福建省南平高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年福建省南平高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=m+1+(m?1)i(m∈Z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m的值為(

)A.?1 B.0 C.1 D.±12.如圖，是一個(gè)無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC等于(

)

A.45° B.60° C.90°3.若|a+b|=|aA.6 B.?6 C.3 D.?34.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知

，則此三角形(

)A.無解 B.一解 C.兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定5.在菱形ABCD中，若|AB?AD|=|AB|且AD在AB上的投影向量為A.?12 B.12 C.?6.平面α與平面β平行的充分條件可以是(

)A.α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行

B.直線a//α，a//β，且a?α，a?β

C.α內(nèi)的任何一條直線都與β平行

D.直線a?α，直線b?β，且a//β，b//α7.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC+3aA.π6 B.π4 C.π38.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若5cosB?8cosC8c?5b=cosAa，又△ABCA.64 B.84 C.?69 D.?89二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列等式中一定成立的是(

)A.acosB=bcosA

B.acosB+b10.已知點(diǎn)M是△ABC的重心，點(diǎn)A(1,2)，B(2,3)，C(?2,5)，點(diǎn)D是BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則(

)A.M(13,103) B.D(11.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體.已知AB=1，則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有(

)

A.該半正多面體的體積為523

B.該半正多面體過A，B，C三點(diǎn)的截面面積為332

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖是梯形ABCD按照斜二測(cè)畫出的直觀圖A′B′C′D′，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，則原梯形ABCD的面積為______.

13.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為r的半圓，且該圓錐的體積為3π，則r=______.14.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=23，AC=3CF，△AA1B與△A1B四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z=(m2+m?6)+(m2?3m+2)i(m∈R).

(1)當(dāng)m取何值時(shí)，z為純虛數(shù)？

(2)16.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，BE=13BC.

(1)若AC=2BC=2，∠ACB=60°，求|CD|；

17.(本小題15分)

如圖，為了測(cè)量出到河對(duì)岸鐵塔的距離與鐵搭的高，選與塔底B同在水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.在C點(diǎn)測(cè)得塔底B在北偏東45°方向，然后向正東方向前進(jìn)20米到達(dá)D，測(cè)得此時(shí)塔底B在北偏東15°方向.

(1)求點(diǎn)D到塔底B的距離BD；

(2)若在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為30°18.(本小題17分)

如圖，已知四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E為側(cè)棱SC的中點(diǎn).

(1)求證：SA//平面EDB；

(2)求三棱錐E?ABD的體積.

(3)若F為側(cè)棱AB的中點(diǎn)，求證：EF//平面SAD.19.(本小題17分)

在①3a?bsinC=3ccosB，②cos2B2=2a?b+2c4c，③sin2A?cos2B+cos2C=sinAsinB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知_____.

(1)求角C；答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由題意，m+1>0，m?1<0，解得?1<m<1，

又m∈Z，則m的值為0.

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式，解出m.

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是根據(jù)展開圖還原為正方體后，確定A、B、C的具體位置，考查了空間想象能力．

根據(jù)展開圖還原為正方體后，確定A、B、C構(gòu)成以面對(duì)角線為邊的正三角形，即求出所求角的度數(shù)．【解答】解：將展開圖還原為正方體后，A、B、C是三個(gè)面上的相對(duì)頂點(diǎn)，

即構(gòu)成以面對(duì)角線為邊的正三角形，

故∠ABC=60°，

3.【答案】B

【解析】解：∵|a+b|=|a?b|，

∴a2+2a?b+b2=a2?24.【答案】C

【解析】解：由正弦定理，得，解得sinB=32.

因?yàn)閍<b，所以A<B.

又因?yàn)锽∈(0,π)，所以或，

故此三角形有兩解，

故選：C.

利用正弦定理結(jié)合已知條件分析判斷即可．

5.【答案】B

【解析】解：在菱形ABCD中，由|AB?AD|=|AB|可得：|DB|=|AB|，

則△ABD為等邊三角形，

過點(diǎn)D作AB的垂線，與AB交于點(diǎn)E，則E為AB中點(diǎn)，

由投影向量的定義可知，AE即為AD在AB上的投影向量，

故AE=λAB=126.【答案】C

【解析】解：C選項(xiàng)是面面平行的定義，A，B，D中，平面α與平面β相交時(shí)都有可能滿足．

故選：C.

可看出平面α與平面β相交時(shí)都有可能滿足A，B，D，從而只能選C.

本題考查了充分條件的定義，面面平行的定義，考查了直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍cosC+3asinC=b，

所以sinAcosC+3sinAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos8.【答案】C

【解析】解：由5cosB?8cosC8c?5b=cosAa，得5cosB?8cosC8sinC?5sinB=cosAsinA，

則5sin(A+B)=8sin(A+C)，

即5sinC=8sinB，即5c=8b，

又S△ABC=12bcsinA=103，即9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A，由于asinA=bsinB，得asinB=bsinA，

若acosB=bcosA，

則tanB=tanA，可得A=B，

但△ABC中不一定有A=B，因此錯(cuò)；

對(duì)于B，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，

所以c=acosB+bcosA，正確；

對(duì)于C，cosC=a2+10.【答案】AB

【解析】解：點(diǎn)M是△ABC的重心，點(diǎn)A(1,2)，B(2,3)，C(?2,5)，

對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則x=1+2+(?2)3=13y=2+3+53=103，所以M(13,103)，故A正確；

對(duì)于B，點(diǎn)D是BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則3BD=BC，

設(shè)D(a,b)，則3(a?2,b?3)=(?4,2)，即3(a?2)=?43(b?3)=2，

解得a=23,b=113，所以D(23,113)，故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)镸D=(1,13),AC=(?3,3)，則cos11.【答案】ABD

【解析】解：A：如圖，因?yàn)锳B=1，

所以該半正多面體是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，

所以該半正多面體的體積為：V=(2)3?8×13×12×(22)2×22=523，故A正確；

B：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，過A，B，C三點(diǎn)的截面為正六邊形ABCFED，

又AB=1，所以正六邊形面積為S=6×34×12=332，故B正確；

C12.【答案】6

【解析】解：如圖，還原梯形，BC=4，AB=2，AD=2，梯形為直角梯形，

所以原梯形ABCD的面積S=12×(2+4)×2=6.

故答案為：6.

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，還原幾何圖形，即可求原梯形的面積．13.【答案】2【解析】解：由題意知，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R，高為h，

則圓錐的母線長為r，且2πR=12×2πr，得R=r2，

所以?=r2?R2=32r，又圓錐的體積為3π，

所以V=13S?=13πR14.【答案】3

【解析】解：在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=23，AC=3CF，△AA1B與△A1B1B為正三角形，動(dòng)點(diǎn)Q為側(cè)面四邊形ABB1A1內(nèi)一點(diǎn)，

取BB1的中點(diǎn)E，連接AB1交A1E于點(diǎn)G，

連接FG，則△AGA1∽△B1GE，所以AGGB1=AA1EB1=2，

又由AC=3CF，得AFCF=2，所以AFFC=AGGB1，15.【答案】解：(1)∵z為純虛數(shù)，∴m2+m?6=0m2?3m+2≠0，∴m=?3.

(2)當(dāng)m=3時(shí)，z=6+2i，【解析】(1)由復(fù)數(shù)的概念列出關(guān)于m的關(guān)系式即可求得；

(2)由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出z?z116.【答案】解：(1)∵CD=12(CA+CB)，

∴|CD|2=14(|CA|2+2CA【解析】(1)利用結(jié)論可得CD=12(CA+17.【答案】解：(1)由題意可知，∠BCD=45°，∠BDC=105°，

故∠CBD=30°，

在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，即BDsin45°=20sin30°，

所以BD=20sin45°sin30°=20×2212=202(米)，

因此點(diǎn)D到塔底B的距離BD為【解析】(1)在△BCD中，利用正弦定理可求出BD的長；

(2)利用正弦定求得BC，再解直角三角形求得AB.

本題考查了正弦定理，余弦定理以及兩角和的正弦公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)證明：連接AC交BD于O，連接OE，

∵E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，

∴OE//SA，

∵SA?平面EDB，OE?平面EDB，

∴SA//平面EDB.

(2)∵E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)，

∴E到平面ABCD的距離等于S到平面ABCD的距離的一半，

∴E到平面ABCD的距離?=12SD=2.，

∴VB?ADE=VE?ABD=13S△ABD??.

=13×(12×2×2)?2=43.

(3)證明：設(shè)M為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，連結(jié)ME，EF，

∵E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)棱AB的中點(diǎn)，

∴ME//DC,ME=12DC，

∵AF//DC,AF=12DC【解析】(1)利用三角形中位線得出OE//SA，即可得證；

(2)根據(jù)E到平面ABCD的距離等于S到平面ABCD的距離的一半，即可求解；

(3)利用四邊形AFEM為平行四邊形，得出EF//AM，即可得證．

本題考查線面平行的判定與幾何體的體積問題，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)若選①：3a?bsinC=3ccosB，

由正弦定理得3sinA?sinBsinC=3sinCcosB，又sin(B+C)=sinA，

所以3sinBcosC=sinBsinC，又sinB>0，所以3cosC=sinC，即tanC=3，

又0<C<π，所以C=π3；

若選②：因?yàn)閏os2B2=2a?b+2c4c，所以1+cosB2=2a?b+2c4c=2a?b4c+12，

所以cosB=2a?b2c，所