2021屆人教a版平面向量 單元測試 (二)

平面向量

一、單選題

ab

1.設(shè)二工是非零向量，則［=2^是:=問成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

ab

由1=2力，可知：［辦方向相同，二;表示方向上的單位向量，由向量相等的

條件，可得出結(jié)論，反之即可判斷出充分條件和必要條件.

【詳解】

解：由［=2。可知：W工方向相同，”=2｝，

b

表示方向上的單位向量，所以向即立,

a_b

反之，若口一bp可知;,a方向相同，但不一定得出;=2^，即不成立。

—>—>

a_b

所以：=2了是口=月的充分不必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量相等、單位向量以及充分、必要條件的判斷；判斷，是4的什么條件,

需要從兩方面分析：一是由條件P能否推得條件4；二是由條件9能否推得條件

2.在△A5C中，。為47的中點(diǎn)，若而=4而+〃前，則％+〃=()

124

A.1B.-C.-D.一

233

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)。為AC的中點(diǎn)，即可得出而=,通+'反根據(jù)平面向量基本定理即可得

22

出2,〃的值，從而求出/+〃.

【詳解】

如圖：

0為AC的中點(diǎn).?.芯=；就=；(的一麗)=；而+；方

又布=49+〃肥

則：a=〃='

2

，4+〃=1

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

考查向量減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及平面向量基本定理.

3.下列結(jié)論中正確的是（）

①若a//坂且IaH?I，則a=B;

②若a=b>則a//B且Ia1=1〃I;

③若￡與］方向相同且|￡|=1",則￡=石;

④若ZHB，則Z與B方向相反且|a罔

A.①③B.②③

C.③④D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的概念和相等向量的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

由題意，對于①中，由7//B，|￡|=|B|,則向量￡與B同向或反向，當(dāng)向量Z與石同向

時，可得￡=萬，當(dāng)向量3與石反向時，則所以不正確的；

對于②中，若￡=心根據(jù)相等向量的概念，可得Z//B且|￡|=出|，所以是正確的;

對于③中，若￡與B方向相同且|￡|=/|,根據(jù)相等向量的概念，可得￡=人所以是正

確的；

對于④中，若根據(jù)向量的概念，則￡與方方向不一定相反且不一定罔,

所以不正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的基本概念，以及相等向量的基本概念及應(yīng)用，其中解答中熟記向

量的基本概念，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

4.已知向量石的夾角為%,且&=（-1,1）,|同=2,貝中Z+石卜（）

A.1B.V2C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量6的夾角為%,且五=（一1,1）,問=2,可得G的模及a,6的數(shù)量積,

將|24+同平方，代入再開平方即可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锧=

所以同=J5,

又因?yàn)镚，B的夾角為3萬，同=2,

411

所以12a+同2=4,「+時+4同^cos,,

=8+4-20x2x也=4，

2

\2a+b\=2,故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩

種形式，一是。/=邸卜°$。，二是￡?=%為2+%%，主要應(yīng)用以下幾個方面:⑴

八a,b

6，=

求向量的夾角，COSFTM（此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，a在

m

ab___

b上的投影是常；（3）4方向量垂直則〃%=0；（4）求向量加Q+的模（平方后

需求）?

5.在直角坐標(biāo)系xOy中，P,Q為單位圓。上不同的兩點(diǎn)，尸的橫坐標(biāo)為;，若

_______1

OPOQ=--,則Q的橫坐標(biāo)是（）

-11-1

A.-1B.-1或一一C.一一D.1或一—

222

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，P3，士*），先檢驗(yàn)Q（1，O），顯然不符合題意，排除D；

再檢驗(yàn)Q（-1,0）,符合題意，排除c；最后檢驗(yàn)Q3,士弓），符合題意，

故選:B

6.在邊長為1的正AABC1中，D,E是邊8C的兩個三等分點(diǎn)（。靠近于點(diǎn)3）,

而.荏等于（）

【答案】C

【解析】

試題分析：如圖,

A

網(wǎng)=|Xc|=L〈通,AC）=6（r

QD,E是邊8c的兩個三等分點(diǎn),

2可22522

國M

而

++被+

:.ADAE3-=9-9-Ac9-

故選C.

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

7.已知直線x+y=。與圓/+丁2=4交于A3兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量。4、OB

滿足|麗+礪H礪—麗I，則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.2B.-2C.2或一2D.R或一灰

【答案】C

【解析】

試題分析：由|礪+礪H礪一礪I，兩邊平方，得礪?礪=0，所以NAO3=90°,

則AAOB為等腰直角三角形，而圓Y+y2=4的半徑A0=2,則原點(diǎn)。到直線

x+y=a的距離為0,所以夜，即4的值為2或一2.故選C.

'0Vi-+i4

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

8.已知向量汗=(5,2),5=(-4,-3),若c滿足3。一〃+忑=0，則c=（）

A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

由32—2B+Z=6得"=2B—3￡，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計算可得.

【詳解】

解：：a=(5,2),b=(-4,-3),且c滿足3a—2B+c=6，

c=2h-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知向量a=(2,/篦),9=(一1,m)，若(2a+1)〃九則卜卜()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

試題分析：由題(21+1)〃否.則2Z=(4,2M,2￡+B=(3,3/〃)，可得：

3x加=3mx(-1),m-0

a-(2,0),|a|—2.

考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的性質(zhì).

10.下列各說法中，其中錯誤的個數(shù)為

⑴向量荏的長度與向量瓦?的長度相等

⑵平行向量就是向量所在直線平行

⑶茄II碗=花(4為篙物

⑷茄-b=0,則在1員5）癡-b=a-c,則i=c

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】c

【解析】

選C(1)正確(2)因?yàn)槠叫邢蛄渴窍蛄克谥本€平行或重合，所以此命題錯誤；(3)若

向量B=6,本命題是錯誤命題.(4)沒有說明日花是非零向量，所以此命題也是錯誤的.

(5)若日-b=d-^再加上<a,b>=<a,c>,b=，才成立.因而此命題也是錯誤的.故錯

誤命題共有四個.

11.如圖，在AABC中，。是A8的中點(diǎn)，E在邊AC上，AE=3EC,CD與BE交

于點(diǎn)0,貝Uk=()

OE

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)向量共線定理設(shè)60=九①，再根據(jù)向量的中點(diǎn)公式以及題意可得，

CO^-CB+2ACE,由三點(diǎn)共線的性質(zhì)可求得;I,然后利用向量減法運(yùn)算可得

2

BO=4OE'即解出.

【詳解】

CO=ACD=2-CB+-CA\=-CB+-CA=-CB+2ACE,

(22J222

因?yàn)椤?8,E三點(diǎn)共線，所以4+24=1,解得：2=-

25

所以函=［函+［醞，即（（加一而）=［（摩—函），所以麗=4礪，所以

BO

——=4A.

0E

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量共線定理以及其推論的應(yīng)用，向量中點(diǎn)公式的應(yīng)用，以及向量的線性

運(yùn)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.已知向量《,生是兩個不共線的向量，若4=2?］-02,與5=家+41共線，則尤的

值為

A.--B.-2C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

向量共線，則存在實(shí)數(shù)〃滿足：2冢一1=〃（1+/1可，

〃二21

據(jù)此可得：｛:?，解得：2=--.

z//=-l2

本題選擇A選項(xiàng).

二、填空題

13.已知向量d=(九2加-1),6=(1,-2),若￡//萬，貝4G+沙|=

【答案】3石

【解析】

分析：根據(jù)出//6，建立方程求出m,

詳解：..?向量&=(根,2加-1),5=(1,-2),且也//萬，

，-2m=2m-l,解得根=；,7=(；，一；)

.,.4G+25=(3,—6),|45+2^|=732+(-6)2=3>/5

故答案為3相.

點(diǎn)睛：本題考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量的線性運(yùn)算以及向量模的計算，屬于基

礎(chǔ)題.

14.已知向量1=(1,—1),5=(—2,3),且—mb),則m=.

2

【答案】—m

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入可得々-m5,結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，即可求得加

的值.

【詳解】

向量M=5=(-2,3),

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知癡=(1+2萬一1-3根)，

由平面向量的垂直關(guān)系可知無(萬一而)=0,即(1,-1>(1+2相,一1-3加)=0,

2

所以1+2m4-1+3m=0?解得加=—，

5

2

故答案為：-

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

式

15.已知向量/；=(0,1),\a\=2,且5的夾角若5—2B|=M5I，則實(shí)數(shù)九

的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用向量的運(yùn)算律求出|￡-2W2,進(jìn)而求出|￡-2加,|司=1,即可求出結(jié)論.

【詳解】

辦=(O,l),.[b]=1,|a-2b『=a-4a-〃+4〃=8-4xlx2xcos§=4,

\a-2b\=2=A\b\=A.

故答案為:2.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模長，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2

16.已知0為單位向量，同=4,1與々的夾角為:瓦，則M在々方向上的投影為.

【答案】-2

【解析】

2

試題分析：因?yàn)?，々為單位向量，?4,方與己的夾角為:乃，所以，方在G方向上的

24

投影為Ia|cos(a,e^=4|a|cos-^-=—2.

考點(diǎn)：平面向量的夾角，向量的投影.

點(diǎn)評：中檔題，理解M在G方向上的投影為|A|COS（N，4,關(guān)鍵是求COS（A,0.

三、解答題

17.已知向量@=，向量5=（加一1,2）,且若（汗_5）_1_4.

（I）求實(shí)數(shù)團(tuán)的值；

（II）求向量乙,5的夾角。的大小.

【答案1（1）m=\；（II）Y

4

【解析】

【分析】

（I）先求出a-方的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系建立等式，從而可求出m的

值；

（H）根據(jù)（I）先求出向量￡范的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

（I）由已知得，a-b=（2-m,m-2）,且mW2,又（Z-E）J_W，則（W-E）.Z=&

即（2-m）X1+（m-2）Xm=0,解得m=l或m=2（舍去），Am=l

（ID由（I）得彳=（1,1）,E=（0,2）,.?-（）二廠:％掾

兀

又ee[o,JT],e=—,

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用數(shù)量積判定兩向量的垂直關(guān)系，以及數(shù)量積表示兩個向量的夾角，同時

考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知A(l,2)、8(—3,—4)、C(2,1kO(x,—2).

（1）證明：aB、c三點(diǎn)共線；

（2）若ND48=W，求x的值.

【答案】（1）詳見解析（2）7

【解析】

【分析】

（1）計算斜率心B、七c，利用心8=攵死證明4B、C三點(diǎn)共線；

（2）由ZDAB=會知福通=0,列方程求出x的值.

【詳解】

解:⑴證明：A（l,2）,B（—3,Y）,。（嗎,

通=（-4,-6）,衣有通=_4就

.?.A、B、。三點(diǎn)共線;

⑵由麗=（y-6）,而=（—）,

TT

若ND4B=5，則AAA方=0，

即Y（x-l）+24=0,解得X=7,

的值為7.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三點(diǎn)共線的判斷問題，也考查了直線垂直的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

19.

已知0<a<?,夕為/(x)=cos[2x+?J的最小正周期，向量

、

a=tanla+—,一1,b=(cosa,2),且。力=〃?(,”為實(shí)常數(shù)).求

2cos2a+sin2(a+，)的值

cosa-sinar

【答案】2(2+〃?)

【解析】

【分析】

由三角函數(shù)性質(zhì)求得周期尸=%,由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計算￡石，建立依力,根的關(guān)系

式，由誘導(dǎo)公式，正弦的二倍角公式化簡待求式2c°s-*+sin2(a+/7),再由同角關(guān)

cosa-sina

系式化弦為切，結(jié)合兩角和的正切公式可化2cos-"+sin2(a+￡)為

cosa-sina

2cosa-tan(a+；J,而這又由￡石得到了，結(jié)論得出.

【詳解】

解:因?yàn)橄榱?%)cos2x+—的最小正周期，故尸=兀.

I8

因;.1=加，又〃?B=cosa.tana+—0-2.故cosaTana+—/?=〃z+2.

兀12cos2a+sin2(a+￡)2cos2a+sin(2a+2K)

由于Ova<一,所以--------------------匕=---------------------

4cosa-Sinarcosa-sina

2cos2a+sin2a2cosa(cosa+sina)

cosa-sinacosa-sina

八1+tana

=2cosa-=---2--c-o--s-(7--tanIor+1=2(2+m).

1-tana

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角公式，同角間的三角

函數(shù)關(guān)系，兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式，考查的知識點(diǎn)較多，這對學(xué)生的要求就較高.要

求我們掌握每一個知識點(diǎn)，否則不可能得出正確的答案.

20.設(shè)已知向量不=(J^sina,夜)出=l,cosa—且￡_1_石.

(1)求tan(a+?)的值；

(2)求cos(2a+^1^的值.

【答案】(1)tan(a+&]=巫(2)近一屈

16)58

【解析】

【分析】

|=手，進(jìn)一步得到

(1)由已知結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得+菅

cos\a+—\=----,則答案可求

16J4

7171

(2)由(1)利用二倍角公式求得sin(2ad—)及cos(2aH—),然后由

33

L7兀、吟71

~展開兩角和的余弦求解.

I12JLI3j4

【詳解】

/

(1)因?yàn)閍=(V^sina,V^),b=l,costz-,且a_L〃.

所以"sina+J^cosa=#＞，

所以sin[a+看=----,

4

717171

因?yàn)閍Gf0,—

,所以a+7￡J

6~62

因?yàn)樗?a+dg,乃

所以sin[2a+?叵

兀

所以cos12。+答=cos%+工+

3j4

乃.

=cos2a+-cos----sin2a+ysi.n7—1

l344

_V2-^0

-8,

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查倍角公式及兩角

和的余弦，是中檔題.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量ci=(cosa,sina),5=sina+—Leoscr+—,