224均值不等式及其應(yīng)用（2知識(shí)點(diǎn)5題型鞏固訓(xùn)練）（原卷版）

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理.2、能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理求最值.1、通過對(duì)均值不等式不同形式應(yīng)用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想2、了解均值不等式的幾何意義。3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。4、掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等。知識(shí)點(diǎn)01均值不等式（1）算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術(shù)平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b且僅當(dāng)a＝b時(shí)，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號(hào)，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).【即學(xué)即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．若，則的最小值是C．當(dāng)時(shí)，D．的最小值是知識(shí)點(diǎn)02均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數(shù)．(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值．可簡(jiǎn)記為“兩正數(shù)積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項(xiàng)必須都是正值，否則就容易得出錯(cuò)誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項(xiàng)的和或者積必須是常數(shù)，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號(hào)成立的條件，才能求得最大值或最小值．【即學(xué)即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2易錯(cuò)：利用基本不等式求最值示例若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5【題型1：對(duì)均值不等式的理解】例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長(zhǎng)度完成的無字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）變式1.（2024·北京·高一豐臺(tái)第十二中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列推導(dǎo)過程，其中正確的是（）A．因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以B．因?yàn)?，所以C．因?yàn)?，所以D．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立變式3.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果，那么下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．變式4.（2024·江蘇常州·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法，其中一定正確的是（）A．B．C．D．的最小值為【方法技巧與總結(jié)】基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方【題型2：利用均值不等式求最值】例2.（2024·陜西西安·高一?？计谥校┮阎?，，，則的最小值為（）A．1B．2C．4D．8變式1.（2024·海南·高一校考期中）已知，代數(shù)式的最大值為（）A．B．C．2D．變式2．【多選】（2024·陜西咸陽(yáng)·高一武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．變式3．（2024·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為.變式4．（2024·吉林·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值是.變式5．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，若，則的最小值為.變式7.（2024·全國(guó)·高一專題練）已知，則的最小值為（）A．B．0C．1D．變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．變式11．（2024·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎龜?shù)x，y滿足，則的最小值為.變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，則的最小值為．【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬不要忽視等號(hào)成立的條件．【題型3：利用均值不等式證明不等式】例3.（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）已知均為正數(shù)，且，求證：.變式1．（2024·全國(guó)·高一課堂例題）對(duì)任意三個(gè)正實(shí)數(shù)，，，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．變式2．（2024·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)，為正數(shù)，證明下列不等式：(1)；(2)．變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.變式4．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）（1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明：.變式5．（2024·陜西西安·高二?？计谥校?）已知，求的最大值；（2）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：．變式6.（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一?？计谀┮阎?，都是正數(shù).（1）若，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時(shí)，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時(shí)要注意對(duì)所給代數(shù)式通過添項(xiàng)配湊，構(gòu)造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時(shí)還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．【題型4：均值不等式的恒成立問題】例4.（2024·四川雅安·高一校考開學(xué)考試）若對(duì)，，有恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．變式2.（2024·高一單元測(cè)試）已知對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為．變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．變式4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9變式6．（2024·吉林四平·高一?？茧A段練習(xí)）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.變式7．（2024·安徽阜陽(yáng)·高二校考期中）兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．(2)觀察題目特點(diǎn)，利用均值不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．【題型5：利用均值不等式解決實(shí)際問題】例5.（2024·廣西欽州·高一校考開學(xué)考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個(gè)長(zhǎng)，寬，高依次為，，1的長(zhǎng)方體.現(xiàn)要將它的長(zhǎng)增加1，寬增加2，做成一個(gè)新的長(zhǎng)方體，體積保持不變，則新長(zhǎng)方體高的最大值為（）A．B．C．D．變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時(shí)勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要小時(shí).變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第層樓時(shí)，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低.設(shè)住第層樓時(shí)，環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第樓，會(huì)有一個(gè)最佳滿意度.變式3．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪設(shè)草坪，造價(jià)為每平方米80元．

(1)設(shè)AD長(zhǎng)為x米，總造價(jià)為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問：當(dāng)x為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)S最小值.變式4．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國(guó)家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽(yáng)某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉(cāng)庫(kù)外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長(zhǎng)度均為．(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元若無論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，求a的取值范圍．變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）某公司擬在下一年度開展系列促銷活動(dòng)，已知其產(chǎn)品年銷量萬件與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足：.已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的1.5倍與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完.(1)將下一年的利潤(rùn)（萬元）表示為促銷費(fèi)（萬元）的函數(shù)；(2)該公司下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，年利潤(rùn)最大?并求出此時(shí)的最大利潤(rùn).（注：利潤(rùn)=銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式解決實(shí)際問題的步驟解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．一、單選題1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若，使得成立是真命題，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．4 D．2．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)），則的最小值為（

）A． B． C． D．65．（2526高一上·上海·課后作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2425高三上·廣東·開學(xué)考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．388．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4二、多選題10．（2425高三上·河南·開學(xué)考試）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，，，則（

）A．的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為211．（2425高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知且，則下列不等式恒成立的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為212．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．13．（2425高三上·福建龍巖·開學(xué)考試）已知，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，則的最大值三、填空題14．（2024高一上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則；．15．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）某服裝加工廠為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購(gòu)買臺(tái)設(shè)備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺(tái)設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購(gòu)買設(shè)備臺(tái)．16．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的最大值.17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最大值為．18．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤(rùn)最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間t為年．19．（2425高三上·福建莆田·開學(xué)考試）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.四、解答題20．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）運(yùn)貨卡車以每小時(shí)千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制（單位:千米/時(shí)），假設(shè)汽油的價(jià)格是每升6元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)18元.(1)求這次行車總費(fèi)用關(guān)于的表達(dá)式;(2)當(dāng)為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低?最低費(fèi)用是幾元?21．（2024高一下·全國(guó)·課堂例題）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．22．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，求的最大值．23．（2024高一上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值；（2）求在時(shí)的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．24．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的最大值．25．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知命題p：，；命題q：，(1)若p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若p與q有且只有一個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.26．（2024高