2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題6.1數(shù)列的概念與簡單表示知識(shí)點(diǎn)講解文科版含解析

專題6.1數(shù)列的概念與簡潔表示【考情分析】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡潔的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．【重點(diǎn)學(xué)問梳理】學(xué)問點(diǎn)1.數(shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義根據(jù)肯定依次排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列的分類分類原則類型滿意條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an按周期分類周期數(shù)列對(duì)于n∈N*，存在正整數(shù)k，使an＋k＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M搖擺數(shù)列從其次項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列(3)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．學(xué)問點(diǎn)2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式假如數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an＝f(n)來表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)數(shù)列的遞推公式假如已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從其次項(xiàng)(或某一項(xiàng))起先的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．(3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【必會(huì)結(jié)論】1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特別的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．【典型題分析】高頻考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1.（2024·新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、其次層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.【舉一反三】(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．【解析】因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq\f(－1×（1－26）,1－2)＝－63.【答案】－63【變式探究】（2024·湖北省襄樊一中模擬）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則{an}的通項(xiàng)公式an＝．【解析】由Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(2,3)an－1＋eq\f(1,3)，兩式相減，整理得an＝－2an－1，又當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，所以a1＝1，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，故an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－1高頻考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2.（2024·福建省莆田一中模擬）在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝．【解析】a1＝2，an＋1＝an＋2n－1?an＋1－an＝2n－1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，則an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝eq\f(1－2n－1,1－2)＋2＝2n－1＋1.【答案】2n－1＋1【變式探究】（2024·廣東省汕頭一中模擬）若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝．【解析】由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n＋1)(n≥2)．所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·…·eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1)，(*)又a1也滿意(*)式，所以an＝eq\f(2,n＋1).【答案】eq\f(2,n＋1)高頻考點(diǎn)三數(shù)列的單調(diào)性例3.（2024·江西省鷹潭一中模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】因?yàn)閍n＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對(duì)隨意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n對(duì)隨意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故選D.【答案】D【變式探究】（2024·陜西省安康一中模擬）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．【答案】9或10【解析】∵an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n＋1)－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)×eq\f(9－n,11)，當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，∴該數(shù)列中有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第9，10項(xiàng)．高頻考點(diǎn)四數(shù)列的周期性及應(yīng)用例4.（2024·新課標(biāo)Ⅱ）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿意，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿意的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿意的序列是（）A.11010…… B.11011…… C.10001…… D.11001……【答案】C【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿意；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿意；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿意；【變式探究】（2024·四川省瀘州一中模擬）等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為()A．5 B．6C．5或6