2025屆高考數(shù)學一輪復習第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布列第一節(jié)計數(shù)原理與排列組合課時規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第一節(jié)計數(shù)原理與排列組合[A組基礎對點練]1．一個學習小組有6個人，從中選正、副組長各一個，則不同的選法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) B．Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))C．62 D．26解析：問題可轉化為從6個元素中任選兩個元素的排列問題，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))種不同的選法．答案：B2．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿意上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()A．9 B．14C．15 D．21解析：因為P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P?Q，所以x∈{y，2}，所以當x＝2時，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7種狀況；當x＝y(tǒng)時，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7種狀況．故共有7＋7＝14(種)狀況，即這樣的點的個數(shù)為14.答案：B3．教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有()A．10種 B．25種C．52種 D．24種解析：共分4步：一層到二層有2種，二層到三層有2種，三層到四層有2種，四層到五層有2種，一共有24種．答案：D4．把標號為1，2，3，4，5的同色球全部放入編號為1～5號的箱子中，每個箱子放一個球且要求偶數(shù)號的球必需放在偶數(shù)號的箱子中，則全部的放法種數(shù)為()A．36 B．20C．12 D．10解析：依題意，滿意題意的放法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝12.答案：C5．有2名男生，3名女生，排成一排照相，甲既不在中間也不在兩端的不同排法種數(shù)為()A．36 B．48C．60 D．120解析：先排甲，有2種排法，再排其余4人，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法，故共有2Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝48(種)不同的排法．答案：B6．市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位(成一排)，現(xiàn)有3名乘客隨機坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是()A．48 B．54C．72 D．84解析：依據(jù)題意，先把3名乘客進行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6(種)排法，排好后有4個空，再將2個連續(xù)的空座位“捆綁”和余下的1個空座位插入形成的4個空中，則有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12(種)排法，所以共有6×12＝72(種)候車方式．答案：C7．(2024·河南洛陽模擬)從10名高校畢業(yè)生中選3人擔當村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．72 B．56C．49 D．28解析：分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選，甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7))＝49.答案：C8．如圖所示，在五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有()A．24種 B．48種C．72種 D．96種解析：分兩種狀況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2×1＝24(種)；②A，C同色，先涂A，C有4種，再涂E有3種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)，故不同的涂色方法有48＋24＝72(種).答案：C9．某學校獲得5個高校自主招生舉薦名額，其中甲高校2名，乙高校2名，丙高校1名，并且甲高校和乙高校都要求必需有男生參與，學校通過選拔定下3男2女共5個舉薦對象，則不同的舉薦方法共有()A．36種 B．24種C．22種 D．20種解析：第一類：男生分為1，1，1，女生全排，男生全排有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12(種)，其次類：男生分為2，1，所以男生兩隊全排后女生全排有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12(種)，不同的舉薦方法共有12＋12＝24(種).答案：B10．(2024·河南鄭州模擬)《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講解并描述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成A，B，C，D，E，F(xiàn)六項任務，并對任務的依次提出了如下要求，重點任務A必需排在前三位，且任務E，F(xiàn)必需排在一起，則這六項任務完成依次的不同支配方案共有()A．240種 B．188種C．156種 D．120種解析：因為任務A必需排在前三位，任務E，F(xiàn)必需排在一起，所以可把A的位置固定，E，F(xiàn)捆綁后分類探討．當A在第一位時，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝48(種)；當A在其次位時，第一位只能是B，C，D中的一個，E，F(xiàn)只能在A的后面，故有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝36(種)；當A在第三位時，分兩種狀況：①E，F(xiàn)在A之前，此時應有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(種)，②E，F(xiàn)在A之后，此時應有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))(種)，故而A在第三位時有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝36(種).綜上，共有48＋36＋36＝120(種)不同的支配方案．答案：D11．如圖所示，要讓電路從A處到B處接通(只考慮每個小并聯(lián)單元只有一個開關閉合的狀況)，可有________條不同的路徑．解析：分以下三種狀況計數(shù)：①第一層有3×2＝6條路徑；②其次層有1條路徑；③第三層有2條路徑．由分類加法計數(shù)原理知，共有6＋1＋2＝9條路徑．答案：912．在一次8名運動員參與的百米成果測試中，甲、乙、丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人隨意支配，則支配這8人進行百米成果測試的方法的種數(shù)為________．解析：分兩步支配這8名運動員：第一步：支配甲、乙、丙三人，共有三、四、五三條跑道可支配，所以支配方式有3×2×1＝6(種)；其次步：支配另外5人，可在余下的5條跑道上支配，所以支配方式有5×4×3×2×1＝120(種).所以支配這8名運動員的方式有6×120＝720(種).答案：720[B組素養(yǎng)提升練]1．(2024·安徽合肥模擬)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務，要求是：任務A必需排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務A之后需馬上執(zhí)行任務E，任務B、任務C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有()A．36種B．44種C．48種D．54種解析：由題意知任務A、E必需相鄰，且只能支配為AE，分三類：①當A，E分別排在第一、二位置時，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝12(種)執(zhí)行方案；②當A，E分別排在其次、三位置時，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12＋4＝16(種)執(zhí)行方案；③當A，E分別排在第三、四位置時，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝16(種)執(zhí)行方案．依據(jù)分類加法計數(shù)原理得不同的執(zhí)行方案有12＋16＋16＝44(種).答案：B2．(2024·河北武邑中學模擬)在高三下學期初，某校開展老師對學生的家庭學習問卷調(diào)查活動，已知現(xiàn)有3名老師對4名學生進行家庭問卷調(diào)查．若這3名老師每名至少到一名學生家中進行問卷調(diào)查，這4名學生的家庭都能且只能得到一名老師的問卷調(diào)查，那么不同的問卷調(diào)查方案的種數(shù)為()A．36 B．72C．24 D．48解析：依據(jù)題意，分2步進行分析：①先把4名學生分成3組，其中1組2人，其余2組每組各1人，有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝6(種)分組方法；②將分好的3組對應3名老師，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種狀況，則一共有6×6＝36(種)不同的問卷調(diào)查方案．答案：A3．現(xiàn)有12張不同的撲克牌，其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張，現(xiàn)從中任取3張，要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多—張，則不同的取法種數(shù)為________．解析：分類完成，含有一張黑桃的不同取法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝108(種)；不含黑桃時，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))－3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝81(種)不同的取法．故共有108＋81＝189(種)不同的取法．答案：1894．現(xiàn)將5張連號的電影票分給甲、乙等5個人，每人一張．若甲、乙分得的電影票連號，則共有________種不同的分法．(用數(shù)字作答)解析：電影票號碼相鄰只有4種狀況，則甲、乙兩人在這4種狀況中選一種，共Ceq\o\al(