四川省仁壽第一中學(xué)北校區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)

高2023級第二學(xué)期半期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘總分：150分一、單選題（每題5分，共40分。每小題只有一個正確選項，選對5分，選錯0分）1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．已知，則的值是（

）A． B． C． D．3．已知非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，的面積為，則（

）A． B． C．2 D．45．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，，則原平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．6．以邊長為2的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．7．已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長的比值為，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的高為（

）A．1 B． C． D．8．在平行四邊形中，為的中點，，與交于點，過點的直線分別與射線，交于點，，，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（每題6分，共18分。全部選對得6分，少選得部分分，選錯得0分）9．已知直線，，平面，，則下列說法錯誤的是（）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，，，則10．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，則（

）A．的外接圓半徑為 B．C． D．為銳角三角形11．如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則下列說法中正確的是（

）A．存在點，使四點共面B．存在點，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點的球的表面積為三、填空題（每小題5分，共15分。請將答案填在答題卡的相應(yīng)位置）12．已知向量，若，則.13．正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為.

已知函數(shù)在上有且僅有三個零點，則的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答寫出文字說明、證明過程或者演算步驟）15．（13分）如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側(cè)棱的中點.

(1)求證：平面；(2)設(shè)平面平面，求證：.16．（15分）已知向量滿足，．(1)求；(2)求；(3)若向量與向量的方向相反，求實數(shù)的值．17．（15分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長的最大值.18．（17分）函數(shù)在內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值，且當時，；當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）是否存在實數(shù)，滿足不等式？若存在，求出的范圍（或值）；若不存在，請說明理由.19．（17分）如圖，在直三棱柱中，，D是BC邊的中點，．(1)求直三棱柱的體積；(2)求證：面；(3)一只小蟲從點沿直三棱柱表面爬到點D，求小蟲爬行的最短距離．5月半期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)答案1．B【詳解】由復(fù)數(shù)的運算可得.2．C【詳解】因為，所以，即．3．B【詳解】在方向上的投影向量為.4．D【詳解】由，則，因為sinB>0，,故,又，所以，由的面積為，得，解得.5．A【詳解】如圖，在直觀圖中過點，作交于點，因為，所以，，即將直觀圖還原為平面圖如下：則，，，所以.C【詳解】如圖，正三角形繞所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個同底的全等圓錐，底面半徑,母線長,由圓錐的側(cè)面積公式可得該幾何體的側(cè)面積為.7．B【詳解】如圖，為等邊三角形，設(shè)為中點，面，，則，所以，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，由正棱柱性質(zhì)可知球心為在直線上，則，即，所以.由，解得.所以三棱錐的高為.8．C【詳解】由，，共線，可設(shè)，由,,三點共線，故可設(shè)，則有，解得：，故，由題意，，，三點共線，故可設(shè)，則，整理得，故，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為；9．ABC【詳解】選項A中，若，，則可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯誤；選項B中，若，，，，則與也可能相交，故B錯誤；選項C中，若，，，則與也可能相交，故C錯誤；選項D中，若，，，，，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確．10．BC【詳解】對于A，因為，所以．因為，所以，所以的外接圓半徑為，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，即．因為，所以，故C正確；對于D，由選項C，，因為，即，所以角是鈍角，所以為鈍角三角形，故D不正確．11．ABC【詳解】A：如圖，在正方體中，連接．因為N，P分別是的中點，所以．又因為，所以．所以四點共面，即當Q與點重合時，四點共面，故A正確；B：連接，當Q是的中點時，因為，所以．因為平面平面，所以平面，故B正確；C：連接，因為，則，故C正確；D：分別取的中點E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體，則經(jīng)過C，M，B，N四點的球即為長方體的外接球．設(shè)所求外接球的直徑為，則長方體的體對角線即為所求的球的直徑，即，所以經(jīng)過C，M，B，N四點的球的表面積為，故D錯誤．12．【詳解】由向量，因為，可得，解得.13．【詳解】正八面體的表面是8個全等的正三角形組成，其中正邊長為2，則正八面體的表面積，而正八面體可視為兩個共底面的，側(cè)棱長與底面邊長相等的正四棱錐與拼接而成，正四棱錐的高，則正八面體的體積，于是得，所以正八面體的體積與表面積之比為.14.【詳解】因為，故可得，由，故可得，令，可得，則或或或，，因為在上有且僅有三個解，，解得．證明：（1）設(shè)，連接，因為是平行四邊形，故，又為側(cè)棱的中點，故.又平面，平面，故平面.因為，平面，平面所以平面.又因為平面平面，平面所以16．(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，，所以，則，所以，所以，所以；（2）因為，所以；（3）因為，，所以，，因為與共線，則，解得或，當時，，，則，此時與方向相同，不符題意；當時，，，則，此時與方向相反，符合題意；綜上可得．17．(1)是直角三角形(2)【詳解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周長為，因為，可得，所以，當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.18．（1）；（2）.（3）存在，【詳解】（1）由題意，可得，，所以，所以，所以.由點在函數(shù)圖象上，得，因為，所以，所以.（2）當時，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由題意，實數(shù)滿足，解得.因為，所以，同理，由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，只需，即成立即可，所以存在，使成立.19．(1)144；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）在直三棱柱中，由，得，由，得，，所以直三棱柱的體積.（2）連接，連接，由矩形，得是的中點，而D是BC邊的中點，則，又平面，平面，所以平面.（3）當小蟲從點沿爬到點D，把矩形與置于同一平面內(nèi)，如圖，連接，過作于，交于點，由，得，，，，則，因此；當小蟲從點沿正方形爬到點D