湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題

武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023—2024學(xué)年度下學(xué)期期末聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷命審題單位：武漢六中數(shù)學(xué)學(xué)科組審題單位：圓創(chuàng)教育研究中心湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)本試卷共5頁，19題．滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．考試時(shí)間：2024年6月26日下午14：00—16：00★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】先求出，再結(jié)合虛部定義可解．【詳解】，則，則，虛部為．故選：D.2.已知向量與的夾角為，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可得.【詳解】.故選：A.3.已知一組數(shù)據(jù)8，4，7，6，5，3，9，10，則這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是（）A3.5 B.4 C.4.5 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)定義可解．【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序：3，4，5，6，7，8，9，10，共8個(gè)，則，則這組數(shù)據(jù)25%分位數(shù)是：．故選：C.4.在某次比賽中運(yùn)動(dòng)員五輪的成績(jī)互不相等，記為，平均數(shù)為，若隨機(jī)刪去其中一輪的成績(jī)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，下面說法正確的是（）A.新數(shù)據(jù)的極差不可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若，則新數(shù)據(jù)的方差一定小于原數(shù)據(jù)方差D.若，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的概念，以及百分位數(shù)的概念及計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)A：若隨機(jī)刪去任一輪的成績(jī)，恰好不是最高成績(jī)和最低成績(jī)，此時(shí)新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：不妨假設(shè)，當(dāng)時(shí)，若隨機(jī)刪去的成績(jī)是，此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B正確；對(duì)C：若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計(jì)算公式，分子不變，分母變小，所以方差會(huì)變大，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，在按從小到大的順序排列的5個(gè)數(shù)據(jù)中，因?yàn)?，此時(shí)原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二數(shù)和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)；刪去一個(gè)數(shù)據(jù)后的4個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大的順序排列，可得，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)，顯然新數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．某校高一年級(jí)計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為20cm，高為20cm．首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為1cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同學(xué)制作四片瓦，全年級(jí)共1000人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圓柱體積公式求出四片瓦的體積，再求需準(zhǔn)備的粘土量.【詳解】由條件可得四片瓦的體積（）則1000名學(xué)生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為（），又，所以共需粘土的體積為約為.故選：A6.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．7.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，現(xiàn)將沿AC折起，并連接BD，使得平面平面ABC，若所得三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理可以證得為直角，又為直角，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得到外接球的球心為斜邊的中點(diǎn)，然后根據(jù)球的面積公式求得球的半徑，進(jìn)而計(jì)算求得三棱錐的體積.【詳解】∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，即為直角，又∵為直角，∴取的中點(diǎn)，連接，由直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，可得為三棱錐外接球的球心，由三棱錐外接球的表面積為，可得外接球的半徑，∴，∵平面，為直角，∴三棱錐的體積為.故選：D8.已知棱長(zhǎng)為4的正方體，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長(zhǎng)度范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先過點(diǎn)作出與平面平行平面，然后得出點(diǎn)的軌跡，最后計(jì)算的長(zhǎng)度取值范圍即可.【詳解】如圖，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接、，由是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，易得，則平面，取、中點(diǎn)、，取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接、、、，由正方體的性質(zhì)易得，，則，又平面，平面，所以平面，同理，平面，又，平面，故平面平面，又平面，平面，故，即點(diǎn)的軌跡為線段，設(shè)點(diǎn)到的距離為，有，故，又，故的長(zhǎng)度范圍為.故選：C..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是過作出與平面平行的平面，從而求得的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此得解.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.供電部門對(duì)某社區(qū)100位居民6月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關(guān)這100位居民，下列說法正確的是（）A.6月份人均用電量人數(shù)最多的一組有40人B.6月份人均用電量在內(nèi)的有30人C.6月份人均用電量不低于20度的有50人D.在這100位居民中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費(fèi)，抽到的居民用電量在一組的人數(shù)為3【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由頻率分布直方圖，對(duì)選項(xiàng)逐一計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】A：根據(jù)頻率分布直方圖知，6月份人均用電量人數(shù)最多的一組是，有（人），故A正確；B：6月份人均用電量在內(nèi)的人數(shù)為，故B錯(cuò)誤；C：6月份人均用電量不低于20度的頻率是，有（人），故C正確；D：用電量在內(nèi)的有（人），所以在這位居民中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費(fèi)，抽到的居民用電量在一組的人數(shù)為，故D正確．故選：ACD10.將一個(gè)直徑為8cm的鐵球磨制成一個(gè)零件，能夠磨制成的零件可以是（）A.底面直徑為8cm，高為6cm的圓柱體 B.底面直徑為6cm，高為4cm的圓錐體C.底面邊長(zhǎng)為4cm，高為6cm的正四棱柱 D.棱長(zhǎng)為6cm的正四面體【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)球的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，計(jì)算球心到選項(xiàng)中各幾何體底面的距離，結(jié)合各幾何體特征即可逐一求解.【詳解】對(duì)A：若圓柱的底面直徑為8，此時(shí)球心到圓柱底面的距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若圓錐的底面直徑為6，則半徑為3，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為，故圓錐的高最大時(shí)為，故B正確；對(duì)C：若正四棱柱底面邊長(zhǎng)為4，則底面外接圓半徑為，此時(shí)球心到正四棱柱底面的距離為，故正四棱柱的高最大時(shí)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：法一：若正四面體的棱長(zhǎng)為6，則底面外接圓半徑為，此時(shí)球心到正四面體底面的距離為，棱長(zhǎng)為6cm的正四面體的高為，由，故D正確法二：若將各棱長(zhǎng)均為的四面體放入到棱長(zhǎng)為的正方體中，此時(shí)正方體的外接球直徑為，故D符合，故D正確.故選：BD.11.已知圓錐SO的底面半徑為10cm，其母線SA長(zhǎng)40cm，底面圓周上有一動(dòng)點(diǎn)B，下列說法正確的有（）A.截面SAB的最大面積為B.若，則直線SB與平面SOA夾角的正弦值為C.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為D.若，且，一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周到達(dá)C點(diǎn)，先上坡后下坡，當(dāng)它爬行的路程最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為18cm【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，關(guān)鍵在于考慮∠ASB正弦的大??；對(duì)B，只需作出線面角即可；對(duì)C，當(dāng)三棱錐OSAB體積最大值，三棱錐可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體；對(duì)D，可以將圓錐側(cè)展開考慮.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋浴螦SB為銳角，所以，A正確；對(duì)B，如圖，取OA中點(diǎn)H，則BH⊥OA，又BH⊥SO，所以BH⊥面SOA，所以∠BSH為直線SB與平面SOA所成的角，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)C，易知當(dāng)三棱錐OSAB體積最大時(shí)，OB⊥面SOA，此時(shí)三棱錐可以補(bǔ)成以O(shè)A，OB，OS為三相鄰邊的長(zhǎng)方體，所以外接球直徑，外接球表面積為，C正確；對(duì)D，將三棱錐側(cè)面展開如下，扇形弧長(zhǎng)為，所以；過S作SD⊥于D，則所求路徑即為CD的長(zhǎng)：由，SC=30cm，所以=50cm，且，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)過三棱錐頂點(diǎn)作三棱錐截面，由于母線長(zhǎng)是確定的，所以截面面積取決于頂角的大小；(2)幾何法求線面角大小，關(guān)鍵作出斜線在平面上的投影；(3)“墻角式”三棱錐外接球?yàn)檠a(bǔ)成長(zhǎng)方體體對(duì)角線中點(diǎn)；(4)立體幾何路徑最短問題，往往需要展成一個(gè)平面后解決.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在中，，，，若D為BC邊的中點(diǎn)，則______．【答案】##【解析】【分析】借助向量的線性運(yùn)算與模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由D為BC邊的中點(diǎn)，則，則.

故答案為：13.某水平放置的平面圖形ABCD的斜二測(cè)直觀圖是梯形（如圖所示），已知，，，將該平面圖形繞其直角腰AB邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合斜二測(cè)法可得圓臺(tái)上、下底面半徑及母線長(zhǎng)度，結(jié)合圓臺(tái)性質(zhì)與圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可得該圓臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】由題可得，，，，則所得圓臺(tái)上底面為以為半徑的圓，下底面為以為半徑的圓，高為，其母線為，故其側(cè)面積.故答案為：.14.如圖所示，某甜品店將上半部是半球（半球的半徑為2），下半部是倒立的圓錐（圓錐的高為4）的冰淇淋模型放到櫥窗內(nèi)展覽，托盤是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC金屬片沿三邊中點(diǎn)D，E，F(xiàn)的連線向上折疊成直二面角而成，則半球面上的最高點(diǎn)到平面DEF的距離為______．【答案】【解析】【分析】畫出底面展開圖，由幾何關(guān)系得到圖中邊長(zhǎng)關(guān)系，由正弦定理可得，再由三角形相似得到，最后求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)上面球心為，的圓心為，三點(diǎn)在底面投影的正三角形的中心為，圓錐的頂點(diǎn)為，邊中點(diǎn)為，連接，則，，由幾何關(guān)系可得三點(diǎn)共線，由題意可得，，在幾何體中，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，即，由可得，所以，所以半球面上的最高點(diǎn)到平面DEF的距離為，故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理及誘導(dǎo)公式，即可求得，得角即可；（2）由正弦定理，將邊全部化為角，利用三角函數(shù)來求值域即可．【小問1詳解】根據(jù)題意得，，由正弦定理得，，即，即，因?yàn)?，則則，則，，則．【小問2詳解】由正弦定理得，，所以．所以，，因?yàn)殇J角，則，即，解得．則，故．所以，則的取值范圍．16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAD；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)特征，平面PAD內(nèi)找一條與平行的直線，運(yùn)用中位線性質(zhì)和平行線傳遞性，證明線線平行，最終得到線面平行即可；（2）運(yùn)用中點(diǎn)特征，作輔助線找出二面角的平面角后，轉(zhuǎn)化用余弦定理來解三角形即可．【小問1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接．由于點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，則，且，且，故四邊形為平行四邊形，則.又，，則平面PAD．小問2詳解】如圖，由于平面平面，為兩平面交線，且，平面，則平面，平面，則，；取中點(diǎn)O，連接DO，OP，則，，且，則四邊形DOBC為正方形，則，由（1）知道，平面，故平面．又，則，則兩兩垂直．可以求得，，，則和都為等腰三角形.取DB中點(diǎn)R，連接CR，RP，則則∠CRP即為二面角P?BD?C的平面角.，，前面已經(jīng)求得，．在中，用余弦定理得，由圖可知，二面角為鈍角，則余弦值為．17.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營銷形式．某直播平臺(tái)1200個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖所示．（1）該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時(shí)，工作人員對(duì)（1）中抽取的60個(gè)商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題：①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；②若將平均日利潤超過430元的商家評(píng)為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）小吃類家，生鮮類家（2）①中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；②【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；（2）①根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；②根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.【小問1詳解】，，所以應(yīng)抽取小吃類家，生鮮類家；【小問2詳解】①根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，解得，平均?shù)為：，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.②,所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為.18.如圖所示，在三棱錐中，，．（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)O到平面ABC的距離為．試問直線OB與平面ABC所成夾角是否為定值，若是則求出該夾角的余弦值；若不是請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，取OB中點(diǎn)為P，并取一點(diǎn)Q使得．當(dāng)直線PQ與平面ABC所成角的正切值最大時(shí)，試求異面直線OQ與PC所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）過作平面于點(diǎn)，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可證明；（2）找到線面角即為，再利用勾股定理和余弦性質(zhì)即可；（3）首先利用線面角定義證明和重合時(shí)，直線PQ與平面ABC所成角的正切值最大，再證明該四面體為正