數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章排列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2.1排列學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.能分析排列的意義，能記住排列數(shù)計(jì)算公式,并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題．2．掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法。重點(diǎn):排列的簡單應(yīng)用與有限制條件的排列．難點(diǎn)：排列與排列數(shù)的綜合應(yīng)用。1．排列的概念及排列數(shù)的定義排列排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的____________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號__表示。預(yù)習(xí)交流1(1)如何理解排列及排列數(shù)的定義?（2)A，B，C三名同學(xué)站成一排照相留念，寫出所有站隊(duì)方法．2．排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n）＝__________________＝______,特別地，當(dāng)n＝m時，Aeq\o\al（n，n)＝n!＝n（n－1)(n－2)…1,規(guī)定0!＝1(n，m∈N＊，且m≤n）．預(yù)習(xí)交流2（1）13×12×11×10×9×8等于(）．A．Aeq\o\al（5,13) B．Aeq\o\al（6，13） C．Aeq\o\al（7，13） D．Aeq\o\al（8,13)（2)eq\f（2n！,A\o\al(n,n))的值為（)．A．2n！ B．Aeq\o\al（n,2n） C。eq\f(2n！，n) D．2答案：1．排成一列所有不同排列Aeq\o\al(m,n)預(yù)習(xí)交流1：(1）提示：排列的定義包括兩個方面：①取出元素；②按一定順序排列．兩個排列相同的條件:①元素相同；②元素的順序也相同．排列是按一定順序排列的一列元素,而排列數(shù)是一個數(shù)，并不表示具體的排列．（2）提示:ABC，ACB，BAC，BCA,CAB，CBA.2．n(n－1)（n－2)…（n－m＋1）eq\f(n！,n－m?。╊A(yù)習(xí)交流2：(1）提示:B（2）提示：eq\f（2n！,A\o\al(n，n)）＝eq\f（2n！，n！)＝eq\f（2n！,2n－n!）＝Aeq\o\al（n,2n),故選B.在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、排列數(shù)公式的應(yīng)用1．計(jì)算:（1)2Aeq\o\al（3，4）＋Aeq\o\al（2，5)；（2）eq\f（A\o\al（8,8),A\o\al(5,8))。思路分析：按公式將排列數(shù)寫成連乘形式計(jì)算．2．化簡Aeq\o\al(m，n）＋mAeq\o\al（m－1,n)＝（）．A．Aeq\o\al（m＋1，n） B．Aeq\o\al(m，n) C．Aeq\o\al（m＋1,n＋1） D．Aeq\o\al（m，n＋1)1．若3Aeq\o\al（x,8)＝4Aeq\o\al(5，9),則x＝(）．A．4 B．5 C．6 D．2．化簡eq\f(A\o\al（m－1,n－1)·A\o\al（n－m，n－m）,A\o\al(n－1,n－1))＝__________.應(yīng)用排列數(shù)公式時應(yīng)注意以下幾個方面：(1）準(zhǔn)確展開：應(yīng)用排列數(shù)公式展開時要注意展開式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確．（2）合理約分：若運(yùn)算式是分式形式，則要先約分后計(jì)算．(3)合理組合：運(yùn)算時要結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn),應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律，進(jìn)行數(shù)據(jù)的組合,可以提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性．二、排列的概念與簡單的排列問題1．判斷下列問題是否為排列問題:(1）從1,2,3,4，5中任取兩個數(shù)相加，其結(jié)果有多少種不同的可能？(2）從1，2,3，4，5中任取兩個數(shù)相減，其結(jié)果有多少種不同的可能?（3)有12個車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通票？（4)從10個人中選2人分別去植樹和種菜，有多少種不同選法？(5)從10個人中選2人去參加座談會，有多少種不同選法？思路分析：判斷所給問題是否是排列問題，關(guān)鍵是看與順序有無關(guān)系．2．（1)若從6名志愿者中選出4名分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作,則選派方案有（）．A．180種B．360種C．15種D．30種思路分析：直接運(yùn)用排列的概念求值．（2)某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號,每次可以任掛1面、2面或3面(旗的顏色無重復(fù)）,并且不同的順序表示不同的信號，則一共可以表示__________種不同的信號．思路分析：如果把3面旗看做3個元素，那么“表示信號”這件事則是從3個元素中每次取出1個、2個或3個元素的排列問題．判斷下列問題是否是排列問題，若是排列問題，求出對應(yīng)的排列數(shù)．（1)從1,2,3,4，5中任取兩個數(shù)組成兩位數(shù)，有多少個這樣的兩位數(shù)？(2)若一個班級有40名同學(xué)，從中選5人組成學(xué)習(xí)小組,有多少種選法？（3)8種不同的菜種，任選4種種在不同的土地上，有多少種不同的種法？解決排列問題的步驟:（1）分清問題是否與元素的順序有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問題．（2）注意排列對元素或位置有無特殊要求．(3)借助排列數(shù)公式計(jì)算．三、排隊(duì)問題有4個男生和3個女生排成一排．（1）男生甲必須站在中間有多少種排法？（2)男生甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同排法？（3）甲不站排頭，乙不站排尾有多少種不同排法?（4)三個女生要排在一起有多少種不同排法？(5)三個女生兩兩不能相鄰有多少種不同排法？（6)三個女生順序一定，共有多少種不同排法？思路分析：本題都涉及限制條件，要優(yōu)先考慮有條件限制的元素或位置．相鄰問題(如(4）)可用捆綁法，不相鄰問題(如(5))可用插空法．1．(2012山東濟(jì)南2月定時練習(xí),理6)三位老師和三位學(xué)生站成一排，要求任何學(xué)生都不相鄰，則不同的排法總數(shù)為(）．A．720 B．144 C．36 D．2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有()．A．20種 B．30種 C．40種 D．60種(1）排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為:某些元素不能在某個位置，某個位置只能放某些元素等．要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素．當(dāng)用直接法比較麻煩時，可以先不考慮限制條件,把所有的排列數(shù)算出,再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”,但必須注意要不重復(fù)，不遺漏．(2)對于某些特殊問題，可采取相對固定的特殊方法,如相鄰問題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列;不相鄰問題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中．（3）對于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．四、數(shù)字的排列問題用0，1，2,3,4,5這六個數(shù)字：(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?（2）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(3)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)？思路分析：該例中的每個小題都是有限制條件的排列問題．除了應(yīng)注意題目中要求的明顯條件外，還應(yīng)注意隱含條件“0不能排在首位”．我們采取先特殊后一般的原則,將問題分解為幾個易求解的簡單問題．1．(2012廣東執(zhí)信中學(xué)期末，5）若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大,則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1,2，3,4,5,6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中“傘數(shù)”有()．A．120個 B．80個 C．40個 D．20個2．由1,2,3，4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1，3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是()．A．72 B．96 C．108 D．不同數(shù)字的無重復(fù)排列是排列問題中的一類典型問題．其常見的附加條件有:奇偶數(shù)、倍數(shù)、大小關(guān)系等，也可以有相鄰、插空問題，也可以與數(shù)列等知識相聯(lián)系等．解決這類問題的關(guān)鍵是搞清事件是什么,元素是什么,位置是什么，給出了什么樣的附加條件；然后按特殊元素（位置)的性質(zhì)分類(每一類的各種方法都能保證事件的完成)，按事件發(fā)生的連續(xù)過程合理分步來解決．這類問題的隱含條件“0不能在首位”尤其不能疏忽．答案：活動與探究1：1。解：(1）2Aeq\o\al（3,4）＋Aeq\o\al(2，5)＝2×4×3×2＋5×4＝48＋20＝68.（2)eq\f（A\o\al(8,8),A\o\al（5,8)）＝eq\f（8×7×6×5×4×3×2×1,8×7×6×5×4）＝6。2．D解析：Aeq\o\al（m，n)＋mAeq\o\al(m－1，n）＝eq\f（n!,n－m!)＋eq\f（m×n！,n－m＋1！）＝eq\f（n－m＋1×n!＋m×n!，n－m＋1?。絜q\f（n－m＋1＋mn！，n－m＋1!）＝eq\f(n＋1!,n－m＋1！)＝Aeq\o\al（m，n＋1）.遷移與應(yīng)用：1.C解析:由3Aeq\o\al（x,8)＝4Aeq\o\al(5，9)，得eq\f（3×8！，8－x!)＝eq\f（4×9！,4！）,∴(8－x)?。?！.∴x＝6.故選C。2．1解析:eq\f（A\o\al(m－1,n－1)·A\o\al（n－m，n－m)，A\o\al（n－1,n－1））＝eq\f(n－1!,［n－1－m－1］?。粒╪－m)!×eq\f（1,n－1?。絜q\f（n－1！，n－m！)×(n－m）！×eq\f(1,n－1!）＝1.活動與探究2：1.解:（1）兩數(shù)相加，由加法交換律知與兩數(shù)順序無關(guān),所以(1)不是排列問題．（2)兩數(shù)相減，要確定誰是被減數(shù)，誰是減數(shù),與順序有關(guān)，所以（2)是排列問題．(3)票中要確定哪一個車站為起點(diǎn)站，哪一個車站為終點(diǎn)站,與順序有關(guān)，所以（3）是排列問題．(4)要從選出的2人中確定誰去植樹，誰去種菜，與順序有關(guān),所以(4)是排列問題．（5）只需從10人中選出2人即可，與順序無關(guān)，所以(5)不是排列問題．2．(1）B解析：不同的選派方案有Aeq\o\al(4，6)＝6×5×4×3＝360種．（2)15解析：第1類，掛1面旗表示信號，有Aeq\o\al（1,3)種不同方法;第2類，掛2面旗表示信號，有Aeq\o\al(2,3）種不同方法；第3類，掛3面旗表示信號，有Aeq\o\al（3,3）種不同方法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以表示的信號共有Aeq\o\al（1，3）＋Aeq\o\al(2，3）＋Aeq\o\al（3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15種．遷移與應(yīng)用：解：(1）選取的兩個數(shù)，要確定哪一個數(shù)在十位，哪一個數(shù)在個位，與順序有關(guān)，是排列問題，且有Aeq\o\al（2，5)＝5×4＝20個這樣的兩位數(shù)．（2）只需選出5人即可，與順序無關(guān)，不是排列問題．（3）選取的4種菜種，與4塊不同的地對應(yīng)，與順序有關(guān)，是排列問題,且有Aeq\o\al（4，8)＝8×7×6×5＝1680種不同的種法．活動與探究3：解:（1)由于甲的位置已確定，其余6人可隨意排列，共有Aeq\o\al(6,6)＝720種排法．(2）由于甲、乙兩人不站排頭和排尾,則這兩個位置可從其余5人中選兩人來站，共有Aeq\o\al(2,5）種排法,剩下的人有Aeq\o\al(5,5)種排法,共有Aeq\o\al(2，5）·Aeq\o\al（5,5）＝2400種不同排法．(3）甲站排頭有Aeq\o\al（6，6）種排法，乙站排尾有Aeq\o\al（6,6)種排法，但兩種情況都包含了“甲站排頭且乙站排尾”的Aeq\o\al（5，5）種排法，故共有Aeq\o\al（7，7）－2Aeq\o\al(6，6)＋Aeq\o\al（5,5）＝3720種排法．(4)先把女生看成一個元素,與其他4個男生共5個元素來排有Aeq\o\al（5,5)種排法，再排三個女生有Aeq\o\al（3,3)種排法，共有Aeq\o\al（5，5）·Aeq\o\al(3,3)＝720種不同排法．(5）先排4個男生，有Aeq\o\al（4，4)種排法，形成5個空位，將3個女生插入5個空位中，有Aeq\o\al(3，5）種排法，因此共有Aeq\o\al（4,4)·Aeq\o\al（3，5)＝1440種不同排法．（6)在7個位置上任意排列7名學(xué)生共有Aeq\o\al（7,7）種排法．由于女生的順序一定，且在所有不同排法中，女生的某一順序均會有Aeq\o\al（3，3)種情況，因此三名女生順序一定的排法共有eq\f(A\o\al（7，7)，A\o\al（3,3）)＝840種．遷移與應(yīng)用：1.B解析：先將老師排好有Aeq\o\al（3，3)種排法，形成4個空位，將3個學(xué)生插入4個空位中，有Aeq\o\al(3,4）種排法，∴共有Aeq\o\al（3,3）·Aeq\o\al(3,4)＝144種排法．2．A解析：分類完成：①甲排周一，乙、丙只能從周二至周五中選2天排，有Aeq\o\al(2，4)種排法；②甲排周二，乙、丙有Aeq\o\al(2,3）種排法;③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有Aeq\o\al(2，2）種排法，∴共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al（2，3)＋Aeq\o\al(2，2)＝20種排法．活動與探究4：解：(1）符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：0在個位時有Aeq\o\al（3,5)個；第二類：2在個位時，首位從1,3,4,5中選定1個(有Aeq\o\al(1,4）種),十位和百位從余下的數(shù)字中選（有Aeq\o\al（2，4）種），于是有Aeq\o\al(1，4）·Aeq\o\al（2,4）個；第三類：4在個位時,與第二類同理，也有Aeq\o\al（1，4)·Aeq\o\al（2，4)個．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有四位偶數(shù):Aeq\o\al（3,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al（2,4）＋Aeq\o\al(1,4）·Aeq\o\al（2，4）＝156（個)．（2)五位數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)可分為兩類：個位上的數(shù)字是0的五位數(shù)有Aeq\o\al(4，5）個；個位上的數(shù)字是5的五位數(shù)有Aeq\o\al(1，4）·Aeq\o\al（3,4)個．故滿足條件的五位數(shù)共有Aeq\o\al(4,5）＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4）＝216（個）．(3）比1325大的四位數(shù)可分為三類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□,5□□□，共Aeq\o\al(1，4)·Aeq\o\al(3，5）個；第二類：形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1，2）·Aeq\o\al（2,4)個；第三類：形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1，2)·Aeq\o\al(1，3)個；由分類加法計(jì)數(shù)原理知，比1325大的四位數(shù)共有：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2）·Aeq\o\al(2，4）＋Aeq\o\al(1,2）·Aeq\o\al(1,3)＝270(個)．遷移與應(yīng)用：1.C解析:①若十位是3時,個位與百位從1,2中選有Aeq\o\al（2,2)種選法;②若十位是4時,個位與百位有Aeq\o\al(2,3)種選法;③若十位是5時,個位與百位有Aeq\o\al(2,4）種選法；④若十位是6時，個位與百位有Aeq\o\al(2,5)種選法，則共有Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2，3)＋Aeq\o\al(2，4)＋Aeq\o\al（2,5)＝2＋6＋12＋20＝40種，故選C。2．C解析：第一步,先將2,4,6全排,有Aeq\o\al(3，3)種排法．第二步，將1，3，5分別插入2,4，6排列產(chǎn)生的前3個空中，若1,3相鄰且不與5相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2，3）種排法，若1,3,5均不相鄰，有Aeq\o\al(3，3)種排法．故總的排法有Aeq\o\al(3,3）(Aeq\o\al（2，2)Aeq\o\al（2,3)＋Aeq\o\al（3，3)）＝108（種)．故選C.1．3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張,則有不同分法的種數(shù)是（）．A．1260 B．120 C．240 D．2．從a，b，c，d，e五人中選2人分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，但a不能參加物理競賽，則不同的選法有()種．A．16 B．12 C．20 D．3.eq\f(A\o\al(6,7）－A\o\al（5,6)，A\o\al(4,5))＝（)．A．12 B．24 C．30