中考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題：拋物線之直角三角形（含解析）

中考數(shù)學(xué)拋物線壓軸題之直角三角形

1.如圖，拋物線y=-x，bx+c的圖象與x軸交于A(-4,0)和點(diǎn)B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)

稱軸是x=-1與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P(m,n)為拋物線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)P作PE〃x軸，交拋物線的對(duì)稱軸x=-1于

點(diǎn)E,作PFLx軸于點(diǎn)F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周長的最大值；

(3)點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸x=-l上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)Q,B,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x?+bx+c過A,B,C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的

坐標(biāo)是(0,-3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)的拋物線上，過動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)I),交x軸于點(diǎn)E,垂足為

E,求線段PD的長，當(dāng)線段PD最長時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)是否存在點(diǎn)P,使得4ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，說明理由.

3.如圖，拋物線y=ax4bx+3經(jīng)過點(diǎn)B(-1,0),C(2,3),拋物線與y軸的交點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)交

點(diǎn)為D,點(diǎn)M為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)M作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)線段PM的長為1,當(dāng)t為何值時(shí)，1的長最大，并求最

大值；(先根據(jù)題目畫圖，再計(jì)算)

(3)在(2)的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，^PAD的面積最大？并求最大值；

(4)在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,使4PAD為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說

明理由.

4.如圖，拋物線y=ax'+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、C(0,3)、B(2,3)

(1)求拋物線的解析式；

(2)線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的最大值；

(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使AABM為直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在,

說明理由(4個(gè)坐標(biāo)).

5.如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)0為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,0）.拋物線y=-&x=bx+c

9

經(jīng)過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=

m,△CPQ的面積為S.

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y=-gx，bx+c的對(duì)稱軸1上，若存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫出

9

所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.如圖，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x'+bx+c(c>0)的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,且0B=0C=3,頂點(diǎn)為M.

(1)求出二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)點(diǎn)P為線段MB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD,垂足為D.若OD=m,4PCD的面積為S,求

S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；

(3)探索線段MB上是否存在點(diǎn)P,使得4PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)

說明理由.

7.如圖，已知拋物線y=-x?+4x+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C、B不重合)過點(diǎn)D作DF，x軸于點(diǎn)F,交直線BC于

點(diǎn)E,連接BD,直線BC把ABDE的面積分成兩部分，使SABOE:$ABEF=2：3,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(4)若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

8.如圖，拋物線y=axJ+bx-4a(aWO)經(jīng)過A(-1,0)、C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B,連接AC,

BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)I),連接BD,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且NDBP=45°,求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得由點(diǎn)M,A,C構(gòu)成的△MAC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

備用圖

9.如圖，直線AB經(jīng)過x軸上一點(diǎn)A(3,0),且與拋物線y=ax?+l相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,

2).

(1)求拋物線和直線AB的解析式;

(2)若點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，且D在直線BC下方，若求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M,問在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△PMC是以MC為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

10.如圖，拋物線y=ax"-2ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,-2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-—),與x軸交于A、

3

B兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)連接AC,E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△A0CS/IAEB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和細(xì)■的值.

AB

(3)點(diǎn)F(0,y)是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)y為何值時(shí)，近TC+BF的值最小.并求出這個(gè)最小值.

5

(4)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H,當(dāng)近?FC+BF取最小值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使AQIIF

5

是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

11.已知拋物線1：y=ax2+bx+c（a,b,c均不為0）的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,我們稱以N為頂點(diǎn),

對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線1的衍生拋物線，直線MN為拋物線1的衍生直線.

（1）如圖，拋物線y=2x?-2x-3的衍生拋物線的解析式是,衍生直線的解析式是；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=-2X2+1和y=-2x+l,求這條拋物線的解析式；

（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=2x、2x-3的頂點(diǎn)為M,與y軸交點(diǎn)為N,將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N

旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n,P是直線n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使△P0M

為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.如圖1,拋物線y=ax°+bx+6與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,直線

AD交y軸于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖2,將AAOE沿直線AD平移得到△NMP.

①當(dāng)點(diǎn)M落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

②在aNMP移動(dòng)過程中，存在點(diǎn)M使AMBD為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

13.如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(-2,3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,其頂

點(diǎn)為D

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AAPC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)M,使△AMN為直角三角形，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

14.如圖，已知直線=-2x+m與拋物線y=ax，'+bx+c相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(l,4)為拋物線的頂點(diǎn),

點(diǎn)B在x軸上.

(1)求m的值；

(2)求拋物線的解析式；

(3)若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)4ABP為直角三角形時(shí)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

15.如圖，拋物線y=&x?』x+3與X軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)

55

BC.

(1)如圖1,點(diǎn)N為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于直線BC上方，連接CN、BN.點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)

△NBC面積取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及ANBC面積的最大值，并求此時(shí)PN+CP的最小值；

(2)如圖2,點(diǎn)M、P分別為線段BC和線段0B上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PC,是否存在這樣的點(diǎn)P,使APCM為

等腰三角形，△PMB為直角三角形同時(shí)成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.如圖，拋物線y=-x°+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為其頂點(diǎn)，對(duì)

稱軸1與x軸交于點(diǎn)D,拋物線上C、E兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸1對(duì)稱.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)G是線段0C上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)G,使AODG與4CGE相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G坐標(biāo)，

若不存在請(qǐng)說明理由.

(3)平移拋物線，其頂點(diǎn)P在直線y=x+3上運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)后的拋物線與直線y=x+3的另一交點(diǎn)為M,與原

對(duì)稱軸1交于點(diǎn)Q,當(dāng)△PMQ是以PM為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ZkABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A(1,0),B(0,2),二

次函數(shù)y=L2+bx-2的圖象經(jīng)過C點(diǎn).

2

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)平移該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸所在直線1,若直線1恰好將AABC的面積分為1：2兩部分，請(qǐng)求出此

時(shí)直線1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將aABC以AC所在直線為對(duì)稱軸翻折180°,得到aAB'C,那么在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使

△PB'C是以B'C為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.如圖，二次函數(shù)y=ax'-2ax+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸正半軸于

點(diǎn)C,且0B=30A,點(diǎn)D在該函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上.

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若ABDC的最大面積為義工平方單位，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

4

（3）若點(diǎn)D為該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，且ABDC是直角三角形，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

19.如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax'+bx+c相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(l,-4)為拋物線的頂點(diǎn)，

點(diǎn)B在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使APOB與apoc全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

20.關(guān)于x的—?元二次方程x"-mx+m-1=0(mWO)

(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)如圖，如果拋物線y=x,-mx+m-1(m#0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊)，與y軸交于

點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,當(dāng)AABD為直角三角形時(shí)，求m的值.

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得APBC是直角三角形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若

備用圖

21.如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)經(jīng)過A(-2,0),B(2,2),C(0,2)三個(gè)點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的解析式.

(2)若在該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上有個(gè)動(dòng)點(diǎn)D,求當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為何值時(shí)，4ACD的周長最小.

(3)在直線y=x上是否存在一點(diǎn)E,使得4ACE為直角三角形？有，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)；沒有，說明理由.

22.如圖，直線y=-x-2與拋物線分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,且點(diǎn)A在y軸上，拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,

1).

(2)點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，射線PM〃x軸并與直線BC和拋物線分別交于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)P作PELx軸于

點(diǎn)E,當(dāng)PE與PM的乘積最大時(shí)，在y軸上找一點(diǎn)Q,使IPQ-CQI的值最大，求|PQ-CQ的最大值和此時(shí)Q

的坐標(biāo);

(3)在拋物線上找一點(diǎn)1),使△ABD為直角三角形，求D點(diǎn)的坐標(biāo).

23.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-l,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)拋物線y=ax、bx+c的頂點(diǎn)為M：

①求四邊形ABMC的面積；

②點(diǎn)D為拋物線在第四象限內(nèi)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)］),使得四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)在拋物線y=ax?+bx+c上求點(diǎn)Q,使aBCQ是以BC為直角邊的直角三角

24.如圖，拋物線y=ax?+bx-4經(jīng)過A(-3,0),B(5,-4)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求證：AB平分NCAO；

(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得aABM是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

25.如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x+3經(jīng)過點(diǎn)

3與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)點(diǎn)P是(1)中的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0<t<3).

①求4PCD的面積的最大值；

②是否存在點(diǎn)P,使得4PCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

26.如圖1,拋物線y=ax'+bx+3交x軸于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0).

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)如圖2,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為F,點(diǎn)D(2,3)在該拋物線上.

①求四邊形ACFD的面積；

②點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)P作PQLx軸交該拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ、DQ,

當(dāng)aAQD是直角三角形時(shí)，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-Lx+2交x軸于點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)A.拋物線y=--x2+bx+c的

32

圖象過點(diǎn)E(-1,0),并與直線相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式(關(guān)系式)；

(2)過點(diǎn)A作ACLAB交x軸于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M,使得aMAB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(3,4)的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)

C的左側(cè))，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)

稱軸1與。C有什么位置關(guān)系，并給出證明；

(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使4ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

29.如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax，bx+c相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(l,-4)為拋物線的頂點(diǎn),

點(diǎn)B在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使APOB與APOC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

30.如圖，拋物線y=ax'+bx+2與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和B(4,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)F是位于x軸上方對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)C〃x軸，與對(duì)稱軸右側(cè)的拋

物線交于點(diǎn)C,且四邊形0ECF是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△OCP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

31.如圖，拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過A(-3,0)、C(0,4),點(diǎn)B在拋物線上，CB〃x軸，且AB平分/CAO.

(1)求拋物線的解析式；

(2)線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的最大值；

(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使aABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；如果不存在，說明理由.

32.如圖，拋物線y=x?+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-3,點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P是

y軸左側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)P作PC_Lx軸于C,交直線AB于D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，S四邊形OBIXESABPD；

(3)是否存在點(diǎn)P,使4PAD是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

33.如圖，拋物線y=-x"+bx+c的圖象與x軸交于A(-4,0)和點(diǎn)B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)

稱軸是x=-1與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P(m,n)為拋物線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)P作PE〃x軸，交拋物線的對(duì)稱軸x=-1于

點(diǎn)E,作PFLx軸于點(diǎn)F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周長的最大值；

(3)點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸x=-l上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)Q,B,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

34.如圖，拋物線y=ax'+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B(-1,0),C(2,3),拋物線與y軸的交點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)

交點(diǎn)為D,點(diǎn)M為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)M作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)線段PM的長為1,當(dāng)t為何值時(shí)，1的長最大，并求最

大值；(先根據(jù)題目畫圖，再計(jì)算)

(3)在(2)的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，^PAD的面積最大？并求最大值；

(4)在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,使4PAD為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說

明理由.

35.已知拋物線1：y=axJ+bx+c（a,b,c均不為0）的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,我們稱以N為頂點(diǎn),

對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線1的衍生拋物線，直線MN為拋物線1的衍生直線.

（1）如圖，拋物線y=2x?-2x-3的衍生拋物線的解析式是,衍生直線的解析式是；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=-2X2+1和y=-2x+l,求這條拋物線的解析式；

（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=2x、2x-3的頂點(diǎn)為M,與y軸交點(diǎn)為N,將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N

旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n,P是直線n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使△P0M

為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

36.拋物線y=x'+（m+2）x+4的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線y=x+2與拋物線交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)

B的左側(cè)）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，若S?=2$AABC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將直線AB上下平移，平移后的直線y=x+t與拋物線交于A',B'兩點(diǎn)（A'在B'的左側(cè)），當(dāng)以點(diǎn)A',

B'和（2）中第二象限的點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求t的值.

備用圖

■QQ

解析

1.【解答】解：(1)...拋物線y=-x、bx+c的對(duì)稱軸是x=-1,

--^-=-1,b=-2,

-2

/.y=-x2-2x+c,

把A(-4,0)代入得：-16+8+c=0,

/.c=8,

二拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=-x2-2x+8；

(2);?點(diǎn)P(m,n)為拋物線上一點(diǎn)，且如圖1,

?.■四邊形PEDF是矩形,

二矩形PEDF的周長=2PE+2PF=2(-1-m)+2(-m2-2m+8)=-2m2-6m+14=-2(m+—)

22

V-2<0,

.?.當(dāng)m=-3時(shí)，矩形PEDF的周長有最大值是21；

22

(3)存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)Q,B,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

.點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸x=-1上一點(diǎn)，

???設(shè)Q(-1,y),

由對(duì)稱得：B(2,0),

VC(0,8),

.,.QB?：(2+1)、/=9+,，

QC2=(-1)2+(y-8)2=1+(y-8)2,

BC2=22+82=4+64=68,

分三種情況：

①當(dāng)NQCB=90°時(shí)，QB是斜邊，

.,.QB2=QC2+BC2,

；.9+/=1+(y-8)2+68

解得：y=1L

4

/.Q(-1,—

4

②當(dāng)NQBC=90°時(shí)，QC是斜邊，

,.,QC2=BC2+QB2,

.,.1+(y-8)2=68+9+/,

解得：y=-l,

4

.,.Q(-1,--)；

4

③當(dāng)/BQC=90°時(shí)，BC是斜邊，

,.,BC^BQ^+QC2,

.".68=1+(y-8)2+9+y2,

解得：y=4±7T3?

?'-Q(-1,4+^/13)或(-1,4-

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(-1,—)或(-1,-—)或(-1,4+V13)或(-1,4-V13).

44

2.【解答】解：(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：/9+3b+c=0,解得：fb=-2,

lc=-3lc=-3

故：函數(shù)的表達(dá)式為:y=x?-2x-表,?①；

(2)設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y=kx+b,則：(3k+b=0,

Ib=-3

故直線AC的表達(dá)式為：y=x-3,

設(shè)點(diǎn)P(X,X2-2X-3),則點(diǎn)D(x,x-3),

V-l<0,拋物線開口向下，當(dāng)x=3時(shí)，PD的最大值為9,

24

此時(shí)，點(diǎn)P（3,一至）；

24

（3）存在，理由：

故直線CP的表達(dá)式為：y=-x-3…②，

①②聯(lián)立并解得：x=l或0（舍去x=O）,

故點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,-4）；

②當(dāng)/P'AC=90"時(shí)，

設(shè)直線AP'的表達(dá)式為：y=-x+b,

將x=3,y=O代入并解得：b=3,

故：直線AP'的表達(dá)式為：y=-x+3…③，

聯(lián)立①③并解得：x=-2或3（舍去x=3）,

故：點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（-2,5）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,-4）或（-2,5）.

3.【解答】解：(1)把點(diǎn)B(-1,0),C(2,3)代入y=axZ+bx+3,

則有「廿3=0,

I4a+2b+3=3

解得，

lb=2

二拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)

在y=-x?+2x+3中,令y=0可得0=-x?+2x+3,解得x=-1或x=3,

?.D(3,0),且A(0,3),

二直線AD解析式為y=-x+3,

設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則P(t,-t2+2t+3),M(t,-t+3),

V0<t<3,

...點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，

.\1=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t=-(t--)2+—,

24

.,.當(dāng)t=3時(shí)，i有最大值，i最大=9；

24

(3),.,SAPAD=—XPMX(XD-XA)=WPM,

22

.'PM的值最大時(shí)，APAD的面積中點(diǎn)，最大值=gx9=&

248

：.t=3時(shí)，4PAD的面積的最大值為2工.

28

(4)如圖設(shè)AD的中點(diǎn)為K,設(shè)P(t,-t2+2t+3).

y

4PAD是直角三角形，

當(dāng)NAPD=90°時(shí)，PK=AAD,

2

...(t-3)、(-t?+2t+3-3)2=J1X18,

224

整理得t(t-3)(t2-t-1)=0,

解得t=0或3或出區(qū)，

2

...點(diǎn)P在第一象限，

.1W5

??L1.

2

當(dāng)/PAD=90°,可得P(1,4),

,t=1,

綜上所述，滿足條件的t的值為1或上近.

2

4.【解答】解：(1)...拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、C(0,3)、B(2,3),

a-b+c=0

??<c=3，

4a+2b+c=3

'a=-l

解得，b=2，

c=3

所以，拋物線解析式為y=-x'+2x+3；

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(kWO),

則(i+b=0,

I2k+b=3

解得『=1,

Ib=l

所以，直線AB的解析式為y=x+l,

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,：PQ〃y軸，

二點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x,

.\PQ=(-X2+2X+3)-(x+1),

=-X2+X+2,

=-(x-A)2+9,

24

?..點(diǎn)P在線段AB上，

二-l〈xW2,

??.當(dāng)x=工時(shí)，線段PQ的長度最大，最大值為a；

24

(3)由(1)可知，拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,

①AB是直角邊時(shí)，若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則直線AM的解析式為y=-x-1,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-l-l=-2,

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2),

若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則直線BM的解析式為y=-x+5,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-1+5=4,

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4),

②AB是斜邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m),

則(-1-1)2+m2—4+m2,BM'—(2-1)'+(m-3)2—1+(m-3)

由勾股定理得，AM2+BM2=AB2,

所以，4+m2+l+(m-3)2=(-1-2)2+(0-3)2,

整理得,m2-3m-2=0,

解得歪,

2__

所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,老H豆)或a,3-VT7),

22__

綜上所述，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M(1,-2)或(1,4)或(1,也亙)或(1,主正)，使4ABM

22

為直角三角形.

5.【解答】解：（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

'c=8

■4，

-^X36+6b+c=0

y

解得：｛3,

c=8

二拋物線的解析式為y--Ax2+Ax+8;

93

(2)①?；0A=8,0C=6,

?'-AC=VOA2-H)C2=10,

過點(diǎn)Q作QE±BC與E點(diǎn)，則sin/ACB=QZ=3殳=§

QCAC5

.QE_3,

10-m5

.?.QE=3(10-m),

5

.\S=A.CP*QE=2mx3(10-m)=--^-m2+3m；

22510

②CP?QE=XnX且（10-m）=-^-m2+3m=-（m-5）?+至,

22510102

當(dāng)m=5時(shí)，S取最大值；

在拋物線對(duì)稱軸1上存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形，

???拋物線的解析式為y=-lx2+Ax+8的對(duì)稱軸為x=3,

932

D的坐標(biāo)為（3,8）,Q（3,4）,

當(dāng)/FDQ=90°時(shí)，件（3,8）,

2

當(dāng)NFQD=90°時(shí)，則F?（旦，4）,

2

當(dāng)/DFQ=90°時(shí)，設(shè)F(3,n),

2

則FD2+FQ2=DQ2,

即9+(8-n)2+—+(n-4)2—16,

44

解得：n=6±且，

2_

/.Fa6+區(qū))，F(xiàn)”(旦，6-瓜),

2222

滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為

6+五），F(xiàn),（旦，6-

22冬

/.B(3,0),C(0,3)

.f0=-9+3b+c

,l3=c

解得(b=2l分

1c=3

二二次函數(shù)的解析式為y=-X2+2X+3；

(2)Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

?.M(1,4)

設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n,

則有(4=k+n

10=3k+n

解得“k=-2,

1n=6

二直線MB的解析式為y=-2x+6

；PDJ_x軸，0D=m,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-2m+6)

S—X(-2m+6)?m=-m~+3m(1Wm<3)；

2

(3)...若NPDC是直角，則點(diǎn)C在x軸上，由函數(shù)圖象可知點(diǎn)C在y軸的正半軸上,

.../PDCW90。，

在4PCD中，當(dāng)NDPC=90°時(shí)，

當(dāng)CP/7AB時(shí)，

VPD1AB,

.\CP1PD,

：.PD=0C=3,

.?.P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：3,代入y=-2x+6,

；.x=3,此時(shí)p(3.,3).

22

二線段BM上存在點(diǎn)P(3,3)使APCD為直角三角形.

2

當(dāng)/P'CD'=90°時(shí)，△?)□'s/MVCP',

此時(shí)CD'2=C0?P'D',

即9+i/=3(-2m+6),

mJ+6m-9=0,

解得:m=-3±3*^2>

??TWmV3,

.,.m=3(V2-1)，

：.Pr(3^2-3,12-6^2)

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(慨，3),(3加-3,12-6&).

7.【解答】解：(1)令y=0,則x=-1或5,令x=0,則y=5,

故點(diǎn)A、B、(:的坐標(biāo)分別為：(-1,0)、(5,0),(0,5)；

(2)拋物線的對(duì)稱軸為：x=2,

點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求,

當(dāng)x=2時(shí)，y=3,故點(diǎn)P(2,3)；

(3)設(shè)點(diǎn)D(x,-X2+4X+5),則點(diǎn)E(x,-x+5),

SABDE：SAB￡F=2：3,貝

DF5

9

即.-m+4m+5+irr52

-m2+4m+55

解得：m=2或5(舍去5),

3

故點(diǎn)D(2,毀)；

39

(4)設(shè)點(diǎn)M(2,m),而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：(5,0)、(0,5),

則MB，=9+01?,MC2=4+(m-5)2,BC2=50,

①當(dāng)MB為斜邊時(shí)，則9+m2=4+(m-5)、50,解得：m=7；

②當(dāng)MC為斜邊時(shí)，同理可得：m=-3；

③當(dāng)BC為斜邊時(shí)，同理可得：m=6或-1；

綜上點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2,7)或(2,-3)或(2,6)或(2,-1).

8.【解答】解：(1)-4a=4,解得：a=-1,

則拋物線的表達(dá)式為：y=-x'+bx+4,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b=3,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x?+3x+4…①；

(2)拋物線的對(duì)稱軸為：x=3,點(diǎn)D(3,4),

2

過點(diǎn)D作x軸的垂線交BP于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)G,

過點(diǎn)H作HRJ_BD與點(diǎn)R,

4

設(shè)：HR=BR=x,則DR=4x,

BD=5X=V1+16—A/TZ>X=^^,

5

BH=^2x,BG=1,則GH=J2x2一］=~，

5

故點(diǎn)H（3,—）,而點(diǎn)B（4,0）,

5

同理可得直線HB的表達(dá)式為：y=-3x+衛(wèi)…②，

55

聯(lián)立①②并解得：x=4或-2（舍去4）,

5

故點(diǎn)P（-2,也）；

525

（3）設(shè)點(diǎn)M（3,m）,而點(diǎn)A（-1,0）、點(diǎn)C（0,4）,

2

則人小/=至+?12,CM2=—+（m-4）2,AC2=17,

44

①當(dāng)AM是斜邊時(shí)，至+1））2=且+（m-4）2+17,解得：m=29；

448

②當(dāng)CM是斜邊時(shí)，同理可得：m=-$；

8

③當(dāng)AC是斜邊時(shí)，同理可得：m=$或3；

22

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3,29）或（旦，-1）或（3,回）或（旦，1）.

28282222

9.【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b得：1°=3k+b,解得：（k=-l

12=k+bIb=3

故直線AB的表達(dá)式為：y=-x+3…①，

同理將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：

拋物線的表達(dá)式為：y=x?+l…②；

(2)聯(lián)立①②并解得：x=l或-2,故點(diǎn)C(-2,5),

如圖1,過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)D(x,x2+l),則點(diǎn)H(x,-x+3),

則SABCD=3=LXDHX(XB-XC)=』(-x+3-x2-1)X(1+2),

22

解得：x=1或-2,

故點(diǎn)1)(1,2)或(-2,5)；

(3)如圖2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(0,1),點(diǎn)C(-2,5),

則直線CM函數(shù)表達(dá)式中的k值為：-2,

(I)當(dāng)NPCM=90°時(shí)，

則直線CP的函數(shù)表達(dá)式為：y=』x+m,

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：m=6,

故直線PC的表達(dá)式為：y=^x+6…③，

2

聯(lián)立②③并解得：X=-2或互（舍去-2）,

2

故點(diǎn)p的坐標(biāo)為：（§,空）；

24

（II）當(dāng)NCMP（P'）=90°時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P（P'）（2，區(qū)），

24

綜上，點(diǎn)p的坐標(biāo)為：（5，22）或（工，旦）.

2424

，c=-2（上

10.【解答】解：（1）由題可列方程組：8,解得：|@而

=

Ia-2a+c-737lc=-2r

二拋物線解析式為：y=2--gx-2；

33

（2）如圖1,ZA0C=90°,AC=旄，AB=4,

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,則卜k+b=0,解得：1k=-2

Ib=-2Ib=-2

直線AC的解析式為：y=-2x-2；

當(dāng)△AOCS/XAEB時(shí)

S（

AAOC_/ACx2=泥、2=5

品嬴ABT16'

?"c_i?c____16

?OAAOC1,??3△AEB9

5

A—ABX|yE|=—,AB=4,則yE=-@,

255

則點(diǎn)E（-L,-&）；

55

由△AOCs/XAEB得：地上返

ACAB75

.AE

?----=-娓--;

AB5

(3)如圖2,連接BF,過點(diǎn)F作FGLAC于G,

貝UFG=CFsinZFCG=^CF,

5

...匹CF+BF=GF+BF》BE,

5

當(dāng)折線段BFG與BE重合時(shí)，取得最小值，

由（2）可知/ABE=/ACO

.,.BE=ABCOSZABE=ABCOSZAC0=4X-L=^ZE,

V55

|y|=OBtan/ABE=OBtan/ACO=3X2=3,

22

.?.當(dāng)y=-2時(shí)，即點(diǎn)F（o,-3）,近"CF+BF有最小值為色區(qū);

2255

（4）①當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)（如圖3）：

由（3）易得F（0,-3）,

2

設(shè)Q(l,m),過點(diǎn)Q作QMJ_y軸于點(diǎn)M.

貝(IRtAQHM^RtAFQM

.,.QM2=HM?FM,

.?.「=(2-m)(m+3),

2

解得：m=1土病,

4_

則點(diǎn)Q(1,出旦或(1,土運(yùn))

44

當(dāng)點(diǎn)H為直角頂點(diǎn)時(shí)：

點(diǎn)H(0,2),則點(diǎn)Q(1,2)；

當(dāng)點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)時(shí)：

同理可得：點(diǎn)Q(1,一旦)；

2

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(1,上后1.)或(1,上叵.)或Q(1,2)或Q(1,一旦).

442

11.【解答】解：(1):?拋物線y=2x?-2x-3過(0,-3),

二設(shè)其衍生拋物線為y=ax?-3,

；y=2x2-2x-3=2(x~—)2~—,

22

二衍生拋物線為y=ax?-3過拋物線y=2x?-2x-3的頂點(diǎn)(［，-工)，

22

.7_1Q

24

解得a=-2,

二衍生拋物線為y=-2x2-3.

設(shè)衍生直線為y=kx+b,

：y=kx+b過(0,-3),(1,-4),

.[-3=0+b

I-4=k+b

.(k=-l

"lb=-3'

,衍生直線為y=-x-3.

故答案是：y=-2x?-3；y=-x-3；

(2)I?衍生拋物線和衍生直線兩交點(diǎn)分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點(diǎn),

f2

?二將y=-2x?+l和y=-2x+l聯(lián)立，得,y—2x+1,

y=-2x+l

解得(x=°或卜=1,

Iy=lly=-l

:衍生拋物線y=-2x?+l的頂點(diǎn)為(0,1),

二原拋物線的頂點(diǎn)為(1,-1).

設(shè)原拋物線為y=a(x-1),-I,

Vy=a(x-1)'-1過(0,1),

1=a(0-1)~-1,

解得a—2,

原拋物線為y=2x2