云南省大理州麗江怒江2025屆數(shù)學高三第一學期期末檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

云南省大理州麗江怒江2025屆數(shù)學高三第一學期期末檢測模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.22.定義在上的函數(shù)與其導函數(shù)的圖象如圖所示,設為坐標原點,、、、四點的橫坐標依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.3.《九章算術》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當陽馬體積的最大值為時,塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.4.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.5.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗螅玫降暮瘮?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.6.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進行分析,隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績,并根據(jù)這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在,內(nèi)的學生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.16007.框圖與程序是解決數(shù)學問題的重要手段,實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學模型之后,可以制作框圖,編寫程序,得到解決,例如,為了計算一組數(shù)據(jù)的方差,設計了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應填入()A., B. C., D.,8.給出下列三個命題:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要條件;③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象.其中假命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.39.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.10.將函數(shù)的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度,若所得到的兩個圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.11.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.6124212.已知是兩條不重合的直線,是兩個不重合的平面,下列命題正確的是()A.若,,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點處的切線方程是__________.14.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.15.已知在等差數(shù)列中,,,前n項和為,則________.16.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點.(1)證明:平面;(2)求幾何體的體積.19.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個零點,且;(2)若當時,不等式恒成立,求證:.21.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大小;(2)在棱上確定一點,使二面角的平面角的余弦值為.22.(10分)如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點將沿AD折到位置如圖,連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個四棱錐.(Ⅰ)求證;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大??;②在棱PC上存在點M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影,屬于基礎題.2、B【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個極值點,但其導函數(shù)圖象(實線)與軸有三個交點,不合乎題意;若實線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個極值點,則其導函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個交點,合乎題意.對函數(shù)求導得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.3、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).4、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當時,,無意義,故排除A;又,則,故排除D;對于C,當時,,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎題.5、A【解析】

根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.6、B【解析】

由圖可列方程算得a,然后求出成績在內(nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績在內(nèi)的頻率,所以成績在內(nèi)的學生人數(shù).故選:B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應用,屬基礎題.7、A【解析】

依題意問題是,然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應填入,,故選:A.【點睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎題.8、C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題.故假命題有①③.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.9、A【解析】

首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個單位后,所得圖象對應的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導公式,意在考查平移變換,屬于基礎題型.10、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后,所得的兩個圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當時,最小值為,故選B.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關系,屬于簡單題目.11、C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應用,屬基礎題。12、B【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關系,逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項,若,,,,則或與相交;故A錯;B選項,若,,則,又,是兩個不重合的平面,則,故B正確;C選項,若,,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故C錯;D選項,若,,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故D錯;故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關的命題,熟記線線、線面位置關系,即可求解,屬于??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用導數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知,,所以,又,所以切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查學生的基本計算能力,要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別,是一道容易題.14、【解析】

根據(jù)切線的斜率為,利用導數(shù)列方程,由此求得切點的坐標,進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關問題,屬于基礎題.15、39【解析】

設等差數(shù)列公差為d,首項為,再利用基本量法列式求解公差與首項,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列公差為d,首項為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為:39【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前n項和的公式,屬于基礎題.16、【解析】

由題意可得,又由于為的中點,且點在軸上,所以可得點的橫坐標,代入拋物線方程中可求點的縱坐標,從而可求出點的坐標,再利用兩點間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解:因為是拋物線的焦點,所以,設點的坐標為,因為為的中點,而點的橫坐標為0,所以,所以,解得,所以點的坐標為所以,故答案為:【點睛】此題考查拋物線的性質(zhì),中點坐標公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由,故,所以四邊形為菱形,再通過,證得,所以四邊形為正方形,得到.(2)根據(jù)(1)的論證,建立空間直角坐標,設平面的法向量為,由求得,再由,利用線面角的向量法公式求解.【詳解】(1)因為,故,所以四邊形為菱形,而平面,故.因為,故,故,即四邊形為正方形,故.(2)依題意,.在正方形中,,故以為原點,所在直線分別為、、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系;如圖所示:不紡設,則,又因為,所以.所以.設平面的法向量為,則,即,令,則.于是.又因為,設直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查空間線面的位置關系、線面成角,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)由題可知,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì),得出,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出,所以,再利用線面平行的判定定理即可證出平面;(2)由于平面平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì),得出平面,從而得出到平面的距離為,結(jié)合棱錐的體積公式,即可求得結(jié)果.【詳解】解:(1)∵,分別為,的中點,∴,∵四邊形是矩形,∴,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)取,的中點,,連接,,,,則,由于為三棱柱,為四棱錐,∵平面平面,∴平面,由已知可求得,∴到平面的距離為,因為四邊形是矩形,,,,設幾何體的體積為,則,∴,即:.【點睛】本題考查線面平行的判定、面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式,考查邏輯推理和計算能力.19、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由已知線面垂直得,結(jié)合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計算出的長,寫出各點坐標,求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.又因為,平面,平面,所以平面.解:(2)據(jù)題設知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,因為與平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設平面的一個法向量,則令,則.因為平面,所以為平面的一個法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標系,用空間向量法求空間角,這樣可減少思維量,把問題轉(zhuǎn)化為計算.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用求導數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號,即可證明結(jié)論;(2)當時,不等式恒成立,分離參數(shù)只需時,恒成立,設(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因為,,所以在區(qū)間上有且僅有一個零點,且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當時,;當時,恒成立,設(),所以.由(1)可知,,使,所以,當時,,當時,,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因為,所以,從而,所以.令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于較難題.21、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標原點,分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標,求出棱AA1與BC上的兩個向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大小;

(2)設棱B1C1上的一點P,由向量共線得到P點的坐標,然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點的坐標.試題解析:解(1)如圖,以為原點建立空間直角坐標系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點,設,則

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