2024年重慶市中考數學試題A卷含答案

重慶市2024年初中學業(yè)水平暨高中招生考試數學試題（A卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4.考試結束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側確答案所對應的方框涂黑．1.下列四個數中，最小的數是（）A. B.0 C.3 D.2.下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.3.已知點在反比例函數的圖象上，則的值為（）A. B.3 C. D.64.如圖，，，則度數是（）A. B. C. D.5.若兩個相似三角形相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）A. B. C. D.6.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（）A.20 B.22 C.24 D.267.已知，則實數的范圍是（）A. B. C. D.8.如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B.C. D.9.如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（）A. B. C. D.10.已知整式，其中為自然數，為正整數，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件整式共有16個．其中正確個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11.計算：＝_____．12.如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數為______．13.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點的概率為_____．14.隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．15.如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點．若，，則______．16.若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．17.如圖，以為直徑的與相切于點，以為邊作平行四邊形，點D、E均在上，與交于點，連接，與交于點，連接．若，則______．______．18.我們規(guī)定：若一個正整數能寫成，其中與都是兩位數，且與的十位數字相同，個位數字之和為，則稱為“方減數”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數字相同，個位數字與的和為，所以是“方減數”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數”是______．把一個“方減數”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數，若除以余數為，且（為整數），則滿足條件的正整數為______．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19.計算：（1）；（2）．20.為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現從七、八年級的學生中各隨機抽取名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年級名學生的競賽成績在組的數據是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統計表年級七年級八年級平均數中位數眾數根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中______，______，______；（2）根據以上數據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有名學生，八年級有名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學生人數是多少？21.在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發(fā)現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④．22.為促進新質生產力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代．（1）為鼓勵企業(yè)進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產線各有多少條？（2）經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定平面直角坐標系中畫出函數，的圖象；請分別寫出函數，的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數，誤差不超過）24.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發(fā)，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）（1）求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側），連接．（1）求拋物線的表達式；（2）點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當線段長度取得最大值時，求的最小值；（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．26.在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．（1）如圖1，若，求的度數（用含的代數式表示）；（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；（3）如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．

參考答案一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側確答案所對應的方框涂黑．1.【答案】A【解析】解：∵，∴最小的數是；故選：A．2.【答案】C【解析】、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．3.【答案】C【解析】解：把代入，得．故選C．4.【答案】B【解析】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選：．5.【答案】D【解析】解：兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是，故選：D．6.【答案】B【解析】解：由圖可得，第1種如圖①有4個氫原子，即第2種如圖②有6個氫原子，即第3種如圖③有8個氫原子，即，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是：；故選：B．7.【答案】B【解析】解：∵，∵，∴，故選：B．8.【答案】D【解析】解：連接，根據題意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴圖中陰影部分的面積．故選：D．9.【答案】A【解析】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，由旋轉得，∵四邊形是正方形，∴，，，設，∴，∵，∴，∴，∴，，設，則，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴，∴，故選：A．10.【答案】D【解析】解：∵為自然數，為正整數，且，∴，當時，則，∴，，滿足條件整式有，當時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，，當時，則，∴，，，，，，滿足條件的整式有：，，，，，；當時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，；當時，，滿足條件的整式有：；∴滿足條件單項式有：，，，，，故①符合題意；不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；故②符合題意；滿足條件的整式共有個．故③符合題意；故選D二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11.【答案】3【解析】解：，故答案為：3．12.【答案】9【解析】解：，∴這個多邊形的邊數是，故答案為：9．13.【答案】【解析】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時選擇景點的情況有種，∴甲、乙兩人同時選擇景點的的概率為，故答案為：．14.【答案】【解析】解：設平均增長率為x，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）；故答案為：．15.【答案】【解析】解：∵，過點作，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：，16.【答案】16【解析】解：，解①得：，解②得：，關于的一元一次不等式組至少有兩個整數解，，解得，解方程，得，關于的分式方程的解為非負整數，且，是偶數，解得且，是偶數，且，是偶數，則所有滿足條件的整數的值之和是，故答案為：16．17.【答案】①.8②.##【解析】解：連接并延長，交于點H，連接，設、交于點M，如圖所示：∵以為直徑的與相切于點A，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：8；．18.【答案】①.②.【解析】設，則（，）由題意得：，∵，“方減數”最小，∴，則，，∴，則當時，最小，為，故答案為：；設，則（，）∴∵除以余數為，∴能被整除∴整數，又（為整數）∴是完全平方數，∵，∴最小為，最大為即設，為正整數，則當時，，則，則是完全平方數，又，，無整數解，當時，無整數解，當時，，則，則是完全平方數，經檢驗，當時，，，，∴，∴故答案為：，．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19.【答案】（1）；（2）．【解析】【小問1詳解】解：原式，；【小問2詳解】解：原式，，．20.【答案】（1），，；（2）八年級學生競賽成績較好，理由見解析；（3）該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學生人數是人．【解析】【小問1詳解】根據七年級學生競賽成績可知：出現次數最多，則眾數為，八年級競賽成績中組：（人），組：（人），組：人，所占百分比為組：（人）所占百分比為，則，∴八年級的中位數為第個同學競賽成績的平均數，即組第個同學競賽成績的平均數，故答案為：，，；【小問2詳解】八年級學生競賽成績較好，理由：七、八年級的平均分均為分，八年級的中位數高于七年級的中位數，整體上看八年級學生競賽成績較好；【小問3詳解】（人），答：該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學生人數是人．21.【答案】（1）見解析（2）①；②；③；④四邊形是菱形【解析】【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形；證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．22.【答案】（1）該企業(yè)甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；（2）需要更新設備費用為萬元【解析】【小問1詳解】解：設該企業(yè)甲類生產線有條，則乙類生產線各有條，則，解得：，則；答：該企業(yè)甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；【小問2詳解】解：設購買更新1條甲類生產線的設備為萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為萬元，則，解得：，經檢驗：是原方程的根，且符合題意；則，則還需要更新設備費用為（萬元）；23.【答案】（1）（2）函數圖象見解析，隨x增大而增大，隨x增大而減?。?）【解析】【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求；由函數圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減小；【小問3詳解】解：由函數圖象可知，當時的取值范圍．24.【答案】（1），兩港之間的距離海里；（2）甲貨輪先到達港．【解析】【小問1詳解】如圖，過作于點，∴，由題意可知：，，∴，∴，∴，∴（海里），∴，兩港之間的距離海里；【小問2詳解】由（）得：，，，∴，∴，由題意得：，，∴，∴，（海里），∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），∵，且甲、乙速度相同，∴甲貨輪先到達港．25.【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）符合條件的點的坐標為或．【解析】【小問1詳解】解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達式為；【小問2詳解】解：令，則，解得或，