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文檔簡介
平面向量
一、單選題
ab
1.設(shè)二工是非零向量,則[=2^是:=問成立的()
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
ab
由1=2力,可知:[辦方向相同,二;表示方向上的單位向量,由向量相等的
條件,可得出結(jié)論,反之即可判斷出充分條件和必要條件.
【詳解】
解:由[=2??芍篧工方向相同,”=2},
b
表示方向上的單位向量,所以向即立,
a_b
反之,若口一bp可知;,a方向相同,但不一定得出;=2^,即不成立。
—>—>
a_b
所以:=2了是口=月的充分不必要條件.
故選:B.
【點睛】
本題考查了向量相等、單位向量以及充分、必要條件的判斷;判斷,是4的什么條件,
需要從兩方面分析:一是由條件P能否推得條件4;二是由條件9能否推得條件
2.在△A5C中,。為47的中點,若而=4而+〃前,則%+〃=()
124
A.1B.-C.-D.一
233
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)。為AC的中點,即可得出而=,通+'反根據(jù)平面向量基本定理即可得
22
出2,〃的值,從而求出/+〃.
【詳解】
如圖:
0為AC的中點.?.芯=;就=;(的一麗)=;而+;方
又布=49+〃肥
則:a=〃='
2
,4+〃=1
本題正確選項:A
【點睛】
考查向量減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運算,以及平面向量基本定理.
3.下列結(jié)論中正確的是()
①若a//坂且IaH?I,則a=B;
②若a=b>則a//B且Ia1=1〃I;
③若£與]方向相同且|£|=1",則£=石;
④若ZHB,則Z與B方向相反且|a罔
A.①③B.②③
C.③④D.②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的概念和相等向量的基本概念,逐項判定,即可求解.
【詳解】
由題意,對于①中,由7//B,|£|=|B|,則向量£與B同向或反向,當向量Z與石同向
時,可得£=萬,當向量3與石反向時,則所以不正確的;
對于②中,若£=心根據(jù)相等向量的概念,可得Z//B且|£|=出|,所以是正確的;
對于③中,若£與B方向相同且|£|=/|,根據(jù)相等向量的概念,可得£=人所以是正
確的;
對于④中,若根據(jù)向量的概念,則£與方方向不一定相反且不一定罔,
所以不正確.
故選:B.
【點睛】
本題主要考查了向量的基本概念,以及相等向量的基本概念及應(yīng)用,其中解答中熟記向
量的基本概念,逐項判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力.
4.已知向量石的夾角為%,且&=(-1,1),|同=2,貝中Z+石卜()
A.1B.V2C.2D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量6的夾角為%,且五=(一1,1),問=2,可得G的模及a,6的數(shù)量積,
將|24+同平方,代入再開平方即可得結(jié)果.
【詳解】
因為@=
所以同=J5,
又因為G,B的夾角為3萬,同=2,
411
所以12a+同2=4,「+時+4同^cos,,
=8+4-20x2x也=4,
2
\2a+b\=2,故選C.
【點睛】
本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式,屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩
種形式,一是。/=邸卜°$。,二是£?=%為2+%%,主要應(yīng)用以下幾個方面:⑴
八a,b
6,=
求向量的夾角,COSFTM(此時往往用坐標形式求解);(2)求投影,a在
m
ab___
b上的投影是常;(3)4方向量垂直則〃%=0;(4)求向量加Q+的模(平方后
需求)?
5.在直角坐標系xOy中,P,Q為單位圓。上不同的兩點,尸的橫坐標為;,若
_______1
OPOQ=--,則Q的橫坐標是()
-11-1
A.-1B.-1或一一C.一一D.1或一—
222
【答案】B
【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,P3,士*),先檢驗Q(1,O),顯然不符合題意,排除D;
再檢驗Q(-1,0),符合題意,排除c;最后檢驗Q3,士弓),符合題意,
故選:B
6.在邊長為1的正AABC1中,D,E是邊8C的兩個三等分點(??拷邳c3),
而.荏等于()
【答案】C
【解析】
試題分析:如圖,
A
網(wǎng)=|Xc|=L〈通,AC)=6(r
QD,E是邊8c的兩個三等分點,
2可22522
國M
而
++被+
:.ADAE3-=9-9-Ac9-
故選C.
考點:平面向量數(shù)量積的運算
7.已知直線x+y=。與圓/+丁2=4交于A3兩點,。是坐標原點,向量。4、OB
滿足|麗+礪H礪—麗I,則實數(shù)a的值是()
A.2B.-2C.2或一2D.R或一灰
【答案】C
【解析】
試題分析:由|礪+礪H礪一礪I,兩邊平方,得礪?礪=0,所以NAO3=90°,
則AAOB為等腰直角三角形,而圓Y+y2=4的半徑A0=2,則原點。到直線
x+y=a的距離為0,所以夜,即4的值為2或一2.故選C.
'0Vi-+i4
考點:直線與圓的位置關(guān)系
8.已知向量汗=(5,2),5=(-4,-3),若c滿足3。一〃+忑=0,則c=()
A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)
【答案】A
【解析】
【分析】
由32—2B+Z=6得"=2B—3£,再根據(jù)向量的坐標運算法則計算可得.
【詳解】
解::a=(5,2),b=(-4,-3),且c滿足3a—2B+c=6,
c=2h-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).
故選:A
【點睛】
本題考查向量的坐標運算,屬于基礎(chǔ)題.
9.已知向量a=(2,/篦),9=(一1,m),若(2a+1)〃九則卜卜()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
試題分析:由題(21+1)〃否.則2Z=(4,2M,2£+B=(3,3/〃),可得:
3x加=3mx(-1),m-0
a-(2,0),|a|—2.
考點:向量的坐標運算及向量平行的性質(zhì).
10.下列各說法中,其中錯誤的個數(shù)為
⑴向量荏的長度與向量瓦?的長度相等
⑵平行向量就是向量所在直線平行
⑶茄II碗=花(4為篙物
⑷茄-b=0,則在1員5)癡-b=a-c,則i=c
A.2個B.3個C.4個D.5個
【答案】c
【解析】
選C(1)正確(2)因為平行向量是向量所在直線平行或重合,所以此命題錯誤;(3)若
向量B=6,本命題是錯誤命題.(4)沒有說明日花是非零向量,所以此命題也是錯誤的.
(5)若日-b=d-^再加上<a,b>=<a,c>,b=,才成立.因而此命題也是錯誤的.故錯
誤命題共有四個.
11.如圖,在AABC中,。是A8的中點,E在邊AC上,AE=3EC,CD與BE交
于點0,貝Uk=()
OE
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)向量共線定理設(shè)60=九①,再根據(jù)向量的中點公式以及題意可得,
CO^-CB+2ACE,由三點共線的性質(zhì)可求得;I,然后利用向量減法運算可得
2
BO=4OE'即解出.
【詳解】
CO=ACD=2-CB+-CA\=-CB+-CA=-CB+2ACE,
(22J222
因為。,8,E三點共線,所以4+24=1,解得:2=-
25
所以函=[函+[醞,即((加一而)=[(摩—函),所以麗=4礪,所以
BO
——=4A.
0E
故選:C.
【點睛】
本題主要考查向量共線定理以及其推論的應(yīng)用,向量中點公式的應(yīng)用,以及向量的線性
運算,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學運算能力,屬于中檔題.
12.已知向量《,生是兩個不共線的向量,若4=2?]-02,與5=家+41共線,則尤的
值為
A.--B.-2C.-D.2
22
【答案】A
【解析】
【分析】
【詳解】
向量共線,則存在實數(shù)〃滿足:2冢一1=〃(1+/1可,
〃二21
據(jù)此可得:{:?,解得:2=--.
z//=-l2
本題選擇A選項.
二、填空題
13.已知向量d=(九2加-1),6=(1,-2),若£//萬,貝4G+沙|=
【答案】3石
【解析】
分析:根據(jù)出//6,建立方程求出m,
詳解:..?向量&=(根,2加-1),5=(1,-2),且也//萬,
,-2m=2m-l,解得根=;,7=(;,一;)
.,.4G+25=(3,—6),|45+2^|=732+(-6)2=3>/5
故答案為3相.
點睛:本題考查兩個向量共線的性質(zhì),兩個向量的線性運算以及向量模的計算,屬于基
礎(chǔ)題.
14.已知向量1=(1,—1),5=(—2,3),且—mb),則m=.
2
【答案】—m
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的坐標運算,代入可得々-m5,結(jié)合向量垂直的坐標關(guān)系,即可求得加
的值.
【詳解】
向量M=5=(-2,3),
根據(jù)向量的坐標運算可知癡=(1+2萬一1-3根),
由平面向量的垂直關(guān)系可知無(萬一而)=0,即(1,-1>(1+2相,一1-3加)=0,
2
所以1+2m4-1+3m=0?解得加=—,
5
2
故答案為:-
【點睛】
本題考查了平面向量的坐標運算,向量垂直的坐標關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
式
15.已知向量/;=(0,1),\a\=2,且5的夾角若5—2B|=M5I,則實數(shù)九
的值為.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用向量的運算律求出|£-2W2,進而求出|£-2加,|司=1,即可求出結(jié)論.
【詳解】
辦=(O,l),.[b]=1,|a-2b『=a-4a-〃+4〃=8-4xlx2xcos§=4,
\a-2b\=2=A\b\=A.
故答案為:2.
【點睛】
本題考查向量的模長,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.
2
16.已知0為單位向量,同=4,1與々的夾角為:瓦,則M在々方向上的投影為.
【答案】-2
【解析】
2
試題分析:因為,々為單位向量,同=4,方與己的夾角為:乃,所以,方在G方向上的
24
投影為Ia|cos(a,e^=4|a|cos-^-=—2.
考點:平面向量的夾角,向量的投影.
點評:中檔題,理解M在G方向上的投影為|A|COS(N,4,關(guān)鍵是求COS(A,0.
三、解答題
17.已知向量@=,向量5=(加一1,2),且若(汗_5)_1_4.
(I)求實數(shù)團的值;
(II)求向量乙,5的夾角。的大小.
【答案1(1)m=\;(II)Y
4
【解析】
【分析】
(I)先求出a-方的坐標,然后根據(jù)兩向量垂直的坐標關(guān)系建立等式,從而可求出m的
值;
(H)根據(jù)(I)先求出向量£范的坐標,然后根據(jù)向量的夾角公式進行求解即可.
【詳解】
(I)由已知得,a-b=(2-m,m-2),且mW2,又(Z-E)J_W,則(W-E).Z=&
即(2-m)X1+(m-2)Xm=0,解得m=l或m=2(舍去),Am=l
(ID由(I)得彳=(1,1),E=(0,2),.?-()二廠:%掾
兀
又ee[o,JT],e=—,
4
【點睛】
本題考查了利用數(shù)量積判定兩向量的垂直關(guān)系,以及數(shù)量積表示兩個向量的夾角,同時
考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.
18.已知A(l,2)、8(—3,—4)、C(2,1kO(x,—2).
(1)證明:aB、c三點共線;
(2)若ND48=W,求x的值.
【答案】(1)詳見解析(2)7
【解析】
【分析】
(1)計算斜率心B、七c,利用心8=攵死證明4B、C三點共線;
(2)由ZDAB=會知福通=0,列方程求出x的值.
【詳解】
解:⑴證明:A(l,2),B(—3,Y),。(嗎,
通=(-4,-6),衣有通=_4就
.?.A、B、。三點共線;
⑵由麗=(y-6),而=(—),
TT
若ND4B=5,則AAA方=0,
即Y(x-l)+24=0,解得X=7,
的值為7.
【點睛】
本題主要考查了三點共線的判斷問題,也考查了直線垂直的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.
19.
已知0<a<?,夕為/(x)=cos[2x+?J的最小正周期,向量
、
a=tanla+—,一1,b=(cosa,2),且。力=〃?(,”為實常數(shù)).求
2cos2a+sin2(a+,)的值
cosa-sinar
【答案】2(2+〃?)
【解析】
【分析】
由三角函數(shù)性質(zhì)求得周期尸=%,由數(shù)量積的坐標運算計算£石,建立依力,根的關(guān)系
式,由誘導(dǎo)公式,正弦的二倍角公式化簡待求式2c°s-*+sin2(a+/7),再由同角關(guān)
cosa-sina
系式化弦為切,結(jié)合兩角和的正切公式可化2cos-"+sin2(a+£)為
cosa-sina
2cosa-tan(a+;J,而這又由£石得到了,結(jié)論得出.
【詳解】
解:因為夕為了(%)cos2x+—的最小正周期,故尸=兀.
I8
因;.1=加,又〃?B=cosa.tana+—0-2.故cosaTana+—/?=〃z+2.
兀12cos2a+sin2(a+£)2cos2a+sin(2a+2K)
由于Ova<一,所以--------------------匕=---------------------
4cosa-Sinarcosa-sina
2cos2a+sin2a2cosa(cosa+sina)
cosa-sinacosa-sina
八1+tana
=2cosa-=---2--c-o--s-(7--tanIor+1=2(2+m).
1-tana
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的周期,平面向量的數(shù)量積的坐標運算,二倍角公式,同角間的三角
函數(shù)關(guān)系,兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式,考查的知識點較多,這對學生的要求就較高.要
求我們掌握每一個知識點,否則不可能得出正確的答案.
20.設(shè)已知向量不=(J^sina,夜)出=l,cosa—且£_1_石.
(1)求tan(a+?)的值;
(2)求cos(2a+^1^的值.
【答案】(1)tan(a+&]=巫(2)近一屈
16)58
【解析】
【分析】
|=手,進一步得到
(1)由已知結(jié)合數(shù)量積的坐標運算求得+菅
cos\a+—\=----,則答案可求
16J4
7171
(2)由(1)利用二倍角公式求得sin(2ad—)及cos(2aH—),然后由
33
L7兀、吟71
~展開兩角和的余弦求解.
I12JLI3j4
【詳解】
/
(1)因為a=(V^sina,V^),b=l,costz-,且a_L〃.
所以"sina+J^cosa=#>,
所以sin[a+看=----,
4
717171
因為aGf0,—
,所以a+7£J
6~62
因為所以2a+dg,乃
所以sin[2a+?叵
兀
所以cos12。+答=cos%+工+
3j4
乃.
=cos2a+-cos----sin2a+ysi.n7—1
l344
_V2-^0
-8,
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,考查倍角公式及兩角
和的余弦,是中檔題.
21.在平面直角坐標系中,設(shè)向量ci=(cosa,sina),5=sina+—Leoscr+—,
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