2022年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編 專題13 相似三角形（原卷版）

專題13相似三角形

--選擇題

1.（2022?黑龍江哈爾濱）如圖，43〃。0,42,8。相交于點&AE=\,EC=2,DE=3,則BO的長為（）

D.6

2.（2022?廣西賀州）如圖，在：A8C中，DE//BC,DE=2,BC=5,則S.:S碑的值是（）

nA?

3.（2022?廣西梧州）如圖，以點O為位似中心，作四邊形A88的位似圖形ARC力，已知等二:，若四

OA3

邊形ABC0的面積是2,則四邊形AZ'C'D'的面積是（）

A.4B.6C.16D.18

4.（2022?四川雅安）如圖，在MBC中，D,E分別是AB和AC上的點，DESBC,若黑=肯，那么會=

BD1BC

A

5.（2022?內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,。四個點均在格點上，AC

與8。相交于點E,連接AB,8,則人現(xiàn)與△（?￡>￡的周長比為（）

B.4：1C.1：2D.2：1

6.（2022?黑龍江綏化）如圖，在矩形43CZ）中，P是邊AO上的一個動點，連接3尸，CP,過點B作射線,

交線段CP的延長線于點E,交邊A￡>于點M,且使得/ME=NC8P,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y,

其中2<*,5.則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）

43

(1)y與x的關(guān)系式為y=x--；(2)當(dāng)AP=4時，一ABPs_DPC；(3)當(dāng)AP=4時，tanNEBP=—.

x5

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.（2022?湖北鄂州）如圖，定直線MN〃PQ,點8、C分別為MN、尸。上的動點，且BC=12,BC在兩直

線間運動過程中始終有回BCQ=60。.點A是上方一定點，點D是P。下方一定點，且AE//BC//DF,AE=4,

DF=8,AD=24相,當(dāng)線段BC在平移過程中，4B+C。的最小值為（）

A.24713B.24715C.12如D.12出

8.（2022?廣西貴港）如圖，在邊長為1的菱形A8CO中，ZABC=60°,動點E在A8邊上（與點A、B均

不重合），點尸在對角線AC上，CE與肝相交于點G,連接AG,OF,若AF=3E,則下列結(jié)論錯誤的是

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值為遞

3

9.（2022?貴州貴陽）如圖，在mABC中，Z）是A3邊上的點，ZB=ZACD，AC:49=1:2,則A￡>C與△ACB

的周長比是（）

A.1：0B.1:2C.1:3D.1:4

10.（2022?廣西）已知S4BC與她向。是位似圖形，位似比是1：3,則B48c與EA/BQ的面積比（）

A.1：3B.1：6C,1：9D.3：1

An2

11.（2022?山東臨沂）如圖，在A3C中，DE//BC,—若AC=6,則EC=（）

DB3

24

D.—

5

12.（2022?山東威海）由12個有公共頂點。的直角三角形拼成如圖所示的圖形，ZAOB=ZBOC=ZCOD

=..=/LOM=30°.若S/MOB=1,則圖中與△AOB位似的三角形的面積為（）

K

ED

444

A.(-)3B.(-)7C.(-)6D.(-)6

3334

二.填空題

13.(2022?貴州黔東南)如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCO折痕是￡)/0,點C落在點E處，分

別延長ME、DE交A8于點尸、G,若點M是BC邊的中點，則尸G=______cm.

D...........C

上

AFG心

E在線段AC上,第=器,則表

14.(2022?上海)如圖，在0ABe中,04=30°,EB=90°,D為AB中點,

B1---------------*

Ap1

15.(2022?北京)如圖，在矩形A3CO中，若AB=3,AC=5，H=:，則AE的長為_______.

FC4

丁

B

16.（2022?江蘇常州）如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,AC=9,8C=12.在Rl_￡>￡尸中，ZF=90°,DF=3,

EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,RtOEF從起始位置（點。與點8重合）平移至終止位置

（點E與點A重合），且斜邊OE始終在線段A8上，則RtzXABC的處那被染色的區(qū)域面積是.

17.（2022?廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標(biāo)桿

影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為米.

18.（2022?廣東深圳）已知..ABC是直角三角形，NB=90。,AB=3,8C=5,AE=2石,連接CE以CE為底作

直角三角形C￡>E且CO=DE,尸是AE邊上的一點，連接8。和BE8。且NFBO=45。,則河長為

19.（2022?廣西河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABC。沿長邊BC,AO的中點E,尸對折，得到四邊形

2

ABEF,點G,H分別在BE,EFE且BG=EH=《BE=2,AG與BH交于點0,N為AF的中點，連接

ON,作OM0ON交AB于點M,連接MM則tanB4MN=.

20.（2022?內(nèi)蒙古赤峰）如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿A8的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射

定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測量：把鏡子放在點。處，然后觀測者沿著水平

直線BO后退到點。，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A,此時測得觀測者觀看鏡子的俯角a=60。，觀測

者眼睛與地面距離CD=：1.7m,BD=llm,則旗桿AB的高度約為m.（結(jié)果取整數(shù)，6=1.7）

21.（2022?湖北鄂州）如圖，在邊長為6的等邊S4BC中，。、E分別為邊BC、AC上的點，AO與BE相交

于點憶若BD=CE=2,則MB尸的周長為.

22.（2022?山東濰坊）《墨子?天文志》記載："執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.“度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖,

正方形A8CO的面積為4,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D,若AB:A8=2:1,

則四邊形A'B'C'D的外接圓的周長為.

23.（2022?內(nèi)蒙古包頭）如圖，在R/ABC中，ZACB=90。，AC=BC=3,。為A8邊上一點，且=

連接CD,以點。為圓心，DC的長為半徑作弧,交BC于點E（異于點C）,連接DE,則BE的長為

E

ADB

24.（2022?江蘇泰州）如圖上，AABC中,NC=90,AC=8,8C=6,0為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB

相交于￡>、E,若DE=CD+BE,則線段CO的長為.

25.（2022?黑龍江綏化）如圖，ZAO3=6（）。，點<在射線上，且0勺=1,過點R作_LOA交射線。8

于&,在射線OA上截取P}P2，使《鳥=P,Kt:過點尸2作P2K2104交射線0B于K2,在射線OA上截取P品,

使PF、=P2K2.按照此規(guī)律，線段/小曲的長為.

26.（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4，4,4,4......在x軸上且。4=1,O4=2OA，

。&=2。4,。4=204......按此規(guī)律，過點4,4,4,4......作x軸的垂線分別與直線y=Qr交于點用,

B2,B3,B&......記04內(nèi),△。兒&,。4層.OA4B4......的面積分別為5,,S,,邑，54......,則S202a=.

BJ

A\Ai

27.（2022?廣西）如圖，在正方形ABCQ中，AB=4&,對角線AC,3。相交于點。.點E是對角線AC上

一點，連接8E,過點E作即_L8E,分別交8,8。于點F、G,連接BF,交AC于點H,將△EFH沿EF

翻折,點H的對應(yīng)點，，恰好落在BO上，得到4EFH'若點F為CD的中點，則4EGH'的周長是.

28.（2022?遼寧）如圖，在正方形A3CO中，E為AO的中點，連接8E交AC于點F.若A3=6,貝ljAEF

的面積為.

AED

29.（2022?貴州貴陽）如圖，在四邊形438中，對角線AC,8c相交于點E,AC=3C=6cm,

ZACB=ZADB=90°.若BE=2AD,則△ABE的面積是cm2,ZAEB=度.

c

三.解答題

30.（2022?河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓。，其中水面截線MN〃A8.嘉琪在A處

測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點M的俯角為7。.已知爸爸的身高為1.7〃?.

⑴求團(tuán)C的大小及A8的長；⑵請在圖中畫出線段。H,用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深

約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據(jù)：tan76。取4,J萬取4.1）

31.（2022?吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線4〃4，ABC與△D5C的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：設(shè)4與4之間的距離為力，^\SVABC=^BC-h,5△.回S.C=S“BC.

Sh

【探究】（1）如圖②，當(dāng)點。在4，4之間時，設(shè)點A,。到直線4的距離分別為力，h',則

圖②

證明：GISABC_______________________

(2)如圖③，當(dāng)點。在心《之間時，連接AZ)并延長交《于點M,則告巫AM

,△DBCDM,

圖③

證明：過點A作AE_L8M,垂足為E,過點。作&,垂足為F,則NAEM=/。尸M=90。,

^\AE//_________

0△AEA/s__________

a——AE=—AM

DFDM

由【探究】(1)可知*①口S/^ABC_AM

、4DBC

(3)如圖④，當(dāng)點。在4下方時，連接AO交4于點E.若點A,E,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

32.（2022?山東青島）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90。,AB=5cm,8C=3cm,將二ABC繞點4按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)90。得到.A￡>E,連接CD.點P從點B出發(fā)，沿84方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。從

點A出發(fā)，沿AZ）方向勻速運動，速度為1cm/s.PQ交AC于點F,連接CP,EQ.設(shè)運動時間為r（s）（0<f<5）.解

答下列問題：（1）當(dāng)時，求r的值；（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cn?）,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系

式；（3）是否存在某一時刻f,使PQ〃CD?若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

33.（2022?江蘇泰州）已知：0ABC中，D為BC邊上的一點.

（1）如圖①，過點。作交AC邊于點E,若A8=5,BD=9,0c=6,求QE的長；

⑵在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在4c邊上做點尸，使團(tuán)。物=財；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如

圖③，點尸在AC邊上，連接B尸、DF,若回￡>必=勖，回尸BC的面積等于;,以尸。為半徑作回尸，

試判斷直線BC與回廠的位置關(guān)系，并說明理由.

34.（2022?山東威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考

（1）如圖1,在財5c中，AB=AC.①BD,CE是EL48c的角平分線.求證：BD=CE.

②點。，E分別是邊AC,AB的中點，連接80,CE.求證：BD=CE.（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在BABC中，AB=AC,。為邊AC上一動點（不與點A,C重合）.對于點。

在邊AC上的任意位置，在另一邊48上總能找到一個與其對應(yīng)的點E,使得8O=C￡進(jìn)而提出問題：若

點D,E分別運動到邊AC,AB的延長線上，BO與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

如圖2,在中，AB=4C,點。，E分別在邊AC,A8的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字

母），使得BD=CE,并證明.

⑶探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)

如圖3,在AABC中，AB=AC=2,M=36。，E為邊48上任意一點（不與點4,B重合），/為邊4c延長

線上一點.判斷B尸與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.

35.（2022?山東煙臺）

（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1,a48c和a4￡>E都是等邊三角形，連接CE.求證：BD=CE.

（2）【類比探究】如圖2,EL4BC和財。E都是等腰直角三角形，B4BC=^DE=90°.連接80,CE.請直接

寫出空的值.（3）【拓展提升】如圖3,S4BC和都是直角三角形，MBC=EAOE=90。，且墨=g

CEBCDE

==.連接8力，CE.①求絲的值：②延長CE交BD于點F,交4B于點G.求sinMFC的值.

4CE

36.（2022?黑龍江綏化）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之

和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題.

⑴如圖一，在等腰二轉(zhuǎn)。中，AB^AC,BC邊上有一點。，過點。作于E,OFLAC于尸，過點

C作CGLA3于G.利用面積證明：QE+￡>F=CG.（2）如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點A與點C

重合，點8落在B'處，點G為折痕EF上一點，過點G作GMJ.FC于M,GN工BC于N.若BC=8,BE=3,

求GM+GN的長.（3）如圖三，在四邊形A8C。中，E為線段8c上的一點，EA±AB,EDA.CD,連接60,

且）==，BC=5,8=3,BD=6,求即+E4的長?

圖一圖二圖三

37.（2022?黑龍江齊齊哈爾）綜合與實踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué).數(shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中

去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的

樂趣.如圖①，在矩形A8CD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AO的中點，連接EF、DF,H為OF的

中點，連接GH.將團(tuán)BEF繞點8旋轉(zhuǎn)，線段。F、GH和CE的位置和長度也隨之變化.當(dāng)回BE尸繞點B順時

針旋轉(zhuǎn)90。時，請解決下列問題:

①

⑴圖②中，AB=BC,此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF,猜想G"與CE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）圖③中，AB=2,BC=3,則絲=

；⑶當(dāng)機(jī)，BC=〃

CE

…GH

時.——.⑷在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC剪開，得0ABC

CE

（如圖④）.點M、N分別在AC、BC上，連接MN,將團(tuán)CMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在的

延長線上，若PM平分MPN,則CM長為

38.（2022?湖南郴州）如圖1,在矩形ABC。中，AB=4,8C=6.點E是線段AO上的動點（點E不與點

A,。重合），連接CE,過點E作所，CE,交AB于點凡

⑴求證：AEFjQCE；⑵如圖2,連接CF,過點B作8GLC尸，垂足為G,連接AG.點M是線段BC

的中點，連接GM.①求AG+GM的最小值；②當(dāng)AG+GM取最小值時，求線段DE的長.

39.（2022?山東濰坊）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG,8〃，如圖

③所示，A8交“。于E,AC交0G于尸，通過證明△OBEg/VM尸，可得OE=OF.

請你證明：AG=BH.

【遷移應(yīng)用】延長G4分別交”8所在直線于點P,D,如圖④，猜想并證明OG與84的住罩關(guān)系.

【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接”8,AG,

如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明AG與8”的數(shù)量關(guān)系.

40.(2022?廣西貴港)已知：點C,。均在直線/的上方，AC與80都是直線/的垂線段，且8。在AC的

右側(cè)，BD=2AC,A￡＞與BC相交于點O.

A0,,?.

(1)如圖1,若連接CO,則△88的形狀為.'布的值為

⑵若將8。沿直線/平移，并以AO為一邊在直線I的上方作等邊.

3

①如圖2,當(dāng)AE與AC重合時，連接0E,若AC=5,求0E的長;

②如圖3,當(dāng)NACB=60。時，連接EC并延長交直線/于點F,連接。尸.求證：OFLAB.

41.（2022?遼寧）如圖，在^ABC中，AB=AC=275,BC=4,D,E,尸分別為AC,AB,BC的中點，連接DE,DF.

(1)如圖1,求證：DF=&DE；(2)如圖2,將尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到當(dāng)射線OP

2

交48于點G,射線DQ交BC于點N時，連接正并延長交射線￡>產(chǎn)于點M,判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)時，求的長.

42.(2022?遼寧營口)如圖1,在正方形ABCD中，點/為C。邊上一點，過點M作MNJ_8且ZW=MN,

連接DN,BM,CN,點、P,。分別為的中點，連接PQ.

(1)證明：CM=2PQ；⑵將圖1中的一OWN繞正方形A3CD的頂點。順時針旋轉(zhuǎn)t(0°<a<360。).

①(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；②若

AB=1Q,DM=2后,在二。MN繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B,M,N三點共線時，請直接寫出線段PQ的長.

A8B

圖I