圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

專題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型

幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有

線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。在解決此類問(wèn)題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，

找到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、

線段及面積問(wèn)題。

模型i.三角形中的旋轉(zhuǎn)模型

1）常規(guī)計(jì)算型

例1.（2020?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ADI3BC,13ABe=90。，AB=2幣,

AD=2,將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得AAEC,當(dāng)A的恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，AB'CD為

等腰三角形，若Bg=2,則A4=（）

【答案】A

【分析】過(guò)。作。EL8C于E,則ND￡C="EB=9O。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得3E=AZ）=2,

DE=AB=2近,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到孝MC=?A8C90?,B'C=BC,A'C=AC,

孝1。1=都8,推出△8Q為等腰直角三角形，得到設(shè)8：匕BC=x,則

CDfx，CE=x-2,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)。作DEJ_8C于E,

則N￡)EC=N￡)EB=90°,AD//BC,ZABC=9O°,:.ZDAB=ZABC=90°,

..?四邊形是矩形，:.BE-AD^2,DE=AB=2近,

將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△A9C,

\多DBC=?ABC90?,RC=BC,A!C=AC,翱6=秒CB,，△A034s483,...四=如，

B?BC

△現(xiàn)CD為等腰三角形，,?.△BQ為等腰直角三角形，\CD=&BK,

設(shè)既BC=x,則C￡)=&x，CE=x-2,CD2=CE2+DE2.

\(75x)2=(X-2了+(2々尸，...x=4(負(fù)值舍去)，.?.8C=4,

AC=VAB2+BC2=2sf\A','——='A24VH,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?山西?中考真題)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在RfAABC中，回BAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EOF中回E￡)F=90°,將三

角板的直角頂點(diǎn)。放在R3ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)例為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDV的

形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NB=NME?B時(shí)，求

線段CN的長(zhǎng)：

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的長(zhǎng).

2525

【答案】(1)四邊形AMEW為矩形；理由見(jiàn)解析；(2)CN=—；(3)AN=—.

【分析】(1)由三角形中位線定理得到MD〃AC,證明媯=0AAW=(3A〃)N=9O。，即可證明

結(jié)論；

(2)證明ANDC是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)汽作可608c丁點(diǎn)G,證明△CG/V0AC48,利用相似

三角形的性質(zhì)即可求解;(3)延長(zhǎng)ND,使D//=QM證明△BDHEECQN,推出BH=CN,^DBH^C,

證明E1MB〃=9O。，設(shè)AM=AN=x,在放中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【詳解】解：(1)四邊形4W￡W為矩形.理由如下：回點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為BC的中

點(diǎn)，

^\MD//AC,aa4M￡>+EL4=180°,0SL4=9O°,回&4河。=90°,

0fflEDF=9O°,EBA=GL4M￡>=EIM￡W=90。，四邊形AMDV為矩形；

(2)在Rf△ABC中，04=90°,AB=6,AC=800B+@C=9O°,BC=Y/AB2+AC2=10.

回點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，0CD=yfiC=5.BEE。尸=90°,00A/Dfi+l31=9Oo.

a2B=0MO8,001=0C.0ND=NC.過(guò)點(diǎn)N作NGEI8C于點(diǎn)G,則EICGN=90°.

0CG=yCD=|.GE）C=I3C,E）CGN=E）CA8=90°,0ACGW3ACAZ?.

0—=—,BpjCN,0C/V=—；

C4CBl=—8

（3）延長(zhǎng)ND至“，使￡>"=￡W,連接M”，NM,BH,

SMD^HN,S\MN=MH,回。是8c中點(diǎn)，圖BD=DC,

又aa8￡W=EICOMWDH^CDN,⑦BH=CN,1308/7=團(tuán)C,

0384090°,EBC+a4BC=90°,WDBH+BABC=90°,WMBH=90",

?AM=AN=x,則8M=6-x,BH=CN=S-x,MN=MH=^2x,

2575

在心回BMH中，BM2+BH2=MH2,團(tuán)（6-療+（8-療=（拒療，解得x=亍，（3線段AN的長(zhǎng)為亍.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾

股定理，解第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

2）最值（范圍）型

例1.（2022?江蘇常州?一模）如圖，在RWBC和R/0CDE中，0BAC=0DC￡=9O°,AB=AC

=4,CD=CE=2,以A8、為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.若將回CQE繞點(diǎn)C旋

轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是.

【答案】40-2

【分析】證明當(dāng)。，E,F共線時(shí)，為等腰直角：角形，可得AF=^AO,當(dāng)A。有

最小值時(shí)，AF最小，由此可得C0=V5，AO=4-42AF=y/2AO=4y[2-2-

【詳解】解：當(dāng)。，E,F共線時(shí)，AF最小，如圖所示，

S48=AC,AB=DF,EL4C=DF,又EEF￡>C=a4CO=45°,SDO=OC,SOA=OF,

130Ao尸=90°?4尸=0/10,當(dāng)AO有最小值時(shí)，AF最小，即當(dāng)。在AC上時(shí)，此時(shí)。，E,F

共線，

13co=2,13co=正，&40=4-夜財(cái)尸=/4。=0x(4-應(yīng))=4四-2故答案為：4近一2.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，

尋找4尸最小時(shí)

的圖形的位置是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2021?四川成都?中考真題)在RtABC中，ZACB=900,AB=5,BC=3,將ABC繞

點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A8U,其中點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A,C.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求AV的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C'落在A8的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CC',交A8于點(diǎn)例，求BM的長(zhǎng)：

(3)如圖3,連接AA',CC',直線CC'交A4'于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接。E.在旋

轉(zhuǎn)過(guò)程中，OE是否存在最小值？若存在，求出OE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴41=8；(2)端；(3)存在，最小值為1

【分析】(1)根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長(zhǎng)為4.再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知=

最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出AA的長(zhǎng).

(2)作COLAC交4C'于點(diǎn)。，作CE〃A'B交AC'于點(diǎn)￡由旋轉(zhuǎn)可得NA'BC'=NABC,

BC=BC'=3.再由平行線的性質(zhì)可知NCEB=NA'BC,即可推出NCE5=NABC,從而間

接求出C￡=8C=3C=3,DE=DB.由三角形面積公式可求出C。=?.再利用勾股定理

即可求出8E=《，進(jìn)而求出C￡=可.最后利用平行線分線段成比例即可求出8M的長(zhǎng).

(3)作AP//A'C'且交CZ>延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接AC.由題意易證明NBCC'=/BC'C,

ZACP=90°-ZBCC,ZA'CD=9Q°-ZBC'C,即得出NACP=N4'CZ).再由平行線性質(zhì)

可知NAPC=ZA'CZ>,即得出NACP=NAPC,即可證明AP=AC=A'C,由此即易證

APD=A'C'D(AAS),得IHAD=A'3,即點(diǎn)。為AA中點(diǎn).從而證明QE為‘AC4'的中位

線，即。E=；AC.即要使OE最小，AC最小即可.根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)A、C、B

三點(diǎn)共線時(shí)A'C最小，且最小值即為A'C=A'B-BC,由此即可求出￡>E的最小值.

【詳解】(1)在RJABC中，AC=V/W2-BC2=V52-32=4-

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AB=A'B,即△的'為等腰三角形.

0Z4Cfi=9O°,BPBC1AA，回A'C=AC=4,回A4'=8.

(2)如圖，作COLAC'交AC'于點(diǎn)。，作CE〃A'8交AC'于點(diǎn)E.

由旋轉(zhuǎn)可得Z4'BC'=NABC,BC=BC'=3.

^CEUAB,^ZCEB=ZA'BC,SZCEB=ZABC,SCE=BC=BC=3,DE=DB.

11I?

ABC^B-CD=-AC-BC,即5xCO=4x3,0C￡>=y.

i-------------Qi?33

在RtABCD中，DB=yJBC2-CD2=-,^BE=—.aCE=BE+BC，=《.

BMBCBM=315

0CE//AB.0-----=—■—,即333,13BM=—

CEC'Ey11

(3)如圖，作API/AC且交CZ>延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接A'C.^\BC=BC',SiNfiCC'=ZBC'C.

0ZACP=180°—ZAG?—ZBCC,即ZACP=90°-NBCC',

又國(guó)ZA'C'￡>=90°—NBC'C,回ZACP=ZA'C'D.E1AP//AC',回ZAPC=ZA'C7),

ZADP=ZA'DC

0ZACP=ZAPC,回AP=AC,^AP=A'C.團(tuán)在和aA,CO中，NAPO=NA'C'￡),

AP=A'C'

0APD^.A'C'D(AAS),ElAO=40,即點(diǎn)。為A4'中點(diǎn).

回點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，回DE為&AC4'的中位線，?OE=gAC,即要使QE最小，A'C最小即可.

根據(jù)圖可知A'C2A'3-BC,即當(dāng)點(diǎn)A'、C、B三點(diǎn)共線時(shí)AC最小，且最小值為

A'C=A'B-BC=5-3=2.

回此時(shí)DE=LA'C=1,即OE最小值為1.

2

【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題.考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行

線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角

形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題.正確的作出輔助線為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵.

3)綜合證明型

例1.(2021?黑龍江?中考真題)在等腰A4DE中，AE=DE,△鉆C是直角三角形，ZC4B=90°,

/A8C=；/AEZ),連接CZX3。，點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，連接EF.

(1)當(dāng)NE4￡>=45。，點(diǎn)B在邊AE上時(shí)，如圖①所示，求證：所=38.(2)當(dāng)NE4￡>=45。，

把AA3C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)B落在邊A。上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)NE4D=60。，點(diǎn)B

在邊AE上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段E尸和C。又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直

接寫出你的猜想，不需證明.

【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)圖②中EF=；CD,圖③中功=迫。，理由見(jiàn)詳解.

【分析】(1)由題意易得/4￡亞=/￡4￡>=45。，則有44皮>=90。，然后可得NABO45。，

EF=—D,進(jìn)而可得AO垂直平分8C,則CD=BQ,最后問(wèn)題可求證；

(2)取CO的中點(diǎn)“，連接A"、EH、FH,如圖②，由題意易得FH〃BC,AH=DH,則

有EH垂直平分AC,EI/mi=f3C54=45°,進(jìn)而可得回￡77/三回EA尸=45。，然后可得點(diǎn)A、E、F、

”四點(diǎn)共圓，則根據(jù)圓的基本性質(zhì)可求解；如圖③，取BC的中點(diǎn)G,連接GF并延長(zhǎng)，使

得GM=CD,連接DW、EM、EG,AG,則有四邊形CGM￡)是平行四邊形，DM=CG=AC,

進(jìn)而可得0ACZ)0aoME,則有CD=EM,&EMD=^DCA,然后可得日EMG是等邊二角形，最后

問(wèn)題可求解.

【詳解】(1)證明：^SAE=DE,/E4￡)=45°,0ZADE=ZE4D=45°,0ZA￡￡>=90°,

回點(diǎn)戶是80的中點(diǎn)，0EF--BD,^\AABC=-ZAED,E)/ABC=45°,

22

0ZC4B-9O0,豳AC8是等腰直角三角形，

SZBAD=ZCAD=45°,財(cái)。垂直平分BC,BCD=BD,^EF=^CD-

(2)解：圖②中EF=；CD,圖③中EF=*CD,理由如下：

圖②：取CQ的中點(diǎn)從連接A4、EH.FH,如圖②，

^AE=DE.NE4￡>=45°,0ZADE=ZE4D=45°,0ZAED=9O°,

0ZABC=-ZAED,0^A8C=45°,回點(diǎn)尸是3。的中點(diǎn)，0FH//BC,AH=DH=-CD,

22

I3EH垂直平分4。，回月月1=（3。區(qū)4=45°,03EHF=OEAF=45°,團(tuán)點(diǎn)4、E、F、〃四點(diǎn)共圓，

00//M=E）￡AF=45°,^AH=EF.0EF=^C￡>：

圖③：如圖③，取BC的中點(diǎn)G,連接GF并延長(zhǎng)，使得GM=CD,連接。M、EM、EG,

AG,

SAE^DE,NE4￡>=60。，EB4DE是等邊三角形，ElNAED=ZACE=60°,

回N4BC=工NAE。，回ZABC=30°,僅NC4B=90°,13NC4Q=30°,ZAC8=60°,團(tuán)ZAGB=90。，

2

SAG=CG,aMGC是等邊三角形，QAC=CG,13點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，0GM//CD,

國(guó)四邊形CGMD是平行四邊形，0AC=CG=DM,CGHDM,^GCD^DMG,

0ZG￡>M=ZAGB=9O0,回NED例=30°,^ZCAD=ZMDE,

^AD=DE,E0ACOEI犯ME(SAS),SCD=EM,SEMD=SDCA,

⑦ZACB+NGCD=NDMG+ZEMG,ZACB=ZEMG=60°,0OEMG是等邊三角形，

回點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，^BF^DF-SBC//DM,&ZGBF=ZMDF,

田NGFB=NMFD,MFD(ASA),SGF=MF,SEF^GM,

SEF=EMsin/LEMG=—EM=—CD.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判

定及三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行

四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2021?山東濰坊?中考真題)如圖1,在EL4BC中，0C=9O°,S4BC=30。，AC=1,。為

MBC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)(不在邊上)，連接8￡>,將線段BO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使點(diǎn)B到

達(dá)點(diǎn)F的位置；將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AO,CD,

AE,AF,BF,EF.

(1)求證：^BDA^BFE-,(2)①CD+DF+FE的最小值為；②當(dāng)CD+DF+FE取得

最小值時(shí)，求證：ADSiBF.(3)如圖2,M,N,P分別是。凡AF,AE的中點(diǎn)，連接MP,

NP,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷回MPN的大小是否為定值.若是，求出其度數(shù)；若不是，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解答；(2)①近；②見(jiàn)解答；(3)是，回MPN=30。.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)60。知,0ABA2EBF、AB=AE.BD=BF,故由SAS證出全等即可；

(2)①由兩點(diǎn)之間，線段最短知C、D、F、￡共線時(shí)CO+CF+FE最小，且CQ+OF+FE最

小值為CE,再由S4cB=9CT,EL4BC=3(r,AC=：L求出BC和42,再由旋轉(zhuǎn)知A2=BE,(3CBE=90。，

最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；②先由姐。尸為等邊三角形得自8/75=60。，再由C、。、F、

E共線時(shí)CQ+DF+FE最小，團(tuán)BFE=12(r=EI8CA,最后4。/=酎￡>8々2。尸=120。-60°=60°,即證；

(3)由中位線定理知道A/Aa4D且再設(shè)I3BEF=回區(qū)4￡>=a,團(tuán)啊N邛，則回尸N尸=60--a+夕,

0F7VM=0MD=6O°+a-^,得1apMW=120°.

【詳解】解：(1)證明：00￡>BF=a4B￡=6O°,^SDBF-^ABF^BE-^ABF,0EL4BD=0￡BF,

BD=BF

在I38D4與回8尸E中，,NABD=NEBF,WBDA^EBFE(SA5)；

AB=BE

(2)①團(tuán)兩點(diǎn)之間，線段最短，即C、D、F、E共線時(shí)CD+OF+FE最小,

mC￡?+￡>f+FE最小值為CE,0EACB=9O0,a4BC=30°,AC=1,

⑦BE=AB=2,BC=yjAB2-AC2=>/3-雷C8E=S4BC+a48E=90。，

?CE=dBE2+BC?=B故答案為：療；

②證明：EIBZX2F,aD8F=60°,00BZ)F為等邊三角形，即回BED=60。，

EIC、D、F、E共線時(shí)CD+O尸+FE最小，0EBFE=12O°,

00BD/K30BFE,03804=120°,^EADF=^ADB-^BDF=120°-60°=60°,

0a4DF=@fiFD,0AD0BF；

(3)0MPN的大小是為定值，理由如下：如圖，連接MN,

&W,N,P分別是。凡AF,AE的中點(diǎn)，EIMMM。且尸，

a4B=8E且EL4BE=60°,EH4BE為等邊三角形，

T&QBEF=aBAD=a,回B4N=Q,則0AEF=EWPN=6O°-a,QEAD=60Q+a,

EBPNF=60--a+￡,0FW=0MD=6O°+ct-/f,EBPNM=EI/WF+E]FNM=60--a+￡+60°+a/=120°,

a38￡>Aa38F￡IWN=；AO=；FE=PN,限MPN=；(180°-E)PNM)=30°.

【點(diǎn)睛】本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與

性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

模型2.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型

1)常規(guī)計(jì)算型

例L(2022?浙江寧波?一模)如圖，一副三角板如圖1放置，AB=CD=y[6,頂點(diǎn)E重合，

將一短EC繞其頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NA￡￡>=75。，連接AE>,BC,此時(shí)

四邊形A8C。的面積是

AI)AD

圖I

【答案】26+3

【分析】延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,先根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)和附ED=75。，推出A8回CD,

從而可證四邊形A8CD為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF長(zhǎng)，則可求出

CF長(zhǎng)，最后計(jì)算平行四邊形A8CD的面積即可.

【詳解】解：如圖2,延長(zhǎng)CE交A8于點(diǎn)F,

0ZA￡D=75°,0ZE4D+ZA￡)E=180°-ZAED=105°,

又N34E+NCZ)E'=450+30°=75°,團(tuán)

ZBAD+ZCDA=ZBAE+ZCDE+ZEAD+ZADE=180°,EWB0CD,

SAB^CD,團(tuán)四邊形是ABC。平行四邊形，0C￡1C￡>,&CE1AB,即EFLAB,

^EF=-AB=—,EC=—CD=y/2,^CF=EC+EF=+,

2232

回S四邊形A8c。=48>CF-瓜+：近>屈=+3■故答案為：2->/3+3.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計(jì)算，先證出四邊

形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?廣東廣州?一模)如圖，將0ABC￡>繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到S49czy的位置，使點(diǎn)

夕落在8c上，B，C與CD交于點(diǎn)、E.若AB=3,BC=4,BB'=1,則CE的長(zhǎng)為.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM08C于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)8作9于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EG08C,交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.3M="M=:，由勾股定理可得，AM二叵,由等面積法可得，BN=叵,

226

[*74A，r**x~r

由勾股定理可得，AN=—,由題可得，S4M8EBEGC,MNfiHmGE,則絲-=，一=莊，

6BMCG

==設(shè)CG=4,貝！|EG=6?a,B'G=3+a,則=解得最

BNLU，35735cl73516

后由勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EG^BC,

E1B8'=1,E18M=B'M=；,0AM==苧,

^S^ABB=-AMBB'^-BNAB',國(guó)畫xl=1?8Nx3,則BN=返，

222226

B4N=JAB?-BN?=卜-（卓］=*，M8//DC,00ECG=EL4BC,

屈

團(tuán)［MM8=(Z1EGC=9O。，00A/WB00EGC,0—=—=-^-=>/35,設(shè)CG=m則￡^=屈

BMCG1

2

^ABB,^^AB,B^BAB,=180°,勖5'8+加8'。'+團(tuán)C5'C=180°,

又田財(cái)8￡=財(cái)8'8=aA￡C,mBAB'=^CB'C.

17

ANB'GT17

回MN3=mEGC=90°,WANB^^GJ^—=,

~T~

3+。173

團(tuán)8C=4,BB'=1,aB'C=3,B'G—3+a,同r—=r—,解得ci——-.

,35〃V3516

團(tuán)CG=3，EG=J屈，0EC=^CG2+EG2=1(—)2+(—y/35)2=-.故答案為：-.

1616V161688

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一,相似三角形的性質(zhì)與判定,

解直角三角形的應(yīng)用等，構(gòu)造正確的輔助線是解題關(guān)鍵.

2)最值(范圍)型

例1.(2022?廣東?深圳九年級(jí)階段練習(xí))如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2日MBC

=45。，點(diǎn)E為射線AO上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,將BE繞點(diǎn)、8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BF,連接AF,

【答案］6+、

【分析】以AB為邊向下作等邊財(cái)8K,連接EK,在EK上取一點(diǎn)7,使得AT=7K.證明

EL4BF0E1KBE(SAS),推出AGEK,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KEEL4。時(shí)，KE的值最小，解

直角三角形求出EK即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，以A8為邊向下作等邊M2K,連接EK,在EK上取一點(diǎn)7,使得AT=

TK.

Ft

K

OBE=BF,BK=BA,SEBF=^ABK=60°,

WABF^KBE,WABF^KBE(SAS),SAF=EK,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KfiELAD時(shí)，KE的值最小，

國(guó)四邊形ABCO是平行四邊形，S4O〃BC,

0a4BC=45°,00BAD=18O°-EL4BC=135°,

03R4K=6O°,03E4K=75°,E0AEK=9O°,0a4KE=15°,

^IA=TK,EB7MK=a4KT=15°,0&47'E=^1AK+^AKT=30°,

設(shè)AE=m則47=?=2。，ET=ga,在RtSAEK中，^AK2=AE2+EK2,

0a2+(2a+73a)2=4,由=#-&,回EK=2a+Ja=幾+&,

22

MF的最小值為：?2g.故答案為：小型.

22

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等的三

角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.

變式1.(2022?河南洛陽(yáng)?一模)如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=10,N3=60。，

點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)(含3、C兩點(diǎn)).連接AE,以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。得到AF,連接。尸，則線段。尸長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】26

【分析】以48為邊向右作等邊△A8G,作射線G尸交4。于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)。作DMLGH于例.利

用全等三角形的性質(zhì)證明NAGF=60°,得出點(diǎn)F在平行于A8的射線G"上運(yùn)動(dòng)，求出

DM即可.

【詳解】解:如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG,作射線GF交AD于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)。作DMLGH

于M.

M

?四邊形ABC。是平行四邊形，ZB=60°,0ZBAD=12O°,

「△ABG是等邊三角形，.'.NA4G=NE4/=60°,BA^GA,EA=FA,

:.NBAE=NFAG,：./\BAE^/\GAF（SAS）,/B=NAG尸=60°,

...點(diǎn)F在在平行于A8的射線GH上運(yùn)動(dòng)，

；NHAG=/AGF=60°,，ZsAHG是等邊三角形，.?.AB=AG=4”=6,：.DH^AD-AH

=4,

"：ZDHM=ZAHG=60a,，DM=DH?sin60°=4x且=2百，

2

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)「與例重合時(shí)，〃尸的值最小，最小值為26，故答案為：26.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)

題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)F的在射線GH上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中的壓軸題.

3）分類討論型

例1.（2022?江西?尋烏縣二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，45=10,8c=15,

4

tanZA=§.點(diǎn)戶為A。邊上任意一點(diǎn)，連接PB,將PB繞點(diǎn)、尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.若

點(diǎn)。恰好落在平行四邊形AB8的邊所在的直線上，則8Q的長(zhǎng)為.

【答案】16或4加或8&

【分析】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)。落在直線8C上時(shí)，作3E_LAL＞于E,PFLBCFF.則四邊

形BEPF是矩形.解直角三角形得到BE=8,AE=6,求得PF=BE=8,根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)得到尸產(chǎn)=8尸=FQ=8,即可求出BQ的長(zhǎng)度；②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。落在8上

時(shí)，作于E,QFLA。交AO的延長(zhǎng)線于尸.設(shè)PE=x.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到PE=QF=x,EB=PF=8,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NFDQ=4,根據(jù)三角函數(shù)的定

義得到莊=4,根據(jù)勾股定理得到=毛=4石，即可求出8。的長(zhǎng)度；③如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)。落在AO上時(shí)，易知P8=PQ=8,即可求出8。的長(zhǎng)度.

【詳解】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)。落在直線8C匕時(shí)，作8EJ_4）于E,PF工BC于F.則四邊

形BEPF是矩形.

圖1圖2

nC

圖3

BE4

在RtAAEB中，tanA==—,AB=10,/.BE=8，AE=6,/.PF=BE=8，

AE3

MPQ是等腰直角三角形，PF工BQ,;.PF=BF=FQ=8,，BQ=16；

如圖2中，、4點(diǎn)Q落在CD上時(shí)，作8石_1AD于E，。尸1A。交的延長(zhǎng)線于。設(shè)PE=x.

:.ZQFP=ZPEB=90,N3PQ=90,二/FPQ+NBPE=9。,NFPQ+NPQF=90,

/QFP=/PEB

；,/BPE=/PQF,在△P3E和ZXQP/中，\^BPE=ZPQF9:^PBE=..QPF(AAS),

PQ=PB

:.PE=QF=x,EB=PF=8,：.DF=AE+PE+PF-AD=X-\,

4F,OxA-

CD//AB./.ZFDQ=ZA,/.tanZ.FDQ=tan=-=—,/.——=一，/.x=4,..PE=4,

3DFx-13

在Rt△尸E8中，PBuJd+g=4后,BQ=4y/i0-.

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)。落在AD上時(shí)，PB=PQ=8,；.BQ=86；

綜上所述，BQ的長(zhǎng)為16或4J訪或80.

【點(diǎn)睛】本題考查/平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題.

變式1.(2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,高AH=4,

點(diǎn)E是邊4。上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)B繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)8',若點(diǎn)8’恰好在平行四

邊形的邊上，則AE=.

【答案】1或￡

【分析】分兩種情況計(jì)算，當(dāng)9點(diǎn)在邊8c上時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作M，A。，交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,根據(jù)勾股定理可求得4尸，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，可證得

BF=EF=4,即可求得4F；當(dāng)B'點(diǎn)在邊。C上時(shí)，過(guò)點(diǎn)斤作aGLAD于點(diǎn)G,可證得

BFE四一EGB,可得G9=3+AE,DG=6-AE,再由3E￡sJ?，GZ）即可求得.

【詳解】解：當(dāng)8'點(diǎn)在邊8C上時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)8作防，4）,交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

：.BF=AH=4,

在陽(yáng)AF8中，AF7ABz—BF。=6-4?=3,

BE=8E,NBE斤=90。，是等腰直角三角形，.?.N￡B8'=45。，

四邊形ABCD是平行四邊形，..AD//BC,ZAEB=ZEBB=45°,

:.BF=EFM,.-.AE=EF-AF=4-3=1；

當(dāng)B'點(diǎn)在邊QC上時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)8作BFLAD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)8'作B'G^AD

于點(diǎn)G,

ABFE=ZEGB'=90°,AGES'+ZGffE=90°,

NBEB^O。,:.ZGEB'+ZFEB=90°,:.NFEB=NGBE,

Z.BFE=ZEGB'

在叢BFE與_EGB，中，.NFEB=ZGB'EBFE空EGB',

BE=B'E

：.BF=EG=4,EF^GB'=AF+AE=3+AE,：.DG=AD-AE-EG=10-AE-4=6-AE,

.四邊形A8CQ是平行四邊形，.?.AB〃CD,.?.NFEB=ND,身芯s_/G。，

：黑=票,嗚=11箓解得=*綜上，AE的長(zhǎng)為1或（

AFDG36-AE77

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，是綜合性較強(qiáng)的題，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

4）綜合證明型

例1.（2022?廣西?九年級(jí)期中）如圖，在YABCQ中，ZBAP=60°,將YABCD繞頂點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至YAEFG,此時(shí)點(diǎn)。在AE上，連接AC、AF,CF、EB,線段EB分別交

CD、AC于點(diǎn)H、K,則下列四個(gè)結(jié)論中：①NC4尸=60。；②△￡?〃是等邊三角形；③

2AD=3HK；④當(dāng)A8=2A￡＞時(shí)，45^=75ABCD.正確的是（）

F

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【答案】A

【分析】①由YABCO繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至YAEFG,得到AAE/函48C,乂由084。=60。,

即可證明：②由A8「C￡>,得到團(tuán)ECH=I3D48=60。，又由AO「8C,得到HAEF=120°,進(jìn)

一步得圖￡>￡舊=60。，QHE=60。，結(jié)論得證；③過(guò)點(diǎn)H作HM.AD交AB于點(diǎn)M,連接DM,

證明△8"C、△QMH和是等邊三角形，得至"DH=HM=BH=CH=BC=AD,點(diǎn)H為

CD的中點(diǎn)，再證明△CKM3EWKB,進(jìn)一步得到AO=3HK；④過(guò)點(diǎn)C作CWB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)M分別用A￡>表示出“CF和YABC。的面積，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：①回將YABCO繞頂點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至YAEFG,

HS/lEEa2ABC,EEEAF=B1BAC,

EEBAO=60°,tmiCAF=BEAF+^CAD=BBAC+SCAD=^BAD=60°,故①正確；

@SABI；CD,通EO，=ffl￡)AB=60°,EL4DBC,^AEF=^ABC^180°120°,

WDEH=1800-a4EF=60°,SBDHE=180°-&EDHSDEH=60°,

00D//￡=0ED//=0DE/f=6Oo,EEIDEH是等邊三角形，故②正確：

③過(guò)點(diǎn)4作”M，4。交A3于點(diǎn)M,連接DW,如圖1,

EBEDH是等邊三角形，038HC=l3E”n=6O°,

EL4D.BCHM,國(guó)BC4=l3E￡>”=60°,回￡WM=MC4=60°,

00CB/7=180°-WCH~^BHC=60°,^BHM=180°~^DHMSBCH=60°,EEB//C是等邊三

角形，

SHMAD,BC,WDHM=SBCH=60°,^DMH=^BHM=60",

0EOWH和都是等邊三角形，

SDH=HM=BH=CH=BC=AD,團(tuán)點(diǎn)”為CO的中點(diǎn)，

EBCKH=a4KB,團(tuán)CHK=B1ABK,E0CKHEEL4K8,

HKCHCH1iii

0——=——=—=-,^HK=-BK=-BH=-AD,&AD=3HK,I324O=3，K錯(cuò)誤，故③

BKABCD2233

錯(cuò)誤;

FF

圖1圖2

④過(guò)點(diǎn)C作CWS4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,如圖2,則奶N(yùn)C=90。，

EL4BaCD,aSDCN=180--?8NC=90°,甌8c￡）=60°,038677=30°,

⑦BN=WBC=GAD,CN=BBC=BAD,^AN=AB-\-BN^2AD+^-AD=-AD,

222222

女=J4V2+W=近A￡>,由①可知，回C4F==60。，AC^AF,03AC尸是等邊三角形，

2

回等邊三角形財(cái)CF的高為34C=應(yīng)AO,0SA.Cf=—AD,

22c224

nn

回的邊上的高2

YA8COA8=CN=2"A。，13s/.toKCrf^yABxCN=2ADx2^AD=y/3AD,

04SA4CF=7SABCD,故④正確，綜上，①②④正確，故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股

定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?山西陽(yáng)泉?一模）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題背景】如圖1,平行四邊形A8CQ中，回B=60。，AB=6,AD=8.點(diǎn)、E、G分別是A。

和QC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、G分別作OC和AO的平行線，兩線交于點(diǎn)F,顯然，四邊形。所G

是平行四邊形.

【獨(dú)立思考】⑴線段AE和線段CG的數(shù)量關(guān)系是：.（2）將平行四邊形DEFG繞點(diǎn)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)。E落在。C邊上時(shí)，如圖2,連接AE和CG.①求AE的長(zhǎng)；②猜想AE

與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問(wèn)題解決】⑶將平行四邊形。EFG繼續(xù)繞點(diǎn)

。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A,E,/三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖3）,AE與CG交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫

出線段CG的長(zhǎng)和S4PC的度數(shù).

43AE4

【答案】⑴3AE=4CG或AE=-CG或;AE=CG或一二一等

34CG3

(2)①AE=46，②3AE=4CG,或4E=g=CG,或《AE=CG等，證明見(jiàn)解析：

(3)CG=+3,MPC=60。

2

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)即可得出結(jié)論；(2)①利用三角函數(shù)值求線段

長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定與性質(zhì)直接求解即可；(3)利用

三角形相似，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出線段長(zhǎng)；利用"8"字形的兩個(gè)三

角形角度關(guān)系得到ZADH=NCPH即可求解.

(1)解：?點(diǎn)、E、G分別是和ZJC邊的中點(diǎn)，

:.AE=DE=^AD,CG=DG=^CD,

■在平行四邊形A8C。中，a4DC=0B=6O<>,CD=AB=6,AD=8,

4

/.AE=DE=^CG=DG=3,

CG3

43AE4

故答案為：3AE=4CG或AE二一CG或一AE=CG或一二一等

34CG3

(2)解：①如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)”，

^EH=DE-sinAADE=4xsin60°=2^,^AH=AD-HD=8~2=6,

在RtQAHE中，根據(jù)勾股定理可得AE=JAH'+EH'=心+（2⑹°=：

-44AF4

②3AE=4CG或AE=—=CG或-AE=CG或——=彳等，

34CG3

證明如下：由題可知：EL4Z）C—0CDG=6O°,——=――=—,即——=，

ADDC2DG