黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.52．中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，，則（）A. B.C. D.3．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.4．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.35．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預(yù)防該疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計(jì)服用藥104555未服藥203050總計(jì)3075105下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認(rèn)為藥物有效B.有95%的把握認(rèn)為藥物無效C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物無效D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效6．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.8．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.9．若直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B,線段的中點(diǎn)為,則直線l的方程為()A. B.C. D.10．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.C. D.11．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則___________.14．圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則實(shí)數(shù)的值是__________.15．已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.16．已知，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，（1）求三棱柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）18．（12分）已知公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最大的正整數(shù).19．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱20．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在上的最值.21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A到平面的距離.22．（10分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且滿足下列條件，求相應(yīng)的方程.（1）過點(diǎn)；（2）與直線垂直.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C2、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.3、B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價(jià)于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問題的能力，屬于中檔題．常見的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，?dāng)是形如時(shí)構(gòu)造；當(dāng)是時(shí)構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集4、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.5、A【解析】根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，對(duì)照臨界值即可得出結(jié)論【詳解】根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算，由臨界值表可知，有95%的把握認(rèn)為藥物有效，A正確故選：A6、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯(cuò)誤；，即，則錯(cuò)誤；，即，則錯(cuò)誤；，即，則正確；故選：.7、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.8、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】由于，所以.故選：B9、A【解析】用點(diǎn)差法即可獲解【詳解】設(shè).則兩式相減得即因?yàn)?線段AB的中點(diǎn)為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A10、B【解析】求出，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，為的一個(gè)方向向量，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：B11、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.12、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或##或【解析】根據(jù)向量平行時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設(shè)，，解得，或.故答案為：或.14、【解析】根據(jù)圓錐曲線焦點(diǎn)在軸上且離心率小于1，確定a,b求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：15、【解析】參變分離，可得，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得，即得解【詳解】因?yàn)椋圆坏仁娇苫癁?，設(shè)，則，設(shè)，由于故在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，則，即.故答案為：16、①.4②.【解析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S側(cè)，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積S；（2）連接BC1，確定∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補(bǔ)角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求結(jié)論【詳解】（1）在△ABC中，因?yàn)锳B＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2所以S＝2S△ABC+S側(cè)＝4+（2+2+4）×4＝24+12（2）連接BC1，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補(bǔ)角）在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，所以∠BA1C1＝arccos，即異面直線A1B與AC所成角的大小為arccos【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關(guān)鍵是正確作出線線角，屬于中檔題18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，結(jié)合可求得的值，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和法求出，解不等式即可得出結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，則，由題意可得，即，整理得，，解得，故.【小問2詳解】解：，所以，，由得，可得，所以，滿足成立的最大的正整數(shù)的值為.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對(duì)稱.【小問1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱20、（1）；（2）最大值為-1，最值為-5.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)建立方程，求解方程并驗(yàn)證作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意：，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處有極值，所以.【小問2詳解】由(1)知：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，而，，則，所以函數(shù)在上的最大值為-1，最值為-5.21、（1）證明見解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數(shù)量積求出平面的法向量，結(jié)合求點(diǎn)到面距離的向量法即可得出結(jié)果.【小問1詳解】證明：如圖，以為軸，為軸，為