備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題17解三角形(解答題壓軸)(學(xué)生版+解析)

專題17解三角形（解答題壓軸）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角形中線問題 1二、三角形角平分線問題 3三、三角形周長（邊長）（定值） 5四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題） 8五、三角形面積（定值） 10六、三角形面積（最值，范圍問題） 13一、三角形中線問題1．（23-24高三上·廣東中山·階段練習(xí)）已知為的外心，，當(dāng)最大時(shí)，邊上的中線長為．2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知向量，，，且A為的內(nèi)角.（1）求角A的大?。唬?）若中，角，，的對邊分別為，，，，，求邊BC上的中線AD的長.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若的面積為，求a的最小值；(2)若，BC邊上的中線長為，且的外接圓半徑為，求的周長．4．（2024·四川）在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角;（2）若外接圓的半徑為，且邊上的中線長為，求的面積二、三角形角平分線問題1．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）在中，，，．點(diǎn)為所在平面上一點(diǎn)，滿足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若點(diǎn)為的外心，求、的值；(3)若點(diǎn)在的角平分線上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．2．（23-24高一上·湖北咸寧·自主招生）如圖所示，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上．(1)若．①如圖1，若，，過作于點(diǎn)，直接寫出的值為；②如圖2，若，求的值．(2)如圖3，已知為的角平分線，，，直接寫出線段的長度．3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求C；(2)若△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．4．（23-24高一下·安徽蕪湖·期中）已知的內(nèi)角的對邊為，且.(1)求；(2)若的面積為；（i）已知為的中點(diǎn)，求底邊上中線長的最小值；（ii）求內(nèi)角的角平分線長的最大值.5．（23-24高一下·重慶·期末）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)若，，求邊上的角平分線長；(3)若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍.三、三角形周長（邊長）（定值）1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且.(1)若，求；(2)點(diǎn)在邊上且平分，若，求三角形的周長.2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長．3．（23-24高二下·四川涼山·期末）在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若的面積邊上的中線，求的周長．4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所對的邊分別為，的外接圓半徑為，且．(1)證明：；(2)若，的面積為，求的周長．5．（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知在中，角所對的邊分別為，，，且(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長．四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）1．（23-24高一下·北京大興·期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求；(2)若．（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．（ii）求周長的取值范圍．2．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知是邊長為的正三角形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)為線段上一點(diǎn).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的最小值；(3)求周長的取值范圍.3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的取值范圍；(2)已知內(nèi)切圓的半徑等于，求周長的取值范圍.4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，的角平分線AD交BC于點(diǎn)D．(1)若，，求AD的長度；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．5．（23-24高一下·江蘇泰州·期末）在中，角的對邊分別為，，，已知.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求周長的最大值.6．（2024·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．五、三角形面積（定值）1．（23-24高一下·山東棗莊·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，為內(nèi)一點(diǎn).(1)證明：為等腰三角形；(2)若，，，求的最小值；(3)若，，，求的面積.2．（23-24高一下·重慶·期末）平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求四邊形周長的取值范圍；(3)若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，求的面積．3．（23-24高一下·浙江溫州·期末）在中，，，.(1)求A；(2)D為邊的中點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，交于P.（i）若E為的中點(diǎn)，求的余弦值；（ii）當(dāng)時(shí)，求的面積.4．（23-24高三上·山東青島·期中）在，中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知點(diǎn)D在AC邊上，且，求的面積.六、三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024·四川達(dá)州·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、，.(1)求；(2)若，求面積的最小值.2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄．已知，，，．(1)若，求護(hù)欄的長度（的周長）；(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；(3)當(dāng)為何值時(shí)，魚塘的面積最小，最小面積是多少？3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)雞地，區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄．已知m，m，，﹒(1)若m，求護(hù)欄的長度(的周長)；(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求AM的長；(3)魚塘的面積是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．4．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求A的大小；（2）若，求面積的取值范圍.5．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）中，的面積為.（1）求（2）若為的中點(diǎn)，分別為邊上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求面積的最小值.備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練（新高考版）專題17解三角形（解答題壓軸）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角形中線問題 1二、三角形角平分線問題 5三、三角形周長（邊長）（定值） 13四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題） 18五、三角形面積（定值） 29六、三角形面積（最值，范圍問題） 38一、三角形中線問題1．（23-24高三上·廣東中山·階段練習(xí)）已知O為△ABC的外心，BC=6,BO?AC=4，當(dāng)【答案】15【分析】作出圖形，利用平面向量的運(yùn)算得到a2?c2=8【詳解】取AC中點(diǎn)D，連接OD、BD，則DO⊥則BO?所以BC2?BA2=8，即a2?則cosC當(dāng)且僅當(dāng)b2=8，即b=22同時(shí)a2=b所以AB邊上中線長為CE=A故答案為：15.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用面向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化BO?AC，得到2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知向量a=?3,sinA，b=（1）求角A的大小；（2）若ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=14，b=10，求邊BC上的中線AD的長.【答案】（1）A=2π3【解析】（1）根據(jù)向量共線坐標(biāo)所滿足的關(guān)系可得?3cosA=sin（2）根據(jù)A=2π3，可以求得sinA=32，根據(jù)題中所給的三角形的邊長，以及正弦定理可得sinB=b【詳解】（1）因?yàn)閍//b，所以?3因?yàn)?<A<π，所以A=2π（2）因?yàn)锳=2π3，所以sinA=3所以在ΔABC中，由正弦定理，可得sinB=b所以在ΔABC中，cosC在ΔABC中，由余弦定理，可得c2=b在ΔABD中，由余弦定理，得AD所以AD=19【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點(diǎn)有向量共線坐標(biāo)所滿足的條件，正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，余弦定理，屬于較難題目.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos(1)若△ABC的面積為，求a的最小值；(2)若A=π3，BC邊上的中線長為52，且△ABC的外接圓半徑為，求【答案】(1)1(2)3+33【分析】（1）由acosC+3asinC?b?c=0和（2）由△ABC的外接圓半徑為，結(jié)合正弦定理可得a=3.由BC的中點(diǎn)為E，可得c2【詳解】（1）a?a又12bcsin又A∈0,π，則A=π3又cosA=b則1=b2+c2?a2≥2bc?（2）由正弦定理得a=23設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則AE=12即52由余弦定理得a2①－②得bc=8，又a2=(b+c)故△ABC的周長為．4．（2024·四川）在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c，且滿足cosC（1）求角B;（2）若△ABC外接圓的半徑為，且AC邊上的中線長為172，求△ABC【答案】（1）π3；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；（2）由正弦定理得b=3，利用D為中點(diǎn)，結(jié)合向量的加法法則得2BD=BA+BC【詳解】（1）由cosC=a利用正弦定理得：，即2sinBcos∵C∈0,π，∴sinC≠0，∴又∵B∈0,π，∴（2）由正弦定理得bsin設(shè)D為AC邊上的中點(diǎn)，則AD=3利用向量加法法則得：2兩邊平方得：4BD2由余弦定理b2=c兩式相減得8=2ac，即ac=4.由三角形面積公式得：S△【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有sinx（2）若式子含有a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有cosx（4）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（5）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到A+B+C=π.二、三角形角平分線問題1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在△ABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°．點(diǎn)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足OC=mOA+nOB（(1)若m=n=?1，用CA，CB表示OC；(2)若點(diǎn)O為△ABC的外心，求m、n的值；(3)若點(diǎn)O在∠ACB的角平分線上，當(dāng)?12≤n≤?【答案】(1)OC=?(2)m=37，(3)3【分析】（1）OC=mOA+nOB可化簡OC=m(OC+CA)+n(.（2）由點(diǎn)O為△ABC的外心，可得OCCA=?12CA（3）設(shè)CD為∠ACB的平分線，則|CA||CB|=|AD||BD|=26=13，利用平面向量基本定理和共線向量定理可得：【詳解】（1）因?yàn)镺C=mOA+n化簡后可得(1?m?n)OC=mCA若m=n=?1，則OC=?（2）如圖，設(shè)CA,CB的中點(diǎn)分別為E,F，連接，則OE⊥又OCCA=CA又OC·即?12×4=整理得到m+2n=?12m?3n=3，解得m=（3）如圖，CD為∠ACB的平分線，則|CA||CB|所以CD=設(shè)CO=λ故λ(3因?yàn)镃A,CB不共線，故mm+n?1因?yàn)?12≤n≤?14又CO2所以|CO|=3故OC的取值范圍為[3【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理、向量的數(shù)量積，解題時(shí)注意根據(jù)外心、角平分線等幾何性質(zhì)實(shí)現(xiàn)向量計(jì)算時(shí)的轉(zhuǎn)化，本題屬于難題.2．（23-24高一上·湖北咸寧·自主招生）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在線段AD上．(1)若∠BED=①如圖1，若α=90°，AB=AC，過C作于點(diǎn)F，直接寫出BECF的值為②如圖2，若，求的值．(2)如圖3，已知AD為△ABC的角平分線，AE=DE=2，AC=5,tan∠BED=2【答案】(1)2；13?1(2)EB=4【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定計(jì)算即可；構(gòu)造平行，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算即可；（2）構(gòu)造平行線利用等腰三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合已知推出AG，根據(jù)勾股定理計(jì)算FG、CG，再由平行線分線段成比例即可即可.【詳解】（1）①若α=90°，AB=AC，則因?yàn)?，所以∠ABE=90所以△BAE?△ACF，即BE=AF,AE=CF，易知△EFC為等腰直角三角形，則CF=EF=AE=1②如圖所示，過C作CF//BE交AD于F點(diǎn)，取G點(diǎn)滿足CF=CG，根據(jù)題意有∠ABE=所以∠AEB=則△AEB～△CGA，所以CGAE又CF//BE，所以有△DEB～△DFC，即BECF設(shè)CF=x,AE=y，則BE=3x,CG=x=EG,故yx=3x又yx>0，所以故AE（2）

如圖過C作CF//AD交BA延長線于F，延長交FC于G，連接AG，則∠BAD=又AD平分∠BAC，則∠BAD=所以AF=AC=5，又AE=ED，所以CG=FG，所以AG⊥因?yàn)閠an∠所以tan∠GF=A因?yàn)镈E//CG，所以BEBG【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形線段比值問題，通常需要構(gòu)造相似三角形來轉(zhuǎn)化線段關(guān)系，本題第一問第二小問通過構(gòu)造平行線借助“X”型相似及構(gòu)造倍角關(guān)系求線段比值；第二問通過構(gòu)造平行線借助平行線分線段成比例及勾股定理計(jì)算線段長度.3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a(1)求C；(2)若△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，AB＝7，OAB的面積為1534，求【答案】(1)(2)OC=【分析】（1）由正余弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，據(jù)此求解；（2）由三角形面積公式及余弦定理求出，再由定理及正弦定理求解即可.【詳解】（1）由a2+b有acos又由正弦定理，有sinA有sinA+BsinC=3又由C∈0,π，可得（2）由，有∠OAB+∠可得∠AOB=π?在△OAB中，由△OAB的面積為1534，有可得AO×OB=15，又由余弦定理及AB＝7，有AO有AO+BO2代入AO×OB=15，有AO＋BO＝8，聯(lián)立AO+BO=8,AO×OB=15,解得AO=3,BO=5,由對稱性不妨設(shè)AO=3,在△OAB中，有cos∠OAB=3又由OA為角A的角平分線，有sin∠在△OAC中，由正弦定理有OAsin∠ACO可得OC=154．（23-24高一下·安徽蕪湖·期中）已知△ABC的內(nèi)角的對邊為a,b,c，且3sinA(1)求sinA(2)若△ABC的面積為43（i）已知E為BC的中點(diǎn)，求△ABC底邊BC上中線AE長的最小值；（ii）求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值.【答案】(1)2(2)（i）263【分析】（1）由正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再用余弦定理求出cosA，進(jìn)而求出sin（2）由三角形的面積公式12bcsinA=43（3）由于S△ADB+S△ADC=S△ABC，可得AD【詳解】（1）由正弦定理，得3a?bc=故cosA=c2+所以sinA（2）（i）由（1）知sinA=223由三角形的面積公式得：12bcsin由于E為BC的中點(diǎn)，則AE=AE由基本不等式可得：14c2所以AE2≥83?（ii）因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以sin∠由于S△所以12由于sinA2≠0由于cosA又bc=4，所以ADc+b由于b+c≥2bc=4（當(dāng)且僅當(dāng)故86故AD≤263，即角平分線5．（23-24高一下·重慶·期末）在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c，且sin2A(1)求C；(2)若c=3，a+b=6，求邊AB上的角平分線(3)若△ABC為銳角三角形，點(diǎn)F為△ABC的垂心，CF=6，求3CF?AF【答案】(1)π(2)2(3)1【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理求出ab，再由等面積法計(jì)算可得；（3）延長交BC于M，延長交AC于E，設(shè)∠BCF=θ，θ∈0,π3，分別求出、，再根據(jù)三角恒等變換化一，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閟in所以sin由正弦定理得a2則cosC因?yàn)镃∈0,π，所以（2）因?yàn)閏=3，a+b=6，即32=6設(shè)邊AB上的角平分線CD長為x，則S△ABC=1即32=62x，解得x=22（3）延長交BC于M，延長交AC于E，設(shè)∠BCF=θ，θ∈0,π3在Rt△CMF中在△CEB中∠ECB=π3，∠BEC=π在Rt△BMF中BF=MF所以3=，因?yàn)棣取?,π3，所以θ2∈即3CF?AFBF的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.三、三角形周長（邊長）（定值）1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形ABC的內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c，若sinA+CsinA+(1)若B=π6，求(2)點(diǎn)D在邊BC上且AD平分∠BAC，若AD=3，求三角形ABC【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可求B，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）利用面積關(guān)系可得bc=b+c，結(jié)合b2【詳解】（1）由正弦定理可知asin則sinA+C可得bb?c=a+c由余弦定理知cosA且A∈0,π，可得A=由B=π6知可知△ABC為直角三角形，所以c=a（2）點(diǎn)D在邊BC上且AD平分∠BAC，可知S△則12即12bcsin6又因?yàn)閎2+c2?a①代入②得到(b+c)2?3b+c?4=0所以△ABC的周長為a+b+c=2+4=6.2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且acos(1)求A；(2)若a=3，且△ABC的面積為3164【答案】(1)A=(2)3+【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角公式即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得4b【詳解】（1）由正弦定理可得sinA所以sinA即sinB因?yàn)?<B<π，所以sin所以3sinA?cosA又由0<A<π，可得?故A?π6=（2）由已知可得，S=1可得4b2?4bc+c2又由余弦定理可得a2=3聯(lián)立解得b=1,c=2，所以△ABC的周長為3．（23-24高二下·四川涼山·期末）在△ABC中，角的對邊分別為．(1)求C；(2)若△ABC的面積邊上的中線CD=7，求△ABC【答案】(1)(2)6+2【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可得sinB（2）利用面積公式可得ab=8，根據(jù)中線性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積可得a2【詳解】（1）因?yàn)?，整理可得bcosC由正弦定理可得sinB又因?yàn)閟inB即sinA=2sinAcosC，且即cosC=12，且（2）因?yàn)椤鰽BC的面積S=12ab又因?yàn)镃D為AB邊上的中線，則2AD可得4CD則28=a2+可得a+b2=a由余弦定理可得：c2=a所以△ABC的周長為a+b+c=6+234．（23-24高一下·四川成都·期末）在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c，△ABC的外接圓半徑為，且abc?2cb(1)證明：A?B=π(2)若B=π6，△ABC的面積為2+3【答案】(1)證明見解析(2)2+2【分析】（1）由余弦定理、正弦定理、兩角差的正弦展開式得sinA?（2）令a=6+2k,b=2k，再利用【詳解】（1）由abc?2可得abc?2cb又由正弦定理asinA=即sinA?cos可得A?π4=B或A?π4所以A?B=π（2）因?yàn)锽=π6，所以A=5π12，C=π?A?B=5πsin=2所以ab令a=6+2S=2+解得k=1，因此△ABCa+b+c=(65．（23-24高一下·廣東深圳·期中）已知在△ABC中，角所對的邊分別為a，b，c，且c?acos(1)求角A的大??；(2)若a=23，△ABC的面積為，求△ABC【答案】(1)π(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得cosAsinB=3（2）由（1）和余弦定理，得到b+c2?3bc=12，再由△ABC的面積為，求得bc=4，得到b+c=26，進(jìn)而求得【詳解】（1）解：因?yàn)閏?acosB=又因?yàn)镃=π?(A+B)，可得，所以cosA因?yàn)锽∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosA又因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π（2）解：由（1）知A=π3，且根據(jù)余弦定理得a2=b又因?yàn)椤鰽BC的面積為，可得S△ABC=12所以b+c2=24，可得b+c=26，所以△ABC四、三角形周長（邊長）（最值，范圍問題）1．（23-24高一下·北京大興·期末）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求∠B(2)若b=3（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求△ABC條件①：a=6；條件②：a=2c；條件③：sin（ii）求△ABC【答案】(1)π(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角化簡得tanB（2）（i）選擇條件①利用正弦定理計(jì)算判斷三角形不唯一；，選擇條件②，利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算求解；選擇條件③，利用正弦定理計(jì)算判斷，再求出三角形面積；（ii）利用余弦定理及基本不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）由可得,因?yàn)樵凇鰽BC中，所以sinB=即tanB=3，因?yàn)锽∈（2）（i）若選條件①a=6，結(jié)合（1）∠B=π3由正弦定理asinA=則滿足條件的三角形不存在，故不能選條件①，若選條件②：a=2c，結(jié)合（1）∠B=π3及由余弦定理b2=a2+易知a=2c=2，故此時(shí)滿足條件的三角形唯一.所以.若選條件③：sinC=13，結(jié)合（1）因?yàn)閟inC=1由,可得cosC=因?yàn)樵凇鰽BC中A+B=π?C所以sinA易知滿足條件的三角形唯一.由正弦定理asinA=所以S△（ii）由余弦定理b2可得3=a結(jié)合基本不等式ac≤a+c22解得：a+c≤23,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=又在△ABC中易得a+c>b=3所以△ABC周長C△△ABC周長的取值范圍為23【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解對邊對角模型問題中的周長或面積范圍時(shí)常見有2種方法：（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性質(zhì)，進(jìn)行適當(dāng)放縮；（2）利用正弦定理邊化角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題.2．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)P在邊BC上，且3BP=BC，點(diǎn)Q(1)若AQ=λAB+(2)求QA?(3)求△QPC【答案】(1)3(2)?(3)8【分析】（1）結(jié)合圖形，利用平面向量基本定理，以及向量的線性運(yùn)算，即可求解；（2）首先用基底向量AB,AC表示向量和QC（3）首先在△QPC中，設(shè)∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ，再根據(jù)正弦定理，利用三角函數(shù)表示△QPC【詳解】（1）由題意BP=13BC，即AP?AB=設(shè)AQ=m又∵BC=AC即23mAB所以23m=λ?1131（2）因?yàn)锳B?由（1）知AP=23QC=所以QA=?=?2設(shè)fm當(dāng)m=37時(shí)，所以QA?QC的最小值為（3）在△ABP中，AP2=4+在△QPC中，設(shè)∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ在△ABP中，ABsin(π?θ)=APsinπ在△QPC中，PQsinα=∴PQ=所以△QPC?的周長l=PQ+CQ+PC=4∵sinα=令f(β)=cosf(β)=cosβ+1在中，，AC=2，，∠ACB=π3，∴APsin∠ACB=又∵sintan∠CAP=32，設(shè)即3x2+4x?3=0，x>0tanθ=33，設(shè)tan即33t2+2t?33=0，?2+7?1+27所以?1+27因此△QPC?的周長的取值范圍是83【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的表示即運(yùn)算，以及三角函數(shù)的性質(zhì)和解三角形的綜合應(yīng)用問題，第三問是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是將周長表示為關(guān)于β的三角函數(shù).3．（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c，且acosC(1)求角B的取值范圍；(2)已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于32，求△【答案】(1)0,(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理可得sinAcosC+3（2）由三角形的面積可求得a=?b?c+bc，結(jié)合余弦定理可得(bc)2?2bc(b+c)+(b+c)2△ABC的周長L=a+b+c=b2+c2?2bccosA+b+c【詳解】（1）∵由正弦定理得：sinA∴sinAcos∴3∵sin∵?π6<A?π6∴角B的取值范圍是0,2π（2）∵S=∴a+b+c=bc，即a=?b?c+bc，由余弦定理得：a2∴(bc∴bc=2b+c?3.∵bc≤b+c22∴2(b+c)?3≤(b+c)24,設(shè)△ABC與圓內(nèi)切于點(diǎn)D,E,F，則AD=AF=rtan∴b+c=AC+AB>AD+AF=3∴b+c≥6（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號）.△ABC的周長L=a+b+c=b==32(b+c)≥9∴L∵c=AB>DB=∴B→0時(shí)，c→+∞，L→+∞,∴△ABC的周長的取值范圍是.4．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c=2，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D(1)若b=1，，求AD的長度；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC周長的取值范圍．【答案】(1)AD=(2)(2+2【分析】（1）方法一：由關(guān)系S△方法二：由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式證明ABAC=BDCD，再由向量線性運(yùn)算可得（2）由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡求C，結(jié)合正弦定理利用角A表示a+b，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求a+b的范圍，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）方法一：因?yàn)锳D為∠BAC的角平分線，∠BAC=6所以∠BAD=因?yàn)镾所以12×2×1×所以AD=23法二：設(shè)三角形△ABC的邊BC上的高為，因?yàn)锳D為∠BAC所以S△所以BD=2DC，所以所以AD=1因?yàn)閎=1，c=2，所以AD2所以AD=2（2）在△ABC中，由正弦定理得，2a所以2sinA又sin(C+B)=sin又sin所以cosC=12，又C在△ABC中，由正弦定理得，，所以

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以，于是π6<A<所以A+π所以sin(A+π6所以三角形△ABC周長的取值范圍為2+235．（23-24高一下·江蘇泰州·期末）在△ABC中，角的對邊分別為a，b，c，已知1+cosA(1)當(dāng)C=π2時(shí)，求(2)當(dāng)a=1時(shí)，求△ABC【答案】(1)tan(2)5【分析】（1）根據(jù)題意借助于倍角公式整理得，再結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解；（2）以內(nèi)切圓為基礎(chǔ)，設(shè)，進(jìn)而可得AD=OBsinθ+cos【詳解】（1）因?yàn)?+cosAsin可得，又因?yàn)镃=π2，則所以1tan解得tanA（2）設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的圓心為O，圓O與邊AB切于點(diǎn)D，連接OA,OB,OD，設(shè)△ABC周長為l，∠OBD=θ可得OD=OBsin由（1）可知：，即1ODAD整理得AD=BD+OD=OBsin可得AB=AD+BD=OBsin根據(jù)等面積法可得12即12整理得l=sin其中tanφ當(dāng)2θ+φ=π2，即tan2θ=tan所以△ABC周長的最大值為5+2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題注意到，故借助于內(nèi)切球的性質(zhì)建立邊角關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)算求解.6．（2024·湖南長沙·一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC【答案】(1)π(2)3+【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到a2+c（2）根據(jù)正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cos【詳解】（1）sinA?sin即a2由余弦定理得：cosB因?yàn)锽∈所以B=π（2）銳角△ABC中，a=2，B=π由正弦定理得：2sin故b=1則b+c==3因?yàn)殇J角△ABC中，B=π則A∈0,π2解得：A∈故tanA∈3則1tan故b+c∈1+3所以三角形周長的取值范圍是3+3【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值五、三角形面積（定值）1．（23-24高一下·山東棗莊·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=ccosB(1)證明：△ABC(2)若A=60°，a=1，∠BPC=150°，求PA的最小值；(3)若cos∠BAC=35，∠PAB=∠PBC=∠PCA，【答案】(1)證明見解析(2)3(3)4【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得；（2）設(shè)，0<α<π6，在△PBC中利用正弦定理表示出PC，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等變換公式化為α的三角函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）設(shè)∠BAC=θ，即可求出，sinθ，由余弦定理得到BC=2ABsinθ2，再由三角形相似得到PB=2PA【詳解】（1）因?yàn)閎cos由正弦定理可得sinBcosC又B,C∈0,π，所以B?C∈?π,π，所以B?C=0，即B=C，則所以△ABC（2）依題意可得△ABC是邊長為1的等邊三角形，在△PBC中，設(shè)，0<α<π由正弦定理PCsin∠PBC在中∠PCA=π由余弦定理P==4=6=31?因?yàn)?<α<π6，所以π3<2α+π3<此時(shí)PA2min（3）設(shè)∠BAC=θ，則cosθ=1?2sin所以sinθ2=在△ABC中，由余弦定理及AB=AC可得B=2AB所以BC=2ABsin由∠ABC=∠ACB=π?θ2=所以∠PBA=∠PCB，又∠PAB=所以△PAB所以PAPB所以PB=2PAsinθ2而∠BPC=π?∠PBC?∠PCB=π?∠所以S=4PA【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解答的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)，第三問關(guān)鍵是利用整體思想轉(zhuǎn)化為θ2、θ2．（23-24高一下·重慶·期末）平面四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=(1)求BD；(2)求四邊形ABCD周長的取值范圍；(3)若E為邊BD上一點(diǎn)，且滿足CE=BE，S△BCE=2S【答案】(1)7(2)3+(3)7【分析】（1）首先求出∠BAD（2）在△BCD中利用余弦定理及基本不等式求出CB?CD的取值范圍，即可求出CB+CD的范圍，即可求出四邊形ABCD周長的取值范圍；（3）依題意可得BE=2ED，即可求出、CE、ED，再由余弦定理求出CB=2CD，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椤螦BC+∠ADC=π，∠BCD=π3，所以在△BCD中由余弦定理BD==1（2）在△BCD中BD即7=CB所以CB2+CD2又CB+CD2則7<7+3CB?CD≤28，即7<CB+CD2≤28所以CABCD即四邊形ABCD周長的取值范圍為3+7（3）因?yàn)镾△BCE=2S△CDE，所以所以BE=23BC=273，在△BCE中由余弦定理CB即C在△DCE中由余弦定理CD即CD又∠CEB+∠CED=π，所以cos∠所以CB又7=CB2+C即CB2=2CB?CD所以CD2=所以S△.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第3小問的解決關(guān)鍵是利用余弦定理得到CB3．（23-24高一下·浙江溫州·期末）在△ABC中，AB=4，AC=2，sin2(1)求A；(2)D為邊AC的中點(diǎn)，E為邊BC上一點(diǎn)，AE交BD于P.（i）若E為BC的中點(diǎn)，求∠DPE（ii）當(dāng)AE⊥BD時(shí)，求△PBC【答案】(1)A=(2)（i）?27【分析】（1）由正弦定理角化邊，在結(jié)合余弦定理即可求解；（2）（i）分解向量得AE=12AB+12AC，BD=?AB+【詳解】（1）因?yàn)閟in2A?sin2所以cosA因?yàn)锳∈所以A=2π（2）（i）若E為BC的中點(diǎn)，D為邊AC的中點(diǎn)，則AE=12從而AE=BD=AE=?1所以cos∠所以∠DPE的余弦值為?2（ii）由（2）（i）可知，BD=?因?yàn)锽,C,E三點(diǎn)共線，所以可設(shè)AE=λ當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AE=?λ=?16λ?6λ+4+2?2λ=?24λ+6=0，所以λ=1所以AE=因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線，所以設(shè)AP=μ因?yàn)榕cAP是共線向量，且AC與AB不共線，所以3μ=1?μ2，解得所以AP=17所以點(diǎn)P到BC的距離與點(diǎn)A到BC的距離之比為3sin所以△PBC的面積為S【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問（ii）的關(guān)鍵是得出PEAE4．（23-24高三上·山東青島·期中）在△ABC，中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos(1)求角B；(2)已知點(diǎn)D在AC邊上，且AD=2DC,AB=6,BD=27，求△【答案】(1)π(2)9【分析】（1）由正弦定理可得sinBcosC+3（2）在△ABC中由余弦定理建立等式，再利用cos∠ADB+cos【詳解】（1）因?yàn)閏osC由正弦定理可得sinB因?yàn)锳=π?B?C，所以sinA所以3sin因?yàn)?<C<π，則sinC>0，所以3sinB=又0<B<π，所以B?π6=（2）由題意設(shè)CD=x，AD=2x，BC=y，由（1）得B=π在△ABC中由余弦定理可得，cosB因?yàn)椤螦DB+∠BDC=π，所以cos∠即27聯(lián)立①②，解得x=2y=6則AC=3x=6，BC=6，△ABC所以S△ABC=12AB?BC.5．（2024·吉林·模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角的對邊分別是a,b,c，且sinA?(1)求角B的大??；(2)若b=3，D為AC邊上一點(diǎn)，，且BD為∠B的平分線，求△ABC的面積．【答案】(1)B=π(2)33【分析】（1）先利用正弦定理，角化邊，再利用余弦定理求角B即可；（2）利用等面積法S△ABC=S△ABD+【詳解】（1）因?yàn)閟inA?sin化簡得b2所以由余弦定理得cosB=a所以B=π（2）如圖所示因?yàn)镾△ABC=S化簡得BA+BC=3又由余弦定理得AC2=B①②聯(lián)立解得BA×BC=?2（舍去）或6，所以S△6．（23-24高一下·甘肅定西·階段練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．且2sin(1)求角B的大?。?2)求sinA(3)若C=π2，BC=2，O為BC中點(diǎn)，P為線段AO上一點(diǎn)，且滿足BP?CP=0．求AP【答案】(1)B=(2)sin(3)AP=13?1，△BPC的面積S【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理求解即可；（2）根據(jù)（1）可得A+C=2π3，得到（3）先根據(jù)直角三角形中的關(guān)系求解得AP=13?1，再設(shè)∠OCP=α，推導(dǎo)可得S=sin【詳解】（1）由正弦定理及2sinA?即2ac?1=2a2又B∈0,π，故B=（2）由（1）知，A+C=2π故sin=3又0<A<2π3，則π6故sinA（3）∵BP?CP=0，∴PB⊥PC，∵BC=2，O為BC中點(diǎn)，∵a=2，∴AC=23，AB=4，∴AO=23設(shè)∠OCP=α，則∠COP=π?2α∴sinα=PB∴S=1在直角△ACO中，sin∠∴當(dāng)AP=13?1時(shí)，△BPC的面積S為六、三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024·四川達(dá)州·二模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，bcos(1)求tanB(2)若bc=3，求△ABC面積S的最小值.【答案】(1)1(2)2【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式化簡可得出2sinBsin（2）分析可知B、C均為銳角，利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可得出tanA≤?2，求出sin【詳解】（1）解：∵b∴b由正弦定理得sinB∴sin因?yàn)?<A<π，則sinA∵A+B+C=π，sinB+C則cosA所以，cosA=cos所以，2sin∴2sinBsin（2）解：由（1）得tanB若tanB<0tanC<0，則B所以，tanB>0，tanC>0，此時(shí)∴tan當(dāng)且僅當(dāng)tanB=tan∵tanA≤?22，則由，解得sinπ?A≥22當(dāng)且僅當(dāng)tanB∵bc=3，∴S=因此，△ABC面積的最小值為2.2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：△BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)