十四 空間點、線、面之間的位置關(guān)系（解析版）-2022屆高三《新題速遞數(shù)學(xué)》8月刊（江蘇等新高考地區(qū)專用 適用于高考復(fù)習(xí)）

專題十四空間點、線、面之間的位置關(guān)系

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.設(shè)a,￡表示平面，/表示直線，A8,C表示三個不同的點，給出下列命題：

①若A&l,A&a,B&l,Bea,貝”ua；

②若a,￡表示不同的平面，A,^a,A&/3,則C口A=43；

③若/（za,Aw/,則Aea;

④若AB,Cea,A8,CG〃，則a與4重合.

其中，正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】

由平面的基本性質(zhì)的公理1可判斷①；由公理2判斷②；由線面的位置關(guān)系可判斷③；由平面基本性質(zhì)的

公理3可判斷④.

【詳解】

a,夕表示兩個平面，/表示直線，A，8，C表示三個不同的點，

①若Ae/，Aea，Bel，Bea,貝Hua，由平面的基本性質(zhì)的公理1,可得①正確；

②a,萬不重合，若Awa,Ae〃，Bea，8e￡,則?？谑?AB,由平面的基本性質(zhì)的公理2,可

得②正確；

③若/（Z。，Aw/,則Awa或Aia,可得③不正確；

④若A，B，Cea,A，B，C&/3,如果A,B，。不共線，則a與尸重合，如果3點共線，則a

與夕可以相交.由平面的基本性質(zhì)的公理3,可得④不正確.

其中正確的個數(shù)為2,

故選：B

2.設(shè)牡〃是兩條不同的直線，a,/3,7是三個不同的平面，給出下列四個命題：

①若加//a,a1/3,則加_L￡：②若〃z_L/?,〃?//I,則a_L/?；

③若cn/?=加，ml!y,則a//y,￡///；④若0工y,則。//月；

則真命題為（）

A.②③B.③④C.②D.②④

【答案】C

【分析】

利用特例法判斷①③④，利用線面平行的性質(zhì)以及面面垂直的判定定理判斷②.

【詳解】

若m//a,aL/3,有可能mu。，①不對；

若機m//a，則平面a內(nèi)存在一條直線〃//相，可得〃，4，則a_k月,②正確；

若￡口尸=加，加/什，則a，/以及都可能相交，如三棱柱的三個側(cè)面，③不對：

若a，/,Z?±/,則a,￡有可能相交，④不對：

故選：C.

3.在長方體中，BC和CQ與底面ABCQ所成的角分別為30。和45°,則異面直線用C

和G。所成角的余弦值為（）

A1B2c歷DC

4444

【答案】C

【分析】

由題意可知該長方體為正四棱柱，各邊長度的關(guān)系也確定了，再將異面直線通過平行關(guān)系構(gòu)造異面直線所

成角，然后求值.

【詳解】

如圖：:ABJ.平面ABC。，，/呂。々是BC與底面所成角，.?.NBC4=30°,???CG，底面AB8,

二ZCDC,是CQ與底面所成的角，二ZCDC）=45°,連接AQ,,則AD〃B、C.

或其補角為異面直線BC與G。所成的角.不妨設(shè)=1,則CG=1,CB]=DA=2,

BC=6；.C[D=C，4G=2.在等腰A4G。中，cosZADC=亞,所以異面直線8。

.個IA。4

和G。所成角的余弦值為注.

故選：c.

4.已知m,n是兩條不同的直線a，B是兩個不同的平面有下列4個命題：

(1)若加//〃,〃ua.則機//。：

(2)若加_L〃,/n_La,〃cZa.則n//a；

(3)若aVf3,mLa,nVp.則m±n；

(4)若"2,"是異面直線機ua,〃u￡,m//A.則n!la.

其中正確的命題有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(4)

【答案】B

【分析】

利用空間中直線與平面，直線與直線之間的位置關(guān)系逐一判斷即可

【詳解】

對于(1)：也可能mu故(1)錯誤；

對于(2)：過直線及作垂直于加的平面夕，由M_La,〃za.可知a//〃，于是必有〃//a,故(2)正

確

對于(3)：有條件易知〃?//￡或mu/?,又〃_L￡.因此必有mVn,故(3)正確；

對于(4)：取正方體中兩異面的棱及分別經(jīng)過此兩棱的不平行的正方體的兩個面即可判斷命題不成立，故

(4)錯誤

綜上可知(2)(3)正確

故選：B

5.已知直線a、b是兩條不重合的直線，a、乃是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是()

A.若a_La，a:廿,則。〃￡

B.若W/a,blip,alip,則a//)

C.若a_L/?,b±a,allp,則a〃/?

D.若?！ㄊ?。與a所成角和b與"所成角相等，則a〃5

【答案】A

【分析】

對選項A,根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，即可判斷A正確,對選項B,C,D,借助長方體

和正方體依次判斷即可得到答案.

【詳解】

對選項A,根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，即可判斷A正確;

對選項B,在長方體中，如圖所示：

Ob

滿足a〃a，blip,alip,此時4與b的位置關(guān)系為異面，故B錯誤；

對選項C,在長方體中，如圖所示：

1/

滿足二bA-a,a//p,此時a與夕相交，故C錯誤；

對選項D,在正方體中，如圖所示：

0

滿足a〃萬，。與。所成角和b與夕所成角相等，此時。與人相交，故C錯誤；

故選：A

6.在長方體A6CO-4&G〃中，AB=AD=\，A4,=C，直線AQ和BC所成的角為（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)平行線找到異面直線所成的角，最后根據(jù)線段長度求出角的大小即可.

【詳解】

由題意，畫出示意圖如下：

由于8C7/AD,

所以百線AC,和所成的角為內(nèi)線AC,和AD所成的角即NDAG,

連接。G，因為AD_L而CDD6，且。Gu面CDD￡,

所以AOLOG，

因為AB=AZ>=1，A4=V2,所以AG=2,

則在直角AD4G中，cosND4cl=g,

TC

所以ND4G=—，

3

yr

由于異面直線所成角的范圍為（0,]],

TT

所以直線AG和8C所成的角為一.

故選：C

Z)1G

7.已知長方體ABC。-AAGA的底面是邊長為4的正方形其外接球的表面積為64兀，則異面直線與

A4所成的角的余弦值為（）

A.EB.也C?立D.巫

8223

【答案】C

【分析】

根據(jù)外接球的表面積求解出長方體的高，然后通過平行關(guān)系先確定出異面直線所成角為或其補角，

然后根據(jù)長度關(guān)系可完成計算.

【詳解】

設(shè)長方體的高為/?,長方體外接球的半徑為A，所以4萬A?=64%，所以火=4，

乂因為長方體的體對角線為外接球的直徑，

所以2/?=142+42+〃2=8,所以〃=40，

連接，如下圖所示:

因為A&//OA,所以直線Bq與A4所成的角即為NBA?；蚱溲a角，

又因為BD,=^42+42+（4>/2）2=8，DD、=h=4日

「二卜1/onn_DDI_4>/2_V2

,所以cosNBD[D=----=-----,

1fiD,82

所以異面直線BD「與A4,所成的角的余弦值為在，

2

故選：C.

8.已知菱形A6C。中有A3=BZ）=2,把△A3。沿8D折起，使點A到達(dá)點P處，且PC=3,若點E

為線段PO中點，則異面直線屬與PC所成角的余弦值為（）

A上B6c1口5

24212

【答案】B

【分析】

本題首先可結(jié)合題意繪出圖形，取CO中點F，連接8E、BF、EF，然后根據(jù)所//PC得出NB防或

其補角即異面直線砧與PC所成角，最后通過余弦定理即可求出結(jié)果.

【詳解】

如圖，結(jié)合題意繪出圖形，

p

BC

取CO中點/，連接BE、BF、EF,

因為點E為線段PO中點，1r是線段CO中點，

3

所以EF//PC,EF=—,NBE/或其補角即異面直線BE與PC所成角,

2

因為四邊形ABCD是菱形，AB=BD=2,所以8￡=8尸=6，

故異面直線BE與PC所成角的余弦值為昱，

故選：B.

9.如圖，圓臺。。的上底面半徑為0,4=1,下底面半徑為Q4=2,母線長A4=1,過OA的中點B作OA

的垂線交圓。于點c,則異面直線oq與4c所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

連接AB，OC，可知NB4C為異面直線。。與A。所成的角，在/?以46。中，BC=A,B,從而可

得答案.

【詳解】

由題知8在直角梯形OGAA中，因為B為OA的中點，。4=2,

所以0A=OB=AB-1,

連接易證四邊形。QA6為矩形，所以。。"/48,

所以NB41c為異面直線。。「與AC所成的角，

在HNABA中，A4|=2,所以4,5=6，

連接0C，在用AOBC中，由08=1,0C=2,得BC=6；

在心AABC中，BC=\B,所以NB4C=45。，

故選：B.

【點睛】

思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題

化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角：

(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是[0,],當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面

直線所成的角.

10.已知四棱錐。-A8CO的底面ABC。為平行四邊形，M是棱上靠近點。的三等分點，N是BQ

的中點，平面AMNcC"=",則黑=(

)

【答案】D

【分析】

將圖形補全為三棱柱，然后證得所以?AEC"，從而得到曳L=0乜=2,然后即可求得結(jié)果..

HCEC3

【詳解】

將棱錐補全成棱柱，作D|E〃AB,艮。5=48,因為四邊形A5CD為平行四邊形，所以CD〃AB,且

CD=AB，所以AE〃A3〃C￡>,且D|E=A8=CD,因為N是5鼻的中點，所以延長AN必過點E,

連接ME交QC于H,此時四點共面，因為四邊形為平行四邊形，所以RO〃CE,且

DQ=CE,所以AM'H?AEC”,又因為〃是棱?！闬上靠近點D的三等分點，所以也=型人=-,

HCEC3

故選：D.

11.己知棱長為。的正方體43。-44Gq的所有頂點均在體積為32百萬的球。上，動點P在正方形

A用GA內(nèi)運動（包含邊界），若直線ca與直線AP所成角的正弦值為:，則（）

A.a=2

B.點P運動軌跡的長度為也》

C.三棱錐P-AGA體積的取值范圍為一；

D.線段。尸長度的最小值為

【答案】C

【分析】

由正方體ABC￡>—AB|GR的棱長為。，求出球。的半徑為走4,利用體積求解4判斷A；說明乙4田尸

2

即直線CG與直線AP所成的角，連接AP，轉(zhuǎn)化求解點尸運動軌的長度判斷5；由等體積法可知

Vp-AG。,=匕/Go,，求解體積的范圍判斷c；設(shè)正方形A4GA的中心為0{,連接O,P,oo,,當(dāng)a,

p,a-：點共線時，0尸取得最小值，求出最小值判斷。.

【詳解】

由正方體的棱長為。，得球。的半徑為且。，

2

所以%=g）與a=32后，解得a=4,故4錯誤；

因為CC//A&，所以NA/P即直線CG與直線AP所成的角，

1

所以sin/4Ap=§,所以tan/AAPu%-.

連接4尸，因為朋=4,所以AP=A4,TanNA1Ap=0，

所以點P的運動軌跡是以A為圓心，72為半徑的圓的四分之一，

所以點P運動軌的長度為LX2"X0=-,故B錯誤；

42

由等體積法可知VpfCQ,=匕-PG。,，由點P的運動軌跡可知，P到線段￡2的距離d滿足4一及WdW4,

所以△PGA的面積Se[8—2j5,8]，易知平面PGA，所以

,71..「F32-87232],,一

=匕-戶的。1=§SAPCQIG，彳，故C正確；

設(shè)正方形A&G。的中心為。「連接gp,。。,則0%加=Joo；+a可，易知當(dāng)A，P，O|三點共線

時，。產(chǎn)取得最小值，所以O(shè)P“、g=8?+（2垃-垃）2=正,故。錯誤.

故選：c

12.如圖，在直四棱柱ABC。-A5GD]中，底面ABCQ為矩形，AB=^AD,E,P分別為BBi,AB的

A.AG〃平面。EF且4G_L。尸

B.4G〃平面DEF且4G與。尸不垂直

C.4G與平面DEF相交且4G，。尸

D.AiG與平面OEF相交且4cl與OF不垂直

【答案】C

【分析】

延長。尸、CB相交于點M,連接ME并延長，根據(jù)平面幾何性質(zhì)可證得M、E、G三點共線，可判斷AG

與平面。所的位置關(guān)系，連接4c與田相交于點。，根據(jù)三角形相似的判定可證得NAOF=90。，證得

AC1DF,由此可得選項.

【詳解】

FBMBBE1

延長DF、CB相交于點M,連接ME并延長，因為點E、尸分別是89,AB的中點，所以后==—=-,

DCMCCCj2

所以例、E、G三點共線，所以AG與平面OE尸相交不平行，4a與平面DEF相交不平行，故A、B選項

不正確；

A￡)4?廠

對于C、D：連接4c與尸。相交于點O,因為A8=0AO,F是AB的中點，所以——=—=V2,

rAFBC

又ZDAB=ZABC=90°.所以?AABC，

所以ZA￡)E=NGW，ZDFA=ZACB,又NCA5+ZAC8=9()，所以NCA8+NZ)E4=90"，

所以NAOF=90°，所以AC_LOf,又ACHg,所以故C正確，D不正確,

二、多選題

13.下列說法正確的是()

A.若直線。在平面a外，則a//a

B.若平面a//平面au平面a,則“//4

C.若直線a//直線6hu平面a,那么直線。平行于平面。內(nèi)的無數(shù)條直線

D.平面a內(nèi)有無數(shù)多條直線與平面尸平行，則a///7

【答案】BC

【分析】

根據(jù)空間線面、面面間的位置關(guān)系判斷各選項.

【詳解】

直線a在平面a外，包含a//a，及。與。相交，A錯；

平面a//平面力，則必，無公共點，au平面a,。與萬無公共點，則a/R,B正確：

力u平面a,a內(nèi)有無數(shù)條直線與〃平行，它們也都與a平行，c正確；

設(shè)?？凇?/，則a內(nèi)有無數(shù)條直線與/平行，這無數(shù)條直線與戶平行，D錯誤.

故選：BC.

14.己知空間中兩條直線4，％所成的角為50°,P為空間中給定的一個定點，直線/過點尸且與直線a和

直線b所成的角都是6（0°＜。＜90。），則下列選項正確的是（）

A.當(dāng)夕=15°時，滿足題意的直線/不存在B.當(dāng)6=25。時;滿足題意的直線/有且僅有1條

C.當(dāng)6=40°時，滿足題意的直線/有且僅有2條D.當(dāng)8=6（）。時，滿足題意的直線/有且僅有3條

【答案】ABC

【分析】

為了討論：過點。與。所成的角都是6（0°轟R90。）的直線/有且僅有幾條，先將涉及到的線放置在同一

個平面內(nèi)觀察，只須考慮過點。與直線叫、仇所成的角都是6（0°效890。）的直線/有且僅有幾條即可，再

利用cos6=cos4?cosa.進(jìn)行角之間的大小比較即得.

【詳解】

過點0作q//a，bj/b,則相交直線a,、瓦確定一個平面a.4與4之間形成的角為50°或130°,

設(shè)直線04與4、4均為。角，

作A8_L1面a于點8,8（71.%于點。，BD1.瓦于點D，

記=ZBOC==25°或65°）,則有cose=cosq

因為0啜切90°,所以砥1上os。cos?！?/p>

當(dāng)冬=25°時，由噴電os。cos250,得25啜J990°；

當(dāng)％=65。時，由噫心os6cos65°,得65啜上90°.

故當(dāng)8<25°時,直線/不存在；

當(dāng)6=25°時，直線/有且僅有1條；

當(dāng)25°<。<65°時，直線/有且僅有2條；

當(dāng)6=65°時、直線/有且僅有3條；

當(dāng)65°<6<90°時,直線/有且僅有4條;

當(dāng)。=90。時，直線/有且僅有1條.

故A,B,。均正確，。錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查線面角大小的判斷，處理技巧上，將直線。力轉(zhuǎn)化成共面直線非常關(guān)鍵，考查/數(shù)形結(jié)

合，分類討論的數(shù)學(xué)思想.

15.如圖，在正方體ABC?！?4G2中，E、尸分別為棱CG、AA1的中點，則下列說法正確的有（）

A.直線AG與直線DE共面

B.DXFHBE

IT

C.二面角E-BO—下的大小為一

2

D.直線4G與平面￡05所成角的正弦值為"

3

【答案】BD

【分析】

連接AC,AC//4G，容易判斷直線AC與直線OE異面，進(jìn)而得出選項A錯誤；由圖象及正方體的性

質(zhì)容易判斷選項BC-.利用等體積法求出點C到平面6OE的距離，由此即可求得直線AG與平面￡08所

成角的正弦值.

【詳解】

連接AC，顯然AC//AG，而直線OE與平面ABC。相交于點。，且。不在直線ACL,

二直線AC與直線DE異面，則直線AG與直線DE異面，選項A錯誤;

在正方體ABC?！?9中，顯然。尸//3七，選項3正確:

顯然平面EBO不垂百平面EB￡＞，即二面角七一瓦）一廠的大小不為一，選項C錯誤;

2

直線AG與平面瓦汨所成角即為直線AC與平面區(qū)2B所成角，設(shè)為a,

設(shè)正方體邊長為2,則=gx2*2=2,CE=1,OE=g,S^DE=；乂2近乂上=瓜，

設(shè)點C到平面曲的距離為d，嗚—3…，即2=用,解得。邛,

逅

?“皿喂*邛,選項。正確.

故選：BD.

16.已知。，b,。為空間中直線，a,4為空間中平面，下列命題錯誤的是（）

A.若a"b,bua,則?！?。

B.若a〃6，aua,bu0,則a〃方

C.若alla,bua,則a〃5

D.若a〃a,al1/3,且cfl月=人，則a〃。

【答案】ABC

【分析】

利用特例法判斷ABC；利用線面平行的性質(zhì)判斷D.

【詳解】

若a〃b,bua，則?！╝或。ua,A錯誤；

若a〃力，aua,bu』,則a〃b或a,。是異面直線，B錯誤；

若勿/a,bua，則a〃力或。力是異面直線，C錯誤；

若alia,a〃/?，且an?=。，過。作平面/分別與。，夕相交于直線人”,則由線面平行性質(zhì)定理得

a/lm,alln=>mlIn,再由線面平行性質(zhì)定理得加/〃=a//〃,D正確，

故選：ABC.

17.已知加，〃，5是三條不同的直線，a,乃是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若m"n,mils,則〃〃s

B.若mHa,n//[3,aA.f3,則〃?_L〃

C.若m_L。，nila,則m_L〃

D.若加與△所成角為a與4的銳二面角為則加〃a或加ua

【答案】AC

【分析】

根據(jù)平行的傳遞性，可判斷選項A；根據(jù)已知線面、面面的位置關(guān)系，可得判斷B；根據(jù)線面垂直、線面平

行關(guān)系，可判斷C；根據(jù)線與面所成角及面面所成角時線面關(guān)系，可判斷D.

【詳解】

對A：根據(jù)平行的傳遞性，可得〃〃s,故A正確；

加，“可能平行，故B錯誤;

對C：過〃作平面4交a于/,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得〃/〃，又加，。，lua,所以加，/,

所以根故C正確；

加與a可能相交，故D錯誤.

18.如圖，在直三棱柱ABC—44cl中，A8=Ji4A=28，AABC是等邊三角形，點。為該三棱柱

外接球的球心，則下列命題正確的是（）

B.異面直線BC與A4所成角的大小是5

6

C.球。的表面積是20%

D.點O到平面AB、C的距離是姮

13

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A選項；由A4//CG可得NBCG是異面直線B?與A4所成的角，求出

其正切值，從而求出角的大小，由此判斷B選項；設(shè)八4,46外接圓的圓心為a，連接oa，aG，oG，

AB.

可得球。的半徑R=OJ,由此判斷C選項：設(shè)VA4c外接圓的半徑為r,由正弦定理求得r=.」,

sinZB,Ac

則點。到平面ABtC的距離d=JR2一戶,由此判斷D選項.

【詳解】

解：如圖，由題意可知AG〃AC,因為ACu平面4?C，ACU平面Age,所以4G〃平面Age,故A

正確；

因為A4//CG,所以ZB,CC）是異面直線B￡與AA,所成的角，

因為AB=百朋=2上,所以tanZB^C,

71

所以/用。0=§,故B錯誤;

設(shè)△ABiG外接圓的圓心為?！高B接。a，ac，oc,

2I----1I-

由題意可得=§xJ12-3=2,00]=-A4,=1,則球。的半徑R=OC1=6,

從而球0的表面積是4萬A?=4乃x（、3）2=20%,故C正確;

設(shè)VA3。外接圓的半徑為，，由題意可得4旦=4。=，12+4=4,

48^/13

則sinN與AC="6二3=姮,由正弦定理可得「

2x反13，

144

4

[64V13.,.之

birir故口止確;

則點O到平面ABtC的距離d=J/??-產(chǎn)

故選：ACD.

19.在正方體A8CD-4月。。］中，異面直線。和匕分別在上底面A4G2和下底面AB8上運動，。與

。的夾角為8,且sine=±?

,當(dāng)BG與。所成角為60°時，則”與側(cè)面BCG4所成角的正切值可能為

10

11

A.2B.3C.—D.一

23

【答案】AC

【分析】

根據(jù)空間線面關(guān)系，由異面直線所成角的解法，進(jìn)行不斷的平移轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖形利用線線平行確定線面角

即可得解.

【詳解】

易得直線3。所成角為60°,所以力〃8。或AC.

當(dāng)匕〃80時，過點C作直線CE與8D交于點0，

直線CE與80夾角的正弦值為亞，則?！–E，

10

此時e=NC0D或NB0C，a與側(cè)面所成角為NECB，

因為sin6=2-----，所以tan6=3.

10

\tan6八/-tan—冗1

當(dāng)。=/。0。時，tanZECB=tan］。一Q=_________4_=1;

4J1+tan-tan—2

4

人冗

\/\tan0+tan—

當(dāng)6=/80。時，tanZ.ECB=tan-0―tan。+=4=2.當(dāng)匕〃

4）141l-tan9-tan三

4

同理.

故選：AC

20.如圖，在正方體ABC0-4由iCiDi中,Ai"_L平面AB。，垂足為“，則下面結(jié)論正確的是（）

A.直線4”與該正方體各棱所成角相等

B.直線4,與該正方體各面所成角相等

C.垂直于直線4”的平面截該正方體，所得截面可能為五邊形

D.過直線AiH的平面截該正方體所得截面為平行四邊形

【答案】ABD

【分析】

結(jié)合線線角與線面角的定義判斷選項A，B,由垂直于直線4"的平面與平面AqA平行判斷選項C，由

四邊形為ACC為矩形判斷選項D.

【詳解】

連結(jié)AC，BD，DC,,BQ,根據(jù)正方體的體對角線與面對角線垂直，可得AC_LA耳，\CLAD,,

因為ADtp\=A,則AC_L平面A4A，

所以直線A"與直線4C重合，

對于A，因為直線4C與該正方體各棱所成角相等，均為arctan夜，所以直線4"與該正方體各棱所成

角相等，故選A正確；

對于3,因為直線AC與該正方體各面所成角相等，均為arctan^Z，所以直線4"與該正方體各面所成

2

角相等，故選項5正確；

對于C,垂直于直線的平面與平面A4A平行，截正方體ABC。-A44R所得截面為三角形或六

邊形，故選項C錯誤；

對于。，過直線4C的平面截該正方體所得截面為4ACC為矩形，即過直線4〃的平面截該正方體所得

截面為平行四邊形，故選項D正確.

故選：ABD.

5

第II卷（非選擇題）

三、填空題

21.如圖，在正方體ABCD-44GA中,M,N分別是GA，BC的中點,P是4。上一點，且P"=34p,

則異面直線AP與MN所成角的余弦值為.

恪案】警

【分析】

在邊4C上取點E,使得C1E=；GB，連接ME，NE,在邊B￡上取點F,使BF=；B?，連接

PF,BF,可證得EN〃AP，所以/MNE為異面直線叱與MN所成角，然后在△〃汽石中求解即可

【詳解】

解：設(shè)45=4,在邊4G上取點E,使得CE=；G4=1,連接A/E，NE,

因為所以A,P=；AA=I，

在邊WG上取點F，使4b=：4G，連接P￡BF,則可得A3EP為平行四邊形，所以A尸〃

因為EE=g4G，BN=；3C,BC〃BQBg=BC,

所以EF〃BN，EF=BN,

所以四邊形EFBN為平行四邊形，

所以FB〃EN,

所以EN〃AP

所以4MNE為異面直線AP與MN所成角.

因為A5=4,所以M￡=石，

MN=>JNC2+MC2=7^C2+C,C2+C,M2=74+16+4=276，

NE=BF=716+1=V17，

GrN24+17-53V102

所以cosNMNE=----產(chǎn)~~==------.

2x2V6xV1734

故答案為：亞@

34

71

22.已知空間四邊形ABCD,45=8=2,且A8與CD所成的角為一，設(shè)E、尸分別是8。、A￡＞的

3

中點，則及'的長度為.

【答案】1或G

【分析】

連接5D，取5。的中點0,連接?！?、OF,分NE0F=&或ZE0F=」進(jìn)行討論，結(jié)合余弦定理可

33

求得上產(chǎn)的長.

【詳解】

連接30,取3。的中點。，連接0￡、OF,如下圖所示：

A

???0、E分別為3。、8C的中點，則。石〃CD且OE=』CD=1,

2

同理可知OFHAB且OF=—AB=1,

2

TTTT27r

因為A3與。。所成的角為一，則NEOF=—或NEOF=—.

333

TT

①若NEOF=—,則△石O尸為等邊三角形，故EF=OE=1；

3

②若ZEOF=—,由余弦定理可得EF=JOE2+OF2-2OE-OFcos—=.

3V3

綜上所述，EF=T或6-

故答案為：1或0.

23.在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）A8CD中，M,N分別為8cA。的中點，則直線A"

和CN夾角的余弦值為.

2

【答案】-

3

【分析】

連接MD,取“。中點E,連接EMCE,所以NE//AM，所以直線AM和OV夾角即為NCNE,分

別求得各個長度，結(jié)合余弦定理，即可求得答案.

【詳解】

連接用/）,取MD中點E,連接EV,CE,

因為A8CO為正四面體，且棱長為I,M,N分別為5C,AD的中點，

所以O(shè)V=AV=yjAB2-BM2=—，

2

因為E,N分別為M。，AC中點,

所以NE//AM，且NE=」AV=走，

24

所以直線4W和CN夾角即為ACNE,

在Rt/\MEC中,EC=7ME2+MC2=—■

4

NE2+CN2-CE22

所以在AOVE中，cosNCNE=+3_巴=4

2乂NExCN3

2

所以直線AM和CN夾角的余弦值為；.

3

2

故答案為：—

3

24.正方體43CD—44GA的棱長為6，P為8。的中點，〃為A3的中點，。為線段CC，上的動點,

過點H、P、。的平面截該正方體所得的截面記為S,當(dāng)CQ=4時，S與GA的交點為A，求線段弓尺

的長度.

3

【答案】一

2

【分析】

延長"P交。C的延長線于點例，連接“。并延長交CO于點R,利用平行線分線段成比例定理可求得

CM的長度，進(jìn)而可求得GR的長度.

【詳解】

當(dāng)CQ=4時，如下圖所示：

延長HP交DC的延長線于點M，連接MQ并延長交于點R,

P分別為AB、8c的中點，則8”=8P=3,PC=3,

CMPC

QAB//CD,則——=——，可得，

yBHPBCM=3

???CQ=4,則GQ=2,因為則笑=哭=!，故GR=』CM=3.

CMCQ222

3

故答案為：一.

2

25.如圖，正方體AC的棱長為1,點M在棱4。上，4M=2MQ”過M的平面。與平面A山G平行,

且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為

【答案】3亞.

【分析】

先利用平行關(guān)系得到截面與正方體的交點位于靠近。I,A,C的三等分點處，從而得到截面為M//7GFE,利

用正方體的棱長求出截面的周長即可.

【詳解】

在平面4ADA中尋找與平面4BG平行的直線時，只需要ME〃BCi,如圖所示，

因為4M故該截面與正方體的交點位于靠近Oi,4,C的三等分點處，故可得截面為M///GFE,

設(shè)正方體的棱長為3“，則”后=2億,〃/=億,/”=2>/54”6=億，F(xiàn)G=2y/2a,EF=?,

所以截面MIHGFE的周長為ME+EF+FG+GH+HI+IM=90a，

又因為正方體AC的棱長為1,即3a=1,

故截面多邊形的周長為3亞-

故答案為：3亞.

26.已知三棱錐P-48c的所有棱長為2,D,E,尸分別為孫，PB,PC的中點，則此三棱錐的外接球被

平面。EF所截的截面面積為.

47r

【答案】—

3

【分析】

根據(jù)正四面體的邊長，求得外接球半徑，并求得外接球球心到被平面OEF所截的截面的距離，從而求得外

接球被平面QEF所截的截面所在的圓的半徑，從而求得面積.

【詳解】

作PNA平面ASC于N點，交平面。石尸于〃點，取三棱錐尸-48C的外接球球心為0,則設(shè)外接球半

徑OP=OB=r,

易知BN=當(dāng)，PN=二半,

則在放△OM?中，/=（當(dāng)）2+（當(dāng)—7）2,解得「=乎

又。，E,F分別為辦，PB,PC的中點，則00=！吶=且

23

則球心到平面DEF的距離0M=旦一旦=顯

236

此三棱錐的外接球被平面DEF所截的截面為以。知2=馬巨為半徑的圓，

3

則截面面積為萬（孚）2=g萬

47r

故答案為：—

3

27.如圖，在核長為2的正方體ABC。-44GA中，E是A4的中點，則平面CEQ截正方體所得的截

【答案】3V2+2V5

【分析】

取A5中點F，連接CF,EF，A8,證明四邊形EFCR即為平面CE^載正方體所得的截面多邊形，進(jìn)而

求解.

【詳解】

解：取AB中點/，連接CF,E￡43,

由正方體的性質(zhì)知4。//5C,A2=BC,

所以四邊形AQC8是平行四邊形，所以AB//RC,

在AAAB中，點產(chǎn)為A3中點，E是AA的中點，

所以A,5//EF,所以EF//D。,

所以四邊形EFCD、即為平面C￡D,截正方體所得的截面多邊形，

所以其周長為石尸+尸。+。。+。石=正+石+20+石=30+26.

故答案為：3五+2出

【點睛】

本題考查空間幾何體的截面問題，考查運算求解能力，邏輯推理能力，空間想象能力，是中檔題.本題解題

的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，構(gòu)造輔助線，求得平面CEP1截正方體所得的截面多邊形.

28.已知三棱柱A3C-A4G，側(cè)棱底面A8C,E,F分別是的中點，且

AC=BC=2,AC±BC,AA,=4,過點E作一個截面與平面BFg平行，則截面的周長為

【答案】^+272+275

【分析】

如圖，取AF中點G,分別在CC,,BC上取點H,M,使”G=；CG，,連接EG,GH,HM,EM,

可得平面即為所需截面，求出其周長即可.

【詳解】

如圖，取AP中點G,分別在CCt,BC上取點H,M,使HC]=~CCt,BM=^BC,

連接EG,GH,HM,EM,

又EG分別是A4AF中點，.?.卬=；441,

乂A4,//CG，AA=CC,,FG//”G,FG=HC],四邊形FGHC,為平行四邊形,

GH/FFt,GH=FC「，GH〃平面BFC，

113

???HCX=-CC[,BM=-EC,:.MH//BC\,MH二BC[,MH//平面BFC1,

又MHcGH=H，；.平面EGHM//平面BFC一

乂平面ABC,AC=BC=2,瓦尸分別是AB,A&的中點，AC±5C，M=4,

:.AB=2y/2,AF=AlF=2,

EG=gBF=AF?+AB?=6,GH=FJ=網(wǎng)尸+年：=2叵,

HM=|fiC,=q[BB；+BC；=,氐

在中，BM=>BC=LBE=-^,NEBM=45°，

42

EM2=BM2+BE2