24高二上·江蘇南通·期中）在下列所給的兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.①與直線3x+4y+2=0平行；問題：已知直線l過點P1,?2(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓x2+y2=5相交于點P【答案】(1)3(2)4【分析】（1）若選①，由題可得直線l斜率，結合直線l過點P1,?2可得答案；若選②（2）由（1）可得直線到圓x2+y2=5【詳解】（1）若選①，因為直線3x+4y+2=0的斜率為?3所以直線l的斜率為k=?34依題意，直線l的方程為y若選②，因為直線l過點5,?5及1,?2，所以直線l的方程為x?51?5=（2）若選①，x2+y2=5d=532+42若選②，圓x2+y2=5d=532+42【考點題型九】與圓相關的最值問題【例9】（21-22高二下·江蘇南通·期中）已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點P在圓x2A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【分析】先求得直線過的定點的坐標，再由圓心到定點的距離加半徑求解.【詳解】解：直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即為x?3所以直線過定點Q3,4所以點P到直線l的距離的最大值為OQ+故選：D【變式9-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知點P為圓A:(x?4)2+y2=4A．6 B．7C．8 D．9【答案】D【分析】取點C(3,0)，則PO=2PC，將PO【詳解】由題意可知：圓A的圓心A4,0，半徑為r1=2，圓B的圓心BP為圓A:(x?4)2O為坐標原點，取C(3,0)，由ACAP=APAO因為PQ≥PB?1，當且僅當Q可得PO=2PC當且僅當P在線段BC上時，等號成立，綜上所述：PO+PQ+PB≥9故選：D.

【變式9-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點P是直線l:4x+3y+7=0A．1 B．2C．3 D．2【答案】B【分析】當PC⊥l時PC最小，PM最小，求出PC最小值即得【詳解】由題得PM2=PC2?由題得PC所以52故選：B.【變式9-3】（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）圓C1:x2+y2A．AB的直線方程為2B．公共弦AB的長為2C．線段AB的垂直平分線方程為xD．圓C1上的點與圓C2【答案】AD【分析】將兩圓方程作差，可得出直線AB的方程，可判斷A選項；求出直線AB截圓C1所得弦長，可判斷B選項；分析可知，線段AB的垂直平分線為直線C1C【詳解】對于A選項，將兩圓方程作差可得?4x+2y所以，直線AB的方程為2x對于B選項，圓C1的標準方程為x?22+y圓心C1到直線AB的距離為d所以，AB=2對于C選項，圓C2的標準方程為x2+y?1連接AC1、AC2、因為2×0?1+1=0，所以，直線AB過圓心C2，易知C2為又因為AC1=BC1，所以，kC1C2=0?12?0對于D選項，圓C1上的點與圓C2上的點的最大距離為故選：AD.【變式9-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）設點P是函數(shù)y=??x2+2x+3圖象上任意一點，點Q的坐標2a,a?3a∈R，當PQ取得最小值時圓C：【答案】3,5【分析】由點Q的坐標2a,a?3a∈R，可得Q在直線l上，l方程為：x?2y?6=0，由y=??x2+2x+3，兩邊平方可得軌跡為半圓，經(jīng)過圓心M與【詳解】因為點Q的坐標2a可得Q在直線l上，l：x?2由y=?兩邊平方得x?1可得軌跡為半圓，圓心M1,0經(jīng)過圓心M與l垂直的直線為：2x把1,0代入可得m=?2則此直線方程為：2x聯(lián)立2x+y所以當PQ取得最小值時，Q2,?2所以2a=2，解得所以圓C為x+1圓心C?1,2到直線4d=由圓上恰有2個點到直線4x?3y則實數(shù)r的取值范圍為4?1,4+1，即3,5.故答案為：3,5【考點題型十】軌跡方程方法總結：求軌跡方程的常見方法①直接法:將動點滿足的(與斜率、距離、數(shù)量積等有關的，或由平面幾何知識推出的)等量關系，直接坐標化，即可得到動點軌跡方程②定義法:若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，可根據(jù)定義直接求，又稱幾何法，利用平面幾何知識轉化是關鍵.③代入法:若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知(或容易先確定的)曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y【例10】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知坐標平面上點Mx,y與兩個定點A(1)求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(2)記（1）中的軌跡為C，過點M1,12的直線l被C所截得的線段的長為2【答案】(1)點M點軌跡方程為x2(2)x=1或【分析】（1）根據(jù)題意直接列方程化簡求解即可，（2）分直線l斜率不存在和直線l的斜率存在兩種情況，結弦長，圓心距和半徑的關系可求得結果．【詳解】（1）由題意可知，y2+(故點M點軌跡方程為x2（2）由題意可知①當直線l斜率不存在時，此時直線l的方程為x=1，滿足弦長為2②當直線l的斜率存在時，不妨設為k，則直線方程為y?12則圓心(0,0)到直線l的距離為d=因為直線l被C所截得的線段的長為23所以d2+(3)所以直線方程為3x綜上，滿足條件的直線l的方程為x=1或3【變式10-1】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）長為4的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB的中點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程，并說明其形狀；(2)過點M(0,2)作兩條直線分別與曲線C交于P、Q兩點，若直線MP，MQ的斜率之積為?2，線段PQ的中點為D，求證：存在定點E，使得|【答案】(1)x2(2)證明見解析，此定值為13【分析】（1）利用幾何法直接求出軌跡方程，進而判斷出形狀；（2）設直線方程為y=kx+2與x2+y2=4聯(lián)立求出P?4k由直角三角形的性質判斷出E0,?13為OF【詳解】（1）∵OA⊥∴|OP|=12|AB|=2則曲線C是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓；（2）