第07講菱形（3大考點9種題型強化訓(xùn)練）

第07講菱形1.經(jīng)歷探索菱形的概念與性質(zhì)的過程，在操作活動和觀察、分析過程中發(fā)展學(xué)生的主動探究習(xí)慣和初步的審美意識，進(jìn)一步了解和體會說理的基本方法.2.了解菱形的現(xiàn)實應(yīng)用.3.掌握四邊形是菱形的條件，經(jīng)歷探索四邊形是菱形的條件，在活動中發(fā)展學(xué)生的探究意識和有條理地表達(dá)能力一．菱形的性質(zhì)（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（3）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）二．菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形三．菱形的判定與性質(zhì)（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．題型一：根據(jù)菱形的性質(zhì)求角度一、單選題1．（2023下·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)證明≌，進(jìn)而得出，可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案．【詳解】連接．∵是的垂直平分線，∴．∵，且菱形具有軸對稱性，∴．∵四邊形是菱形，∴，，∴．∵，∴≌，∴，∴，∴，∴．

故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，點在邊上，將菱形紙片沿折疊，點對應(yīng)點為點，且是的垂直平分線，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)是的垂直平分線，得到，結(jié)合得到是等邊三角形，即可得到，根據(jù)四邊形是菱形得到，根據(jù)折疊即可得到答案；【詳解】解：連接，∵是的垂直平分線，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵菱形紙片沿折疊，點對應(yīng)點為點，∴，∴，故選D；【點睛】本題考查菱形的折疊問題，三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到是等邊三角形．二、填空題3．（2023下·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形中，，若對角線，則菱形的周長為．

【答案】12【分析】利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定及性質(zhì)可得，再利用菱形的周長計算公式即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，又，，解得：，是等邊三角形，，菱形的周長為：，故答案為：12．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題4．（2022下·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點E是菱形ABCD的邊BC延長線上一點，AC是對角線，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度數(shù)．【答案】【分析】設(shè)，則，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰補角的定義可得，建立方程求出值，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：由題意，設(shè)，則，四邊形是菱形，，，又，，解得，，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，于點，于點．，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可知，，同理可知，根據(jù)于點，于點，可知，從而得到．【詳解】解：在菱形中，，，，于點，于點，，在和中，，．【點睛】本題考查菱形中求角度，熟記菱形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．題型二：根據(jù)菱形的性質(zhì)求線段長一、解答題1．（2023下·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，菱形的對角線相交于點O，過點D作于點H，連接，若，，求的長．

【答案】【分析】利用菱形的面積求得的長度，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：菱形中，對角線相交于點O，則為的中點，∴由可得，∵∴又為的中點∴【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．2．（2023下·江蘇常州·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，對角線相交于點O，過點D作對角線的垂線交的延長線于點E．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定證明即可；（2）利用菱形的性質(zhì)得出，即可求的面積．【詳解】（1）證明∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是菱形，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，,∴．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定解答即可．3．（2023下·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線（k是常數(shù)，）與坐標(biāo)軸分別交于點A，點B，且點B的坐標(biāo)為．

(1)求點A的坐標(biāo)；(2)如圖1，將直線繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)交x軸于點C，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，直線上有一點M，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點P，若以A、B、M、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)直線的解析式為；(3)點P的坐標(biāo)為或或或；；【分析】（1）令，解得，即可求解；（2）過點A作，過點A作y軸的平行線交過點B與x軸的平行線于點M，交過點D與x軸的平行線于點N，證明，得到點D的坐標(biāo)為，再用待定系數(shù)法即可求解；（3）當(dāng)是邊時，點A向右4個單位向上2個單位得到點B，同樣，點向右4個單位向上2個單位得到，且，即可求解；當(dāng)是對角線時，由中點坐標(biāo)公式和即可求解．【詳解】（1）解：令，解得，∴點A的坐標(biāo)為；（2）解：過點A作，過點A作y軸的平行線交過點B與x軸的平行線于點M，交過點D與x軸的平行線于點N，如圖，∵，故為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴點D的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；（3）解：設(shè)點M的坐標(biāo)為，點，∵點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，①當(dāng)是邊時，點A向右4個單位向上2個單位得到點B，同樣，點向右4個單位向上2個單位得到，且，則或，解得或或（不合題意的值已舍去），故點P的坐標(biāo)為或或；②當(dāng)是對角線時，由中點坐標(biāo)公式和得：，解得，∴點P的坐標(biāo)為，綜上，點P的坐標(biāo)為或或或；【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形全等等，注意分類求解是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點，，將四邊形繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α得到四邊形，此時邊與邊交于點P，邊與的延長線交于點Q，連接．

(1)四邊形的形狀是___________．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為等腰三角形時，求P點坐標(biāo)．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形能否是菱形？若能，請求出此時點P坐標(biāo)，若不能，請說明理由．【答案】(1)矩形(2)當(dāng)為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為或或(3)四邊形不可能是菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的判定方法，坐標(biāo)特點進(jìn)行解答即可；（2）分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別畫出圖形求出結(jié)果即可；（3）延長交軸于點E，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出點P的坐標(biāo)，求出，證明，說明不可能是菱形．【詳解】（1）解：∵，，，∴軸，軸，∴，∴四邊形為矩形；故答案為：矩形．（2）解：∵，，，∴，，∵四邊形為矩形，∴；當(dāng)時，

在中根據(jù)勾股定理得：，∴，∴；當(dāng)時，過點P作于點D，如圖所示：

∵，，∴，∴此時點P的坐標(biāo)為；當(dāng)時，

在中根據(jù)勾股定理得：，∴；綜上分析可知，當(dāng)為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為或或．（3）解：四邊形不可能是菱形，理由如下：延長交軸于點E，如圖所示：

根據(jù)解析（2）當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴不可能是菱形．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖象，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，并注意進(jìn)行分類討論．題型三：根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積一、解答題1．（2023下·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點O是菱形對角線的交點，，，連接，交于F．(1)求證：；(2)如果，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)216【分析】（1）通過證明四邊形是矩形來推知；（2）利用（1）中的、，結(jié)合已知條件，在中，由勾股定理求得，．然后由菱形的對角線互相平分和菱形的面積公式進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：證明：四邊形是菱形，．，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，；（2）由（1）知，，，，在中，由勾股定理得，，，四邊形是菱形，，，菱形的面積是：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理矩形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是菱形，對角線，交于點O，過點D作交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，得出，根據(jù)菱形性質(zhì)得出即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理，先求出對角線的長，再根據(jù)即可解決問題．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．【點睛】本題注意考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明是平行四邊形，記住菱形的對角線互相垂直，屬于中考?？碱}型．3．（2023下·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┒x：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．

(1)已知是“準(zhǔn)直角三角形”，，若，則______．(2)如圖，在菱形中，，，連接，若正好為一個準(zhǔn)直角三角形，求菱形的面積．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分情況討論，從或者兩種情況討論，算出的值；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，求得，連接交于點，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形．求出，得到，再根據(jù)勾股定理計算出的值，最后根據(jù)菱形的面積公式計算出結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，，解得，當(dāng)時，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，，綜上所述，或；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，正好為一個準(zhǔn)直角三角形，，，，，連接交于點，是等邊三角形，，，，，故，，．

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確理解“準(zhǔn)直角三角形”是解題的關(guān)鍵．題型四：根據(jù)菱形的性質(zhì)證明一、解答題1．（2023下·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，已知菱形，，E、F分別是、的中點，連接、．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)和矩形的判定，（1）可證明是等邊三角形，根據(jù)中點得出，進(jìn)一步求得四邊形是平行四邊形，即可得出答案；（2）利用等邊三角形求得菱形的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∵E是的中點，∴，∴，∵E、F分別是、的中點，∴，，∵四邊形是菱形，∴且，∴且，則四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（2）∵是等邊三角形，，∴．2．（2023下·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作于點，延長到點，使得，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，再證，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，再由勾股定理得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，且，，，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，由（1）可知，，，在中，，．【點睛】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理等知識；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D，點是菱形對角線的交點，，，連接，交于．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)，判定四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而證得四邊形是矩形；（2）由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可得，再由矩形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，，四邊形是矩形，．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)并靈活運用．4．（2023下·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，過點D作對角線的垂線交的延長線于點E．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直推出，即可證明；（2）根據(jù)菱形的面積公式求解．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，菱形中，，，菱形的面積．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)和面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對角線互相垂直．題型五：根據(jù)菱形的定義判定菱形1．（2023下·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，為中點，過點作的垂線分別交、于點、，連接、．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理．（1）由條件可先證四邊形為平行四邊形，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可求得，設(shè)，在和中，分別利用勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求得的長．【詳解】（1）證明：為中點，，為的垂直平分線，，，，．∵四邊形ABCD是矩形，，，，∴，四邊形平行四邊形．又，四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，，，，，，設(shè)，在中，，在中，．，解得，．2．（2023下·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）已知：如圖，中，的平分線交于點，的平分線交于點，、交于點．

(1)則四邊形的形狀為；請說明你的理由(2)僅用無刻度的直尺在的右側(cè)，邊上找一點，連接，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）；連接，，若平行四邊形的面積為，則四邊形的面積是．【答案】(1)菱形，理由見解析；(2)作圖見解析，．【分析】（）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明，從而可得，同理可得，再由可得四邊形是菱形；（）連接，交于點，連接，延長交于點，點即為所求，證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）四邊形是菱形，理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵的平分線交于點，∴，∴，∴，同理：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）如圖，連接，交于點，連接，延長交于點，

∴點即為所求．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定，平行四邊形的判定．題型六：根據(jù)對角線互相垂直判定菱形1．（2023下·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，O為平行四邊形的邊的中點，連接并延長交的延長線于點E，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)①當(dāng)與滿足___________時，四邊形是矩形．②當(dāng)與滿足___________時，四邊形是菱形．請選擇一個給予證明．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則，由此證明得到，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）①只需要滿足，則四邊形是矩形，由于可得，因此只需要滿足即可；②只需要滿足，即則四邊形是菱形，則只要滿足即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵O為邊的中點，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)時，四邊形是矩形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形；②當(dāng)時，四邊形是菱形，理由如下：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰三角形三線合一定理，熟知相關(guān)特殊四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型七：根據(jù)四邊相等判定菱形1．（2023下·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，．

(1)作點A關(guān)于的對稱點C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，連接，連接，交于點O．①求證：四邊形是菱形；②取的中點E，連接，若，求點E到的距離．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②點E到的距離是【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于直線的對稱點的畫法，過點A作的垂線段并延長一倍，得對稱點C；（2）①根據(jù)菱形的判定即可求解；②過B點作于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理得到再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：點C即為所求；

（2）解：①證明：∵，∴，∵C是點A關(guān)于的對稱點，∴，∴，∴四邊形是菱形；②過B點作于F，

∵四邊形是菱形，∴，∵E是的中點，，∴，∴∴，∵四邊形是菱形，∴，∵∴，∴∵故點E到的距離是．【點睛】此題主要考查了基本作圖以及軸對稱變換的作法、菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識，得出，的長是解題關(guān)鍵．題型八：菱形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用1．（2023下·江蘇揚州·八年級儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，的平分線交線段于點，交線段的延長線于點，以、為鄰邊作．

(1)如圖1，證明：．(2)如圖2，若，是的中點，求的度數(shù)；(3)如圖3，若，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可證明；（2）首先證明四邊形為正方形，再證明可得，，再根據(jù)可得到的度數(shù)；（3）延長交于H，連接，求證平行四邊形為菱形，得出為全等的等邊三角形，證明，即可得出答案．【詳解】（1）（1）∵平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴；（2）如圖，連接，

∵，四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形為菱形．∴，∴四邊形為正方形．∵，∴，∵M(jìn)為中點，∴，∴，在和中，∵∴，∴，．∴，∴是等腰直角三角形，∴；（3），延長交于H，連接．

∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，平分，∴，，，∴為等腰三角形，∴，∴平行四邊形為菱形，∴為全等的等邊三角形，∴，，∵，，，∴，在與中，∵，∴，∴∴．【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識點，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．2．（2023下·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形．

(1)用直尺和圓規(guī)分別在、邊上找點E、F，使得四邊形是菱形；（保留作圖痕跡，不寫作法，并給出證明．）(2)若，，求菱形的周長．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）連接，作的垂直平分線交，于點E，F(xiàn)，則四邊形為菱形；由是的垂直平分線得，，，再證和全等得，進(jìn)而得，據(jù)此可判定四邊形為菱形；（2）設(shè)菱形的邊長為x，則菱形的的周長為，在中由勾股定理求出x即可．【詳解】（1）解：連接，利用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線交，于點E，F(xiàn)，則點E，F(xiàn)為所求．如圖，

證明如下：設(shè)與交于點O，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∵是的垂直平分線，∴，，，在和中，，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，∴點E，F(xiàn)為所求作的點．（2）解：設(shè)菱形的邊長為x，則菱形的的周長為，在中，，，，由勾股定理得：，即：，解得：，∴菱形的的周長為．答：菱形的周長為20．【點睛】此題主要考查了基本尺規(guī)作圖，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵熟練掌握利用直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平分線的方法與步驟，理解四條邊都相等的四邊形是菱形．3．（2023下·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）先證明，得，根據(jù)一組對邊平行且相等可得四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：，根據(jù)菱形的判定即可證明四邊形是菱形；（2）先根據(jù)菱形和三角形的面積可得：，即可解答．【詳解】（1）證明：∵E是的中點，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵D是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，D是的中點，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，，，∴，∴，∴【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形和菱形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上基礎(chǔ)知識．題型九：根據(jù)菱形的對稱性求最小值1．（2023下·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）在正方形中，，E、F分別是、邊上的動點，以、為邊作平行四邊形．

(1)如圖1，連接，交于點O，若．①試說明與的關(guān)系；②線段最小值是__________；(2)如圖2，若四邊形為菱形，判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①且，理由見解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，再判斷和全等，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答；②由平行四邊形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，可得的最小值，然后求得的最小值即可解答；（2）設(shè)，再根據(jù)點E為中點菱形的性質(zhì)，再通過勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：①：且，理由如下：∵四邊形為正方形，∴，在和中，，，∴，∵，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴且．②解：∵平行四邊形，∴，設(shè)，∵，，則，∴，即，∴的最小值為18，的最小值為，∴的最小值為．故答案為：．（2）解：設(shè)，，∵，，則，∵四邊形為菱形，∴，由勾股定理可得：，即，解得∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握全等三角形的判定、平行四邊形是解題關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）在邊長為6的菱形中，，點E、F是邊、上的點，連接．(1)如圖1，將沿翻折使B的對應(yīng)點落在中點上，此時四邊形是什么四邊形？并說明理由．(2)如圖2，若，以為邊在右側(cè)作等邊；①連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的長度．②直接寫出的最小值．【答案】(1)菱形，理由見解析；(2)①或3；②．【分析】（1），連接，先證明是等邊三角形，可知，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出答案；（2）①作，作，先求出，，再根據(jù)證明，然后根據(jù)得出答案；當(dāng)時，根據(jù)得出答案．②先確定點G的位置，根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】（1）答：菱形，理由如下：連接，在菱形中，，∴，∴是等邊三角形，∴．在等邊中，是的中線，∴，由翻折可得，，，∴，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形.又∵，∴四邊形是菱形；（2）①解：過點E作于點M，過點G作于點N，在中，，，∴，．∵，，∴．∵，，∴，∴，，當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，在中，，，∴，∴，∴．綜上，的長度為或3．②最小值是．如圖，根據(jù)題意可知點G在上，且，當(dāng)時，最短．∵，，∴，．在中，，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023春?金湖縣期中）菱形的對角線長分別為6和8，它的面積為A．5 B．20 C．24 D．48【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，計算即可．【解答】解：菱形的面積為：；故選：．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖所示，在菱形中，若，，則菱形的面積為A．20 B．24 C．26 D．32【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，由勾股定理求出，則，由菱形面積公式即可得出答案．【解答】解：連接交于點，如圖所示：四邊形是菱形，，，，，，，菱形的面積，故選：．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，已知是菱形的邊上一點，且，那么的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，，則，得，再由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?宜興市期末）如圖，下列條件之一能使平行四邊形是菱形的為①；②；③；④．A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③【分析】菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．【解答】解：①中，，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定是矩形，而不能判定是菱形；故①錯誤．②中，，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定是菱形；故②正確；③中，，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定是菱形；故③正確；④、中，，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定是矩形，而不能判定是菱形；故④錯誤；故選：．【點評】此題考查了菱形的判定與矩形的判定定理．此題難度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．5．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，在中，于，，分別是，的中點，連接，，當(dāng)滿足下列哪個條件時，四邊形為菱形A． B． C． D．【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，分析得出當(dāng)滿足條件或時，四邊形是菱形．【解答】解：要使四邊形是菱形，則應(yīng)有，，分別為，的中點，，，，，，，當(dāng)點應(yīng)是的中點，而，應(yīng)是等腰三角形，應(yīng)添加條件：或．則當(dāng)滿足條件或時，四邊形是菱形．故選：．【點評】此題考查的是菱形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．6．（2023春?江都區(qū)月考）如圖，菱形對角線，，則菱形高長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出、，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半和底乘以高兩種方法列式計算即可得解．【解答】解：菱形對角線，，，，，根據(jù)勾股定理，，菱形的面積，即，解得．故選：．【點評】本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)菱形的面積的兩個求解方法列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春?海陵區(qū)期中）菱形的周長為，則菱形的面積的最大值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長，可設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求菱形的面積的最大值．【解答】解：菱形的周長為，菱形的邊長是，設(shè)，由勾股定理可得，菱形的面積，當(dāng)時，菱形的面積的最大值是．故選：．【點評】考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計算，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出的長．8．（2023春?吳江區(qū)月考）在下列條件中，能判定平行四邊形為菱形的是A． B． C． D．【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、，，平行四邊形為矩形，故選項不符合題意；、，平行四邊形為矩形，故選項不符合題意；、，平行四邊形為菱形，故選項符合題意；、由，不能判定平行四邊形為菱形，故選項不符合題意；故選：．【點評】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定．熟記菱形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）下列說法正確的是A．平行四邊形的對角線互相垂直 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．菱形的對角線相等 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【分析】由菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、平行四邊形的對角線互相平分，故選項不符合題意；、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；、菱形的對角線互相垂直平分，故選項不符合題意；、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項符合題意；故選：．【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，已知菱形與菱形全等，菱形可以看作是菱形經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過1次平移和1次翻折；③經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點共有3個．其中所有正確結(jié)論的序號是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換，分別畫圖可得結(jié)論．【解答】解：①如圖1，先將菱形向右平移，再繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，故①正確；②如圖2，將菱形先平移，再沿直線翻折可得菱形，故②正確；③如圖3，經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有和，共有2個，故③不正確；故選：．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和幾何變換，在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分．在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．二．填空題（共8小題）11．（2023春?鹽城月考）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形．若點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是．【分析】過、作軸，軸，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證明，可得，然后可得點坐標(biāo)．【解答】解：過、作軸，軸，點的坐標(biāo)是，，四邊形是菱形，，，，軸，軸，，在和中，，，，，．故答案為：．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等．12．（2023春?東臺市期中）已知：一菱形的面積為，一條對角線長為，則該菱形的另一條對角線長為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形面積．、是兩條對角線的長度），進(jìn)而得出答案．【解答】解：一菱形的面積為，一條對角線長為，該菱形的另一條對角線長為：．故答案為：．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及整式的除法，正確掌握菱形面積求法是解題關(guān)鍵．13．（2023春?玄武區(qū)期中）如圖，將沿射線方向平移得到，當(dāng)滿足條件時（填一個條件），能夠判定四邊形為菱形．【分析】由題意可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定，可得滿足條件．【解答】解：滿足條件為將沿射線方向平移得到，四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形．故答案為【點評】本題考查了菱形的判定，平移的性質(zhì)，熟練運用平移的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．14．（2023春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，在中，，分別以、為圓心取的長為半徑作弧，兩弧交于點．連接、．若，則．【分析】首先根據(jù)作圖得出四邊形是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：連接，如圖．分別以、為圓心取的長為半徑作弧，兩弧交于點，，，，四邊形是菱形，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)作圖得出，進(jìn)而判定四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?沭陽縣期中）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，，直線交于點，則的長為4.8．【分析】由菱形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，然后由菱形面積公式得，即可解決問題．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，即，，故答案為：4.8．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?江都區(qū)期中）如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作于點，連接，若，，則菱形的面積為30．【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，則，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出的長度，然后由菱形的面積公式求解即可．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，是斜邊上的中線，，菱形的面積，故答案為：30．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出的長是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?灌云縣月考）如圖，已知，且，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，答案不唯一，使成為菱形．（只需添加一個即可）【分析】可以添加條件，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形可判定出結(jié)論．【解答】解：，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故答案為：．【點評】本題考查了菱形的判定和平行四邊形的判定，能熟記菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，答案不唯一．18．（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，兩條寬都為的紙條交叉成角重疊在一起，則重疊四邊形的面積為．【分析】過點作于，過點作于，先證四邊形是平行四邊形，再證平行四邊形是菱形，然后由銳角三角函數(shù)定義求出的長，即可解決問題．【解答】解：如圖，過點作于，過點作于，由題意可得，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是菱形，，，，，，即重疊四邊形的面積為，故答案為：．【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義等知識，求出的長是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在菱形中，，分別是，邊上的點，連接，，，且．求證：．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：四邊形是菱形，，，在與中，，，，．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?沭陽縣期末）如圖，在中，對角線所在直線上有兩點、，滿足，連接、、、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，則當(dāng)30時，四邊形是菱形．【分析】（1）連接，交于點，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，則四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)證出，，得出，由菱形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，交于點，四邊形是平行四邊形，，，又，，即，四邊形是平行四邊形；（2）解：當(dāng)時，四邊形是菱形．，，，，，是等邊三角形，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．故答案為：．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)題意先證明四邊形是平行四邊形，再由可得平行四邊形是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出的長以及，利用勾股定理求出的長，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出，即可解答．【解答】（1）證明：，，為的平分線，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，對角線，交于點，，，，，在中，，，，，在中，，為中點，．【點評】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22