自動(dòng)控制理論第二章-線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本章知識(shí)點(diǎn)：線性系統(tǒng)的輸入－輸出時(shí)間函數(shù)描述建立機(jī)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的機(jī)理分析法傳遞函數(shù)的定義與物理意義非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型框圖及化簡(jiǎn)方法信號(hào)流程圖與梅遜公式應(yīng)用第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)線性系統(tǒng)的輸入/輸出時(shí)間函數(shù)描述一.物理模型、數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模物理模型：任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)稱(chēng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和求解的精確要求來(lái)確定出合理的物理模型。數(shù)學(xué)模型物理模型的數(shù)學(xué)描述。是指描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型

圖2-1常用的數(shù)學(xué)模型

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有：機(jī)理分析法：對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，按照它們遵循的物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律列出各物理量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。b.

實(shí)驗(yàn)辯識(shí)法：對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應(yīng)（時(shí)間響應(yīng)、頻率響應(yīng)），估算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。數(shù)學(xué)建模從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。實(shí)驗(yàn)法：基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法已知知識(shí)和辨識(shí)目的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)--選擇實(shí)驗(yàn)條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次參數(shù)估計(jì)--最小二乘法模型驗(yàn)證—將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近黑匣子輸入（已知）輸出（已知）圖2-21建立物理模型；2根據(jù)物理定律（如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）列寫(xiě)原始方程；3確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量，消去中間變量，寫(xiě)出表示系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的線性常微分方程。機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟:例2-1:圖2-1為由一RC組成的四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫(xiě)以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑袑?xiě)方程組如下：U1R1R2U2C1C2圖2-1RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)(1)(2)(3)(4)(5)二.機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例i1i2由(4)、(5)得由(2)導(dǎo)出將i1、i2代入(1)、(3)，則得U1R1R2U2C1圖2-1RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)C2i2i1這就是RC四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，為二階線性常微分方程。即例2-2圖2-6所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的電路圖，要求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速--ωm（t）（rad/s）為輸出量，列寫(xiě)微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通為常值。圖2-6電樞控制直流電動(dòng)機(jī)原理圖負(fù)載--UaEa+La+-ifRamiaSMjmfm解：列寫(xiě)電樞電路平衡方程

——電樞反電勢(shì)，其表達(dá)式為

——反電勢(shì)系數(shù)（v/rad/s）

圖2-6電樞控制直流電動(dòng)機(jī)原理圖負(fù)載--UaEa+La+-ifRamiaSMjmfm由上式解得ia，并代入（1）式。同時(shí)將（2）式代入（1）式，得在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，故（3）可簡(jiǎn)化為其中（5）如果電樞電阻和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都很小而忽略不計(jì)時(shí)（4）還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為例2-3試證明圖2-4示(a)、(b)所示的機(jī)、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。

B1B2K1K2XrXc

（a）機(jī)械系統(tǒng)R2C2R1C1UrUc

(b)電氣系統(tǒng)圖2-4電機(jī)相似系統(tǒng)對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫(xiě)電路方程如下：

解：對(duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運(yùn)動(dòng)方程式利用②、③、④求出

代入①將①兩邊微分得力-電壓相似把數(shù)學(xué)模型相同的各種物理系統(tǒng)稱(chēng)為相似系統(tǒng)。如機(jī)系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為機(jī)系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。一種物理系統(tǒng)的研究結(jié)論可以推廣到其相似系統(tǒng)?？梢赃M(jìn)行系統(tǒng)的模擬研究。即用一種比較容易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電系統(tǒng)）模擬其它較難實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如機(jī)械系統(tǒng)等）因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)，電的或電子的系統(tǒng)更容易通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行研究。1/C21/C1電阻R2電阻R1電氣彈性系數(shù)K2彈性系數(shù)K1阻尼B2阻尼B1機(jī)械三.線性微分方程的求解

1.經(jīng)典解法:ω(t)=ωp(t)+ωh(t)

特解

通解還可分為ω(t)=ω∞(t)+ωt(t)

穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解2.數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換a2[s2ω(s)–sω(0)-ω'(0)]+a1[sω(s)–ω(0)]+a0ω(s)=b1[sUg(s)–Ug(0)]+b0Ug(s)整理，

得

ω(s)=ω1(s)+ω2(s)

=Ug(s)+∴

ω(t)=ω1(t)+ω2(t)

零狀態(tài)解零輸入解（自由響應(yīng)）3.求解所用數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時(shí)f(t)=0②t>0時(shí)，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作：(2)常用函數(shù)的拉氏變換函數(shù)名稱(chēng)原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)脈沖函數(shù)1階躍函數(shù)1(t)斜坡函數(shù)t拋物線函數(shù)指數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)(3)拉氏變換基本定理初值定理微分定理積分定理線性定理位移定理延遲定理終值定理(4)拉氏反變換：F(s)化成下列因式分解形式：a．F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)為b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)為c.F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)為

其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。應(yīng)用拉氏變換方法求解常微分方程的步驟：1.常微分方程分別求拉氏變換；2.用代數(shù)方法解出所求變量的象函數(shù)，得到s的有理分式；3.對(duì)上述s的有理分式進(jìn)行部分分式展開(kāi)，并求出待定系數(shù)；4.利用拉氏反變換求出各部分分式對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。一、傳遞函數(shù)１．定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初使條件是指當(dāng)t≤0時(shí),系統(tǒng)r(t)、c(t)以及它們的各階導(dǎo)數(shù)均為零。第二節(jié)線性系統(tǒng)的輸入—輸出傳遞函數(shù)描述線性系統(tǒng)微分方程的一般形式為:設(shè)R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],當(dāng)初始條件均為0時(shí),有：(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)奇點(diǎn)：使G(S)或其導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。極點(diǎn)是一種最常見(jiàn)的奇點(diǎn)。G(S)的極點(diǎn)就是其分母部分為零時(shí)即：的根。上述方程就是線性微分方程的特征方程。因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)也就是系統(tǒng)微分方程的特征方程的根。零點(diǎn)：在S平面上使G(S)等于零的點(diǎn)。傳遞函數(shù)G(S)是復(fù)變函數(shù)。是S的有理函數(shù)。m≤n

2．幾點(diǎn)結(jié)論：（1）傳函是由微分方程在初始條件為零時(shí)進(jìn)行拉氏變換得到的。

（2）如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號(hào),則可求得初始條件為零時(shí)輸出量的拉氏變換式C（S）,再求C（S）的拉氏反變換可得到系統(tǒng)的響應(yīng)

c(t)，稱(chēng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。所以傳遞函數(shù)和微分方程、傳遞函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)之間都具有密切聯(lián)系。（3）系統(tǒng)響應(yīng)的特性由傳遞函數(shù)決定，而和系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。傳遞函數(shù)則由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定。（4）傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式即為微分方程的特征多項(xiàng)式，為1+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。（5）同一系統(tǒng)的輸出對(duì)不同的輸入量有不同的傳遞函數(shù)，但特征多項(xiàng)式唯一。（6）在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，包括兩部分：

系統(tǒng)響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)——在輸入為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)零初始狀態(tài)的響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)——在零初始條件下，系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)。（7）與微分方程的區(qū)別及聯(lián)系微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，稱(chēng)為時(shí)間域描述，簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)域描述。在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)分析較麻煩。用拉氏變化法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型----傳遞函數(shù)。稱(chēng)為頻率域描述，簡(jiǎn)稱(chēng)頻域描述。--》機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)例2-5

求例2-2機(jī)械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

和解：--》電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)性質(zhì)1傳遞函數(shù)G(s)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，

m≤n，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。二．傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)性質(zhì)4如果傳遞函數(shù)G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。性質(zhì)3傳遞函數(shù)G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。性質(zhì)2傳遞函數(shù)G(s)取決于系統(tǒng)或元件自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o(wú)關(guān)。性質(zhì)5如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研

究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出

該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。性質(zhì)6傳遞函數(shù)與系統(tǒng)微分方程之間有關(guān)系，二者可以相互轉(zhuǎn)換。性質(zhì)7傳遞函數(shù)G(s)是單位脈沖響應(yīng)g(t)的拉氏變換（P15）。性質(zhì)8傳遞函數(shù)G(s)與S平面上一定的零、極點(diǎn)圖相對(duì)應(yīng)。例2-6在例2-1中，設(shè)當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù),即U1(t)=時(shí),求輸出解：根據(jù)例1得到的微分方程。1(t)三．傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

極點(diǎn)是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點(diǎn)重合－該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?/p>

第三節(jié)非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化

在建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，常常遇到非線性問(wèn)題。非線性是指系統(tǒng)（或元件）的輸出量與輸入量間的靜態(tài)特性不是直線關(guān)系。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，任何實(shí)際系統(tǒng)都存在不同程度的非線性。對(duì)于非線性系統(tǒng)，要用非線性微分方程來(lái)描述。但對(duì)非線性微分方程沒(méi)有統(tǒng)一的、成熟的解法，有時(shí)甚至是無(wú)法求解的。但是許多非線性系統(tǒng)在一定條件下可以近似地視為線性系統(tǒng)。有條件地將非線性數(shù)學(xué)模型化為線性模型來(lái)處理的方法，稱(chēng)為非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化。小偏差法或增量法是常用的線性化方法。設(shè)圖2-34所示非線性特性的數(shù)學(xué)模型為：y=f（x）式中x—輸入量；y—輸出量；

f（x）—某個(gè)非線性函數(shù)。

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（x0，y0）點(diǎn)附近連續(xù)可微(此即為非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型線性化的條件）,則可將函數(shù)f（x）在（x0，y0）附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：式中

——比例系數(shù),是隨工作點(diǎn)A（x0，y0)

不同而不同的常數(shù)

具有兩個(gè)以上輸入量的非線性系統(tǒng)線性化處理方法與前述方法相似。求線性化數(shù)學(xué)模型的步驟:按物理和化學(xué)定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點(diǎn)處各變量的數(shù)值找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，各階導(dǎo)數(shù)存在并且是唯一的，則可進(jìn)行線性化處理。將非線性特性展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，忽略偏差量的高次項(xiàng)，留下一次項(xiàng)，求出它的系數(shù)值。消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點(diǎn)處值的偏差量來(lái)表示。1234注意以下幾點(diǎn)：(1)(2)(3)(4)線性化方程中的常數(shù)與選擇的靜態(tài)工作點(diǎn)的位置有關(guān),工作點(diǎn)不同時(shí)相應(yīng)的常數(shù)也不相同泰勒級(jí)數(shù)線性化是小范圍線性化。當(dāng)輸入量的變化范圍較大時(shí)，用上述方法建立數(shù)學(xué)模型引起的誤差較大。因此只有當(dāng)輸入量變化較小時(shí)才能使用。若非線性特性不滿足連續(xù)可微的條件,則不能采用前述處理方法.線性化方法得到的微分方程是增量化方程。

由微分方程直接得出的傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。對(duì)于實(shí)際物理系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，而且分母多項(xiàng)式的階次n

不低于分子多項(xiàng)式的階次m，分母多項(xiàng)式階次為n的傳遞函數(shù)稱(chēng)為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為n階系統(tǒng)

。第四節(jié)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)可表示成復(fù)變量s的有理分式:傳遞函數(shù)可表示成零、極點(diǎn)表示：系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時(shí)還具有零值極點(diǎn)，設(shè)傳遞函數(shù)中有

個(gè)零值極點(diǎn),并考慮到零極點(diǎn)都有實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的情況,則傳遞函數(shù)的后兩種表示的一般形式為：(a)(b)可見(jiàn)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由一些常見(jiàn)基本因子,如式上中的(

js+1)、1/(Tis+1)等組成。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為上式時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是這些常見(jiàn)基本因子的乘積。這些常見(jiàn)基本因子代表的環(huán)節(jié)稱(chēng)為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可以用若干典型環(huán)節(jié)構(gòu)成。具有相同基本因子傳遞函數(shù)的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從傳遞函數(shù)的表示式中可以看到，傳遞函數(shù)的基本因子對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。

比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為固定的比例關(guān)系，即它的輸出量能夠無(wú)失真、無(wú)延遲地按一定的比例關(guān)系復(fù)現(xiàn)輸入量。時(shí)域中的代數(shù)方程為：c(t)=Kr(t)t

0

；式中K為比例系數(shù)或傳遞系數(shù)，有時(shí)也稱(chēng)為放大系數(shù)。

完全理想的比例環(huán)節(jié)是不存在的。對(duì)某些系統(tǒng)當(dāng)做比例環(huán)節(jié)是一種理想化的方法。l．比例環(huán)節(jié)所以比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

：L-變換C(S)=KR(S)式中K——比例系數(shù)。

T——慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，衡量輸出量跟隨輸入量的變化

慣性環(huán)節(jié)又稱(chēng)為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的關(guān)系可用下列微分方程來(lái)描述：2．慣性環(huán)節(jié)3．積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的積分成比例，系數(shù)為K。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為：

積分環(huán)節(jié)具有一個(gè)零值極點(diǎn)，即極點(diǎn)位于S平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)處。T稱(chēng)為積分時(shí)間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表達(dá)式易求得在單位階躍輸入時(shí)的輸出為：

上式說(shuō)明，只要有一個(gè)恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時(shí)間成比例地?zé)o限增加。振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

式中T——時(shí)間常數(shù)；

—阻尼系數(shù)（阻尼比）且0＜＜1。振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),在復(fù)平面S上的位置見(jiàn)圖2-8所示,傳遞函數(shù)可改寫(xiě)為：

n=1/T——無(wú)阻尼自然振蕩頻率。共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：4．振蕩環(huán)節(jié)5．微分環(huán)節(jié)

微分是積分的逆運(yùn)算,按傳遞函數(shù)的不同,微分環(huán)節(jié)可分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱(chēng)為比例加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應(yīng)的微分方程為：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

延遲環(huán)節(jié)又稱(chēng)為純滯后環(huán)節(jié)、時(shí)滯環(huán)節(jié)。其輸出信號(hào)比輸入信號(hào)遲后一定的時(shí)間。就是說(shuō)，延遲環(huán)節(jié)的輸出是一個(gè)延遲時(shí)間

后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，即

式中

——純延遲時(shí)間。單位階躍輸入時(shí)，延遲環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如右圖示．根據(jù)拉氏變換的延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：6．延遲環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型注意三點(diǎn)：（1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按模型的共性建立的，它與系統(tǒng)中采用的元件不是一一對(duì)應(yīng)的。（2）分析或設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必先建立系統(tǒng)或被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，將其與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型對(duì)比后，即可知其由那些典型環(huán)節(jié)組成。將有助于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。

框圖與信號(hào)流圖是自動(dòng)控制系統(tǒng)的兩種圖形研究方法，是分析系統(tǒng)的有力工具。一．框圖的基本概念

１．控制系統(tǒng)的方框圖又稱(chēng)為方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。第五節(jié)框圖及其化簡(jiǎn)方法

它用一個(gè)方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，如上圖所示?？驁D的一端為輸入信號(hào)r(t)，另一端是經(jīng)過(guò)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)后的輸出信號(hào)c（t），圖中箭頭指向表示信號(hào)傳遞的方向。方框中用文字表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，也可以填入表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)的拉氏變換之比-----傳遞函數(shù)，這是更為常用的框圖。六種典型環(huán)節(jié)的框圖如下：G(s)R(s)C(s)

圖2-12

方塊圖中的方塊信號(hào)線方塊r(t)c(t)二．方塊圖元素（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。（2）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）SummingPoint

兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號(hào)可省略不寫(xiě)。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+Υ1Υ1Υ2+Υ3Υ2Υ3注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量綱。圖

2-13

--Υ1Υ2++-Υ1Υ2-(3)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）BranchPoint表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置

（4）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0,打開(kāi)反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價(jià)于C(s)與誤差E(s)之比三．幾個(gè)基本概念及術(shù)語(yǔ)(2)反饋回路傳遞函數(shù)

----假設(shè)N(s)=0

主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)C(s)之比。(3)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction

假設(shè)N(s)=0，主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比。

從上式可以看出，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction

假設(shè)N(s)=0

輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。推導(dǎo)：因?yàn)橛疫呉七^(guò)來(lái)整理得

即

請(qǐng)記住**(5)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

誤差信號(hào)E(s)與輸入信號(hào)R(s)之比。**將代入上式，消去G(s)即得：(6)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0圖2-16輸出對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)利用公式**，直接可得：**（7）誤差對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0

圖2-17誤差對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當(dāng)控制輸入Ｒ（Ｓ）與擾動(dòng)Ｎ(Ｓ)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：注意：由于N(s)極性的隨機(jī)性，因而在求E(s)時(shí)，不能認(rèn)為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。（1）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫(xiě)系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。（2）根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方框連接起來(lái)，便可得到系統(tǒng)的框圖。（系統(tǒng)框圖也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表示）

繪制框圖四．框圖的繪制RCi（a）iuou圖2-18一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：由圖2-18，利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對(duì)其進(jìn)行拉氏變換得：

例１：畫(huà)出下列RC電路的方塊圖。

將圖（b）和(c)組合起來(lái)即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的框圖。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo圖2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi圖2-201/R1/SC-1/R1/SC例２：畫(huà)出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

分析：由圖2-21清楚地看到，后一級(jí)R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級(jí)R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓uc1產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。解：（1）根據(jù)電路定理列出方程，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫(huà)出該電路的運(yùn)算電路圖如圖(b)；

（2）根據(jù)列出的4個(gè)式子作出對(duì)應(yīng)的框圖；

（3）根據(jù)信號(hào)的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來(lái)。

如果在這兩級(jí)R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個(gè)輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-23(a)所示。則此電路的方塊圖如圖2-23(b)所示。

作業(yè)：P462-12-22-5方框圖的等效變換相當(dāng)于在方框圖上進(jìn)行數(shù)學(xué)方程的運(yùn)算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類(lèi)。環(huán)節(jié)的合并;信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的等效移動(dòng)。五.方框圖的等效變換

方框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變，因此方框圖變換是一種等效變換，同時(shí)由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以方框圖變換是一些簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。（－）環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)之間互相連接有三種基本形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。

特點(diǎn):

前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)就是后一環(huán)節(jié)的輸入信號(hào).要求出第三個(gè)環(huán)節(jié)的輸出與第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入之間的傳遞函數(shù)時(shí)圖2-24環(huán)節(jié)串聯(lián)的合并1．環(huán)節(jié)的串聯(lián)

上式表明，三個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個(gè)等效環(huán)節(jié)來(lái)代替。這種情況可以推廣到有限個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無(wú)負(fù)載效應(yīng)）的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，如有n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效傳遞函數(shù)可表示為：特點(diǎn):是各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同，輸出信號(hào)相加（或相減）。

等效傳遞函數(shù)為：環(huán)節(jié)的并聯(lián)2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)以上結(jié)論可推廣到一般情況，當(dāng)有n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，其輸出信號(hào)相加則有等效傳遞函數(shù)負(fù)反饋：反饋信號(hào)與給定輸入信號(hào)符號(hào)相反的反饋。正反饋：反饋信號(hào)與給定輸入信號(hào)符號(hào)相同的反饋。3．反饋連接將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端，并與原輸入信號(hào)進(jìn)行比較后再作為輸入信號(hào)，即為反饋連接，如圖所示。上述三種基本變換是進(jìn)行方框圖等效變換的基礎(chǔ)。對(duì)于較復(fù)的系統(tǒng),例如當(dāng)系統(tǒng)具有信號(hào)交叉或反饋環(huán)交叉時(shí),僅靠這三種方法是不夠的。（二）信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)的等效變換

對(duì)于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號(hào)或反饋環(huán)相互交叉的現(xiàn)象，此時(shí)可將信號(hào)相加點(diǎn)（匯合點(diǎn)）或信號(hào)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?dòng)，先消除各種形式的交叉，再進(jìn)行等效變換即可。將信號(hào)引出點(diǎn)及匯合點(diǎn)前后移動(dòng)的規(guī)則：1.變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變;2.變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。

信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)分兩種情況：前移和后移。為使信號(hào)相加點(diǎn)移動(dòng)前后輸出量與輸入量之間的關(guān)系不變,必須在移動(dòng)相加信號(hào)的傳遞通道上增加一個(gè)環(huán)節(jié)，它的傳遞函數(shù)分別為1／G（S）（前移）和G（S）（后移）。信號(hào)分支點(diǎn)（取出點(diǎn)）的移動(dòng)也分前移和后移兩種情況。但分支點(diǎn)前移時(shí)應(yīng)在取出通路上增加一個(gè)傳遞函數(shù)為G（S）的環(huán)節(jié)，后移時(shí)則增加一個(gè)傳遞函數(shù)為1／G（S）的環(huán)節(jié)。

此外，兩個(gè)相鄰的信號(hào)相加點(diǎn)和兩個(gè)相鄰的信號(hào)分支點(diǎn)可以互換位置。但必須注意，相鄰的相加點(diǎn)與分支點(diǎn)的位置不能簡(jiǎn)單互換。下表列出了信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)等效變換的各種方法。

例：求傳遞函數(shù)Eo圖2-27（a)圖2-27（b)R1C2S+++---EiEiEEo++R1C2s+－--EoEo圖2-27（c)圖2-27（d)EoR1C2S+-EiR1C2S+-EiEi圖2-27（e)第六節(jié)信號(hào)流圖與梅遜公式

信號(hào)流圖和方框圖類(lèi)似，都可用來(lái)表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳送過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而信號(hào)流圖也是一種數(shù)學(xué)模型。采用信號(hào)流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。一.信號(hào)流圖及其等效變換

（－）基本概念信號(hào)流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來(lái)表示的方法。例如：信號(hào)流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱(chēng)其為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)之間用加權(quán)的有向線段連接，稱(chēng)為支路。通常在支路上標(biāo)明前后兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此支路的權(quán)又稱(chēng)為傳輸。因果關(guān)系式因果關(guān)系圖（二）常用術(shù)語(yǔ)；

信號(hào)流圖中除有節(jié)點(diǎn)和支路外，還常用到下述術(shù)語(yǔ)。出支路：離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的支路。入支路：進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。源節(jié)點(diǎn)：只有出支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于自變量或外部輸入，因此也稱(chēng)為輸入節(jié)點(diǎn)。4.匯節(jié)點(diǎn)：只有入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量，有時(shí)也稱(chēng)為輸出節(jié)點(diǎn)。

5.混合節(jié)點(diǎn)：既有入支路，又有出支路的節(jié)點(diǎn)。6.通道：又稱(chēng)為路徑，是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經(jīng)過(guò)多個(gè)節(jié)點(diǎn)間的支路，一個(gè)信號(hào)流圖可以有多條通道。7.開(kāi)通道：如果通道從某個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止于另一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，并且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次，則稱(chēng)這樣的通道為開(kāi)通道。閉通道：如果通道的終點(diǎn)就是通道的起始點(diǎn)，并且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次，則該通道稱(chēng)為閉通道或回路、回環(huán)等。如果一個(gè)通道從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，只經(jīng)過(guò)一個(gè)支路又回到該節(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)這樣的通道為自回環(huán)。9.前向通道：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)到匯節(jié)點(diǎn)終止，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次的通道稱(chēng)為前向通道。10.互不接觸回環(huán)：如果一些回路沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)和回路，就稱(chēng)它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。11.通道傳輸：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，也稱(chēng)為通道增益。12.回環(huán)傳輸：又稱(chēng)為回環(huán)增益，指閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。例如下圖中，x。為源節(jié)點(diǎn)，x6為匯節(jié)點(diǎn)。x1、x2、x3、x4和x5為混合節(jié)點(diǎn)。通道abcdej是一條前向通道，而abcde和fghi是普通的通道，ai不是通道,因?yàn)閮蓷l支路的方向不一致。bbi也不是通道，因?yàn)閮纱谓?jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)x1

。bi是一個(gè)閉通道（回環(huán)），而bchi不是一個(gè)閉通道，因?yàn)橛袃纱谓?jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)x2。圖中共有四個(gè)回環(huán)，即bi,ch,dg和ef。兩個(gè)互不接觸的回環(huán)有三種組合，即bief,bidg和chef。本系統(tǒng)沒(méi)有三個(gè)及三個(gè)以上互不接觸的回環(huán)。（三）信號(hào)流圖的基本性質(zhì)

（1）用節(jié)點(diǎn)表示變量，源節(jié)點(diǎn)代表輸入量，匯節(jié)點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)表示變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，所有出支路的信號(hào)（即混合節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變量）等于各支路引入信號(hào)的代數(shù)和。（2）以支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過(guò)程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖中每經(jīng)過(guò)一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)過(guò)一個(gè)用方框表示的環(huán)節(jié)。（3）增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可把混合?jié)點(diǎn)變?yōu)閰R節(jié)點(diǎn)。

（4）對(duì)于同一系統(tǒng)，信號(hào)流圖的形式不是唯一的。（l）串聯(lián)支路的總傳