2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題含答案

黑龍江省龍東地區(qū)2024年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.2.下列圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.64.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B. C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且6.已知關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.7.國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某班開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿校園”的讀書(shū)活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買(mǎi)筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買(mǎi)），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案（）A.5 B.4 C.3 D.28.如圖，雙曲線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.59.如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，點(diǎn)H在邊上（不與點(diǎn)A、D重合），，交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②點(diǎn)G是的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國(guó)糧食總產(chǎn)量是億斤，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_______．12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．13.已知菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是________．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是________．18.如圖，在中，，，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最大值是________．19.矩形中，，，將沿過(guò)點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線于點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則長(zhǎng)為_(kāi)_______．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是________．三、解答題（滿分60分）21.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫(huà)出繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)和的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24.為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合下圖解答下列問(wèn)題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計(jì)圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有多少人？25.甲、乙兩貨車(chē)分別從相距的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車(chē)從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來(lái)卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車(chē)沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車(chē)到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車(chē)晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車(chē)距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）甲貨車(chē)到達(dá)配貨站之前的速度是，乙貨車(chē)的速度是；（2）求甲貨車(chē)在配貨站卸貨后駛往B地的過(guò)程中，甲貨車(chē)距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫(xiě)出甲、乙兩貨車(chē)在行駛的過(guò)程中，出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．27.為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開(kāi)展踢毽子活動(dòng)，需購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種品牌毽子．已知購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購(gòu)買(mǎi)甲乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過(guò)乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購(gòu)買(mǎi)毽子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1.【答案】C【解析】解：A、，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；B、，故選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；C、，此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；D、，故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2.【答案】B【解析】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故B選項(xiàng)符合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D、軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D選項(xiàng)不合題意．故選：B．3.【答案】B【解析】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個(gè)幾何體的底層最少有1+1+1=3個(gè)小正方體，第二層最少有1個(gè)小正方體，因此組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有3+1=4個(gè)．故選B．4.【答案】D【解析】平均數(shù)為：方差為：故選：D．5.【答案】D【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．6.【答案】A【解析】解：去分母得，，整理得，，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無(wú)解時(shí)，或．故選：A．7.【答案】B【解析】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)支筆記本，個(gè)碳素筆，依題意得：，．又，均為正整數(shù)，或或或，共有4種不同的購(gòu)買(mǎi)方案．故選：B．8.【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，，∵軸，，∴軸，，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．9.【答案】C【解析】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．10.【答案】A【解析】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，∴，，∴，故①正確，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤錯(cuò)誤，如圖，③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．二、填空題（每小題3分，共30分）11.【答案】【解析】?jī)|，億故答案為：12.【答案】##【解析】解：根據(jù)題意得，，且，解得，，故答案為：．13.【答案】或【解析】解：根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形，可添加：；根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的條件為：或．14.【答案】【解析】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有12種，∴選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的概率為：，故答案為：．15.【答案】【解析】解：由，得：，由，得：，不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，這3個(gè)整數(shù)解是0，1，2，，解得，故答案為：．16.【答案】【解析】解：如圖所示，連接，∵內(nèi)接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．17.【答案】【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，可得解得：，，解得，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是．故答案為：．18.【答案】【解析】解：取的中點(diǎn)M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點(diǎn)，∴．如圖，當(dāng)在下方時(shí)，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．19.【答案】或或10【解析】解：①點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上，如圖1，∵在矩形中，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴∴∴，∴∴；②點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上，如圖2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；③點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在矩形對(duì)角線延長(zhǎng)線上，如圖3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；綜上所述：則長(zhǎng)為或或10．故答案為：或或10．20.【答案】【解析】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，,是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，等邊三角形高為，由題知，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；繼續(xù)滾動(dòng)有，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個(gè)為一組，，的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，故答案為：．三、解答題（滿分60分）21.【答案】，【解析】解：原式，當(dāng)時(shí)原式．22.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，（2）作圖見(jiàn)解析，（3）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：如圖，為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為，【小問(wèn)2詳解】如圖，為所求；，【小問(wèn)3詳解】，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．23.【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，的面積最大值是【解析】【小問(wèn)1詳解】解：將，代入得，解得：【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于，令則解得，，∴，∴∵，∴，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，如圖，設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為24.【答案】（1）8，40（2）C（3）估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有228人【解析】【小問(wèn)1詳解】解：被抽取的學(xué)生數(shù)為：(人)故（人），，即，故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，，，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)都在C組，故本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在C組，答案為：C；【小問(wèn)3詳解】解：（人）答：該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有人．25.【答案】（1）30，40（2）的函數(shù)解析式是（3）經(jīng)過(guò)1.5h或或5h甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由圖象可知甲貨車(chē)到達(dá)配貨站路程為105km，所用時(shí)間為3.5h，所以甲貨車(chē)到達(dá)配貨站之前的速度是（）∴乙貨車(chē)到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時(shí)間是6h，∴乙貨車(chē)速度，故答案為：30；40【小問(wèn)2詳解】甲貨車(chē)從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來(lái)卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，由圖象可知和點(diǎn)設(shè)∴解得：，∴甲貨車(chē)距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式【小問(wèn)3詳解】設(shè)甲貨車(chē)出發(fā)，甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等，①兩車(chē)到達(dá)配貨站之前：，解得：,②乙貨車(chē)到達(dá)配貨站時(shí)開(kāi)始返回，甲貨車(chē)未到達(dá)配貨站：，解得：，③甲貨車(chē)在配貨站卸貨后駛往B地時(shí)：，解得：，答：經(jīng)過(guò)或或甲、乙兩貨車(chē)與配貨站的距離相等．26.【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見(jiàn)解析【解析】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.【答案】（1）購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)乙種品牌毽子需10元（2）共有3種購(gòu)買(mǎi)方案（3）學(xué)校購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毽子60個(gè)，購(gòu)買(mǎi)乙種品牌毽子10個(gè)，商家獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是340元【解析】【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子需a元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)乙種品牌毽子需b元．由題意得：，解得：，答：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)乙種品牌毽子需10元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毽子