遼寧省鞍山市鐵西區(qū)第四十六中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題(解析版+原卷)_第1頁
遼寧省鞍山市鐵西區(qū)第四十六中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題(解析版+原卷)_第2頁
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文檔簡介

九年數(shù)學(xué)階段測試卷(2023.10)一、選擇題(每小題3分,共30分)1.下列方程是一元二次方程的是()A.x2+=1 B.ax2+bx+c=0(a,b,c均為常數(shù))C.(2x﹣1)(3x+2)=5 D.(2x+1)2=4x2﹣32.若關(guān)于一元二次方程有一個根是0,則的值是()A.或3 B.9 C.3 D.3.已知實(shí)數(shù)是一元二次方程的根,求代數(shù)式的值為()A.1 B. C.2 D.4.定義運(yùn)算:,例如:.則方程的根的情況為()A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根 D.只有一個實(shí)數(shù)根5.對于一元二次方程(),下列說法:①若,則;②若方程有兩個不相等的實(shí)根,則方程必有兩個不相等的實(shí)根;③若方程的兩根互為相反數(shù),則,④若是方程的一個根,則一定有成立;其中正確的()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④6.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B.C. D.7.如圖,在中,,,點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)在運(yùn)動過程中始終保持.當(dāng)時,則的長為()A. B. C.3 D.8.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′,AB′交CD于點(diǎn)E,且DE=B′E,則AE的長為()A.3 B. C. D.9.如圖,在中,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn),若,,,則()A. B.3 C. D.410.如圖所示,邊長為的正方形..中,對角線,交于點(diǎn),在線段上,連接,作交于點(diǎn),連接交于點(diǎn),則下列結(jié)論:;;;若,則,正確的是()A. B. C. D.二、填空題(每小題3分,共24分)11.在一次足球邀請賽中,參賽的每兩個隊之間都要比賽一場,共比賽28場,設(shè)共有個隊參賽,根據(jù)題意,可列方程為______.12.多項式的最小值為___________.13.已知關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根,則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_____象限.14.已知m,n是方程的兩個根,則式子的值是______.15.如圖,某零件的外徑為10cm,用一個交叉卡鉗(兩條尺長和相等)可測量零件的內(nèi)孔直徑.如果,且量得,則零件的厚度x為_______.16.如圖,在中,,,,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿著邊向點(diǎn)以的速度移動,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿著邊點(diǎn)以的速度移動.若、兩點(diǎn)同時開始運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時停止,點(diǎn)也隨之停止.運(yùn)動過程中,若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,則運(yùn)動時間為__________s.17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處,點(diǎn)在軸上,再將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,依次進(jìn)行下去…,若點(diǎn)、,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.18.如圖,,D為射線上的動點(diǎn),連接,將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得線段,連接,當(dāng)時,的長為_____.三、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋啃☆}4分,共16分)19.解方程(1);(2);(3);(4).四、解答題(2024題每題8分,25題10分,共50分)20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝,2019年該類服裝的出廠價是200元/件,2020年,2021年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù),降低成本,2021年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件.(1)這兩年此類服裝的出廠價下降的百分比相同,求平均下降率.(2)2021年某商場從該服裝廠以出廠價購進(jìn)若干件此類服裝,以200元/件銷售時,平均每天可銷售20件.了減少庫存,商場決定降價銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低5元,每天可多售出10件,如果每天盈利1150元,單價應(yīng)降低多少元?21.如圖,已知△ABC是等邊三角形,在△ABC外有一點(diǎn)D,連接AD,BD,CD,將△ACD繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE,AD與BE交于點(diǎn)F,∠BFD=97°.(1)求∠ADC的大小;(2)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD長.22.已知關(guān)于的方程.(1)求證:取任何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根;(2)若等腰的一邊長為4,另兩邊長,恰好是這個方程的兩個根,求的周長.23.在中,,,動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒4個單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動,在的右側(cè)作,交的延長線于點(diǎn),設(shè)運(yùn)動時間為秒,當(dāng)為等腰三角形時,求的值.24.已知關(guān)于的一元二次方程,(1)試證:無論取任何實(shí)數(shù),方程都有兩個不相等實(shí)數(shù)根;(2)設(shè),是方程兩根,且滿足,求的值?25.在正方形中,為延長線上一點(diǎn),交于點(diǎn),連接.(1)如圖1,若,求證:;(2)如圖2,連接與交于點(diǎn).若,求證:;(3)如圖3,為正方形外一點(diǎn),,正方形的邊長為2,直接寫出當(dāng)為何值時,取最大值.

九年數(shù)學(xué)階段測試卷(2023.10)一、選擇題(每小題3分,共30分)1.下列方程是一元二次方程的是()A.x2+=1 B.ax2+bx+c=0(a,b,c均為常數(shù))C.(2x﹣1)(3x+2)=5 D.(2x+1)2=4x2﹣3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可.【詳解】解:A、分式方程,故本選項不符合題意;B、ax2+bx+c=0,a≠0時,是一元二次方程,故本選項不符合題意;C、是一元二次方程,故本選項符合題意;D、化簡后是一元一次方程,故本選項不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義,掌握只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵.2.若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0,則的值是()A.或3 B.9 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】把代入方程中,解關(guān)于的一元二次方程,注意的取值不能使原方程的二次項系數(shù)為.【詳解】解:把代入方程中,得,解得或,當(dāng)時,原方程二次項系數(shù)+,舍去,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程解的定義.能使方程成立的未知數(shù)的值,就是方程的解,同時,考查了一元二次方程的概念.3.已知實(shí)數(shù)是一元二次方程的根,求代數(shù)式的值為()A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)是一元二次方程的根,即得出,.整體代入可得,化簡即可.【詳解】將代入,得:,即,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解,代數(shù)式求值.掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值和利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵.4.定義運(yùn)算:,例如:.則方程的根的情況為()A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根 D.只有一個實(shí)數(shù)根【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目給定的定義運(yùn)算為,利用判別式的意義確定方程跟的情況即可.【詳解】解:根據(jù)定義運(yùn)算法則得化解得,∵,∴方程無實(shí)根.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用題目給定的運(yùn)算法則,實(shí)則考查了一元二次方程判別式,熟練掌握判別式與方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5.對于一元二次方程(),下列說法:①若,則;②若方程有兩個不相等的實(shí)根,則方程必有兩個不相等的實(shí)根;③若方程的兩根互為相反數(shù),則,④若是方程的一個根,則一定有成立;其中正確的()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及等式的性質(zhì)分別進(jìn)行討論即可求解.【詳解】解:當(dāng)時,,∴一元二次方程()有兩個不相等的實(shí)數(shù)根或兩個相等的實(shí)數(shù)根,∴,故①正確;若方程有兩個不相等的實(shí)根,則,∴,∴方程必有兩個不相等的實(shí)根,故②正確;若方程的兩根互為相反數(shù),則,∵,,∴,則,故③正確;若是方程的一個根,∴,當(dāng)時,成立,故④不一定成立;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及等式的性質(zhì),熟練掌握一元二次方程的解、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的平面圖形叫做軸對稱圖形;繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合,那么這個圖形是中心對稱圖形進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:A.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故不符合題意;B.既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,故符合題意;C.是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故不符合題意;D.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故不符合題意;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形,熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.7.如圖,在中,,,點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)在運(yùn)動過程中始終保持.當(dāng)時,則的長為()A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由題目條件先證明,再利用相似三角形對應(yīng)線段成比例求解的長,證明進(jìn)而即可求解.【詳解】解:又故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′,AB′交CD于點(diǎn)E,且DE=B′E,則AE的長為()A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB′=AB=5,設(shè)AE=CE=x,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.【詳解】∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′,∴AB′=AB=5,∵DE=B′E,∴AE=CE,設(shè)AE=CE=x,∴DE=5-x,∵∠D=90°,∴AD2+DE2=AE2,即42+(5-x)2=x2,解得:x=,∴AE=,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9.如圖,在中,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn),若,,,則()A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線判定,后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計算即可.【詳解】∵,∴,,∴,又∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì),熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10.如圖所示,邊長為的正方形..中,對角線,交于點(diǎn),在線段上,連接,作交于點(diǎn),連接交于點(diǎn),則下列結(jié)論:;;;若,則,正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由“”可證,可得,,由四邊形的內(nèi)角和定理可證,可得;通過證明,可得;通過證明,可得,通過證明,可得,可得結(jié)論;通過證明,可得,即可求解.【詳解】解:如圖,連接,四邊形是正方形,,,又,,,,,,,又,,,,故正確;,,,,又,,,,故正確;..,,,,,,,,,,,,故正確;,,,,,,又,,,,,故正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11.在一次足球邀請賽中,參賽每兩個隊之間都要比賽一場,共比賽28場,設(shè)共有個隊參賽,根據(jù)題意,可列方程為______.【答案】【解析】【分析】每一隊需要與其余的個隊比賽一場,且參賽的每兩個隊之間只比賽一場,因此有個隊參賽,比賽場數(shù)為場,據(jù)此列方程即可.【詳解】解:設(shè)共有個隊參賽,根據(jù)題意,可列方程.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程應(yīng)用,抓住比賽場數(shù)問題的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12.多項式的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】先利用分組分解法和配方法進(jìn)行因式分解,再根據(jù)平方的非負(fù)性即可求解.【詳解】解:,∵,,∴,∴當(dāng)時,原式最小值為;,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解和平方的非負(fù)性,熟練掌握完全平方公式和配方法是解題的關(guān)鍵.13.已知關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根,則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_____象限.【答案】四【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程無實(shí)數(shù)根得到,求出,即可得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限,不經(jīng)過第四象限.【詳解】解:∵關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根,∴,∴,∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限,∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限.故答案為:四【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的判別式,一次函數(shù)的圖象等知識.一元二次方程的根與判別式有如下關(guān)系:當(dāng)時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)時,方程沒有實(shí)數(shù)根.熟知一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.14.已知m,n是方程的兩個根,則式子的值是______.【答案】27【解析】【分析】利用一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系,采用整體代入求解.【詳解】解:∵m,n是方程的兩個根,∴,,m+n=3,∴m3-10m+n=m(3m+2)-10m+n=3-8m+n=3(3m+2)-8m+n=m+n+6=3+6=9,∴∴=9×3=27.故答案為:27.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系,利用整體思想代入求值是解題的關(guān)鍵.15.如圖,某零件的外徑為10cm,用一個交叉卡鉗(兩條尺長和相等)可測量零件的內(nèi)孔直徑.如果,且量得,則零件的厚度x為_______.【答案】cm【解析】【分析】求出和相似,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算求出,再根據(jù)外徑的長度解答.【詳解】解:∵,,∴,∴,∴,∴(cm),∵外徑為10cm,∴,∴(cm).故答案為cm.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).16.如圖,在中,,,,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿著邊向點(diǎn)以的速度移動,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿著邊點(diǎn)以的速度移動.若、兩點(diǎn)同時開始運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時停止,點(diǎn)也隨之停止.運(yùn)動過程中,若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,則運(yùn)動時間為__________s.【答案】或【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為,則,,,再分兩種情況求值,當(dāng)時,,可列方程;當(dāng)時,,可列方程,解方程分別求出相應(yīng)的值即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為,則,,,當(dāng)時,,,,;,當(dāng)時,,,,;綜上所述,運(yùn)動時間為或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,動點(diǎn)問題的求解,數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法,正確地用代數(shù)式表示出相似三角形的對應(yīng)邊的長度是解本題的關(guān)鍵.17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處,點(diǎn)在軸上,再將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,依次進(jìn)行下去…,若點(diǎn)、,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】可求,,,,可得當(dāng)為偶數(shù)時,,當(dāng)為奇數(shù)時,,即可求解.【詳解】解:由題意得,,,,,,,,,,,當(dāng)為偶數(shù)時,,當(dāng)為奇數(shù)時,當(dāng)時,,,故答案∶【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律,找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵你.18.如圖,,D為射線上的動點(diǎn),連接,將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得線段,連接,當(dāng)時,的長為_____.【答案】【解析】【分析】將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),得到,從而得到,,得到為等腰直角三角形,進(jìn)而推出,過點(diǎn)作,求出的長,進(jìn)而求出的長.【詳解】解:∵將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得線段,∴,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),得到,過點(diǎn)作于點(diǎn),則:,∴,∴,∴在中,,∴,在中,,即:,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),含30度的直角三角形,勾股定理.通過旋轉(zhuǎn),構(gòu)造特殊三角形,是解題的關(guān)鍵.三、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋啃☆}4分,共16分)19.解方程(1);(2);(3);(4).【答案】(1)(2),(3),(4),【解析】【分析】(1)根據(jù)公式法解一元二次方程,即可求解;(2)根據(jù)因式分解法解一元二次方程,即可求解.(3)先化為一般形式,然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程;(4)根據(jù)因式分解法解一元二次方程,即可求解.【小問1詳解】解:即∴,,∴,解得:;【小問2詳解】解:,即,∴,∴或,解得:,;【小問3詳解】解:,即,∴,∴,即或,解得:,;【小問4詳解】解:,∴,∴或,解得:,.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.四、解答題(2024題每題8分,25題10分,共50分)20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝,2019年該類服裝的出廠價是200元/件,2020年,2021年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù),降低成本,2021年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件.(1)這兩年此類服裝的出廠價下降的百分比相同,求平均下降率.(2)2021年某商場從該服裝廠以出廠價購進(jìn)若干件此類服裝,以200元/件銷售時,平均每天可銷售20件.為了減少庫存,商場決定降價銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低5元,每天可多售出10件,如果每天盈利1150元,單價應(yīng)降低多少元?【答案】(1)平均下降率為10%;(2)單價應(yīng)降低15元.【解析】【分析】(1)設(shè)平均下降率為x,然后根據(jù)題意可直接列方程求解;(2)設(shè)單價應(yīng)降低y元,根據(jù)題意可得每天的銷售量為(20+2y)件,然后根據(jù)題意可列方程求解.【詳解】解:(1)設(shè)平均下降率為x,由題意可得:200(1?x)2=162,解得:x1=0.1,x2=1.9(不符合題意,舍去),∴x=0.1=10%,答:平均下降率為10%.(2)設(shè)單價應(yīng)降低y元,根據(jù)題意可得:(200?162?y)(20+y)=1150,解得:y1=13,y2=15,

根據(jù)題意,為了減少庫存,所以應(yīng)該降低15元,答:單價應(yīng)降低15元.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,熟練掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.21.如圖,已知△ABC是等邊三角形,在△ABC外有一點(diǎn)D,連接AD,BD,CD,將△ACD繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE,AD與BE交于點(diǎn)F,∠BFD=97°.(1)求∠ADC的大?。唬?)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD的長.【答案】(1)23°;(2).【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AC,∠ADC=∠E,∠CAB=∠DAE=60°,由三角形的內(nèi)角和定理可求解;(2)連接DE,可證△AED是等邊三角形,可得∠ADE=60°,AD=DE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACD≌△ABE,可得CD=BE=4,由勾股定理可求解.【詳解】解:(1)∵將△ACD繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE,∴AB=AC,∠ADC=∠E,∠CAB=∠DAE=60°,∵∠BFD=97°=∠AFE,∴∠E=180°?97°?60°=23°,∴∠ADC=∠E=23°;(2)如圖,連接DE,∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△AED是等邊三角形,∴∠ADE=60°,AD=DE,∵將△ACD繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE,∴△ACD≌△ABE,∴CD=BE=4,∵∠BDC=7°,∠ADC=23°,∠ADE=60°,∴∠BDE=90°,∴DE===,∴AD=DE=.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理等知識,添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵.22.已知關(guān)于的方程.(1)求證:取任何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根;(2)若等腰的一邊長為4,另兩邊長,恰好是這個方程的兩個根,求的周長.【答案】(1)見解析(2)的周長為10【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義證明即可;(2)當(dāng)邊長為4的邊為腰時,則可知方程有一個根為4,代入可求得k的值,則可求得方程的另一根,進(jìn)而求得周長;當(dāng)邊長為4的邊為底時,可知方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,可求得k的值,再解方程,確定出三邊長,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得此情況舍去.【小問1詳解】證明:∵,∴無論取何值,方程總有實(shí)數(shù)根;【小問2詳解】解:當(dāng)邊長為4的邊為腰時,則可知方程有一個實(shí)數(shù)根為4,∴,解得,∴方程為,解得或,∴、的值分別為2、4,∴的周長為;當(dāng)邊長為4的邊為底時,則,即方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,∴,即,解得,∴方程為,解得,此時,不符合三角形的三邊關(guān)系,舍去;綜上,的周長為10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的意義,解一元二次方程,掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.23.在中,,,動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒4個單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動,在的右側(cè)作,交的延長線于點(diǎn),設(shè)運(yùn)動時間為秒,當(dāng)為等腰三角形時,求的值.【答案】值為或或【解析】【分析】作于,證明得出,即可求證,則,然后進(jìn)行分類討論:①當(dāng)時,②當(dāng)時,③當(dāng)時.【詳解】解:作于,∵,∴,∵,∴,,∴,∴∴,∴,∴,①若,則,,∴,∴,解得;②若,則,∴,∴,∴,解得;③若,作于,于,取中點(diǎn),作交于,連接,則,∵,,∴,,由可得,,,,,∴

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