高中數(shù)學(xué)選修2-2課時(shí)作業(yè)7：§1.6 微積分基本定理

人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2PAGEPAGE1一、基礎(chǔ)過關(guān)1．已知物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)s＝s(t)，那么下列命題正確的是()①它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移是s＝s(t)|eq\o\al(b,a)；②它在某一時(shí)刻t＝t0時(shí)，瞬時(shí)速度是v＝s′(t0)；③它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移是s＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)s′(ξi)；④它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移是s＝?eq\o\al(b,a)s′(t)dt.A．①B．①②C．①②④D．①②③④[答案]D2．若F′(x)＝x2，則F(x)的[解析]式不正確的是()A．F(x)＝eq\f(1,3)x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋1D．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋c(c為常數(shù))[答案]B3.eq\i\in(－4,0,)|x＋2|dx等于()A.eq\i\in(－4,0,)(x＋2)dxB.eq\i\in(－4,0,)(－x－2)dxC.eq\i\in(－4,－2,)(x＋2)dx＋eq\i\in(－2,0,)(－x－2)dxD.eq\i\in(－4,－2,)(－x－2)dx＋eq\i\in(－2,0,)(x＋2)dx[答案]D[解析]∵|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，－2≤x≤0，,－x－2，－4≤x<－2，))∴eq\i\in(－4,0,)|x＋2|dx＝eq\i\in(－4,－2,)(－x－2)dx＋eq\i\in(－2,0,)(x＋2)dx.故選D.4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤0，,1，0<x≤1，))則?eq\o\al(1,－1)f(x)dx的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)[答案]B[解析]?eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)x2dx＋?eq\o\al(1,0)1dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(0,－1)＋1＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3)，故選B.5．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)sin2eq\f(x,2)dx等于()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)－1C．2D.eq\f(π－2,4)[答案]D[解析]eq\i\in(0,eq\f(π,2),)sin2eq\f(x,2)dx＝eq\i\in(0,eq\f(π,2),)eq\f(1－cosx,2)dx＝eq\f(1,2)(x－sinx)|＝eq\f(π－2,4)，故選D.6．若?eq\o\al(1,0)(2x＋k)dx＝2，則k＝________.[答案]1[解析]∵?eq\o\al(1,0)(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|eq\o\al(1,0)＝1＋k＝2，∴k＝1.二、能力提升7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________．[答案]eq\f(\r(3),3)[解析]?eq\o\al(1,0)(ax2＋c)dx＝axeq\o\al(2,0)＋c，∴eq\f(a,3)＝axeq\o\al(2,0)，∵a≠0，∴xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，又0≤x0≤1，∴x0＝eq\f(\r(3),3).8．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,x＋?\o\al(a,0)3t2dt，x≤0))，若f[f(1)]＝1，則a＝____________.[答案]1[解析]因?yàn)閤＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0時(shí)，f(x)＝x＋?eq\o\al(a,0)3t2dt＝x＋t3|eq\o\al(a,0)＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因?yàn)閒[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.9．設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝5，?eq\o\al(1,0)xf(x)dx＝eq\f(17,6)，則f(x)的[解析]式為________．[答案]f(x)＝4x＋3[解析]∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)(ax＋b)dx＝?eq\o\al(1,0)axdx＋?eq\o\al(1,0)bdx＝eq\f(1,2)a＋b＝5，?eq\o\al(1,0)xf(x)dx＝?eq\o\al(1,0)x(ax＋b)dx＝?eq\o\al(1,0)(ax2)dx＋?eq\o\al(1,0)bxdx＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(17,6).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝5，,\f(1,3)a＋\f(1,2)b＝\f(17,6)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3.))10．計(jì)算下列定積分：(1)?eq\o\al(2,1)(ex＋eq\f(1,x))dx；(2)?eq\o\al(9,1)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx；(3)?eq\o\al(20,0)(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)?eq\o\al(2,1)eq\f(1,xx＋1)dx.解(1)∵(ex＋lnx)′＝ex＋eq\f(1,x)，∴?eq\o\al(2,1)(ex＋eq\f(1,x))dx＝(ex＋lnx)|eq\o\al(2,1)＝e2＋ln2－e.(2)∵eq\r(x)(1＋eq\r(x))＝x＋eq\r(x)，(eq\f(1,2)x2＋eq\f(2,3)xeq\f(3,2))′＝x＋eq\r(x)，∴?eq\o\al(9,1)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx＝(eq\f(1,2)x2＋eq\f(2,3)xeq\f(3,2))|eq\o\al(9,1)＝eq\f(172,3).(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，∴?eq\o\al(20,0)(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|eq\o\al(20,0)＝1－e.(4)∵eq\f(1,xx＋1)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，(lnx)′＝eq\f(1,x)，(ln(x＋1))′＝eq\f(1,x＋1)，∴?eq\o\al(2,1)eq\f(1,xx＋1)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)－ln(x＋1)|eq\o\al(2,1)＝2ln2－ln3.11．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[0，1]，,\r(x)，x∈1，2]，,2x，x∈2，3].))求?eq\o\al(3,0)f(x)dx的值．解由定積分的性質(zhì)，知：?eq\o\al(3,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)f(x)dx＋?eq\o\al(2,1)f(x)dx＋?eq\o\al(3,2)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)x3dx＋?eq\o\al(2,1)eq\r(x)dx＋?eq\o\al(3,2)2xdx＝eq\f(x4,4)|eq\o\al(1,0)＋eq\f(2,3)xeq\f(3,2)|eq\o\al(2,1)＋eq\f(2x,ln2)|eq\o\al(3,2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(4,3)eq\r(2)－eq\f(2,3)＋eq\f(8,ln2)－eq\f(4,ln2)＝－eq\f(5,12)＋eq\f(4,3)eq\r(2)＋eq\f(4,ln2).12．已知f(a)＝?eq\o\al(1,0)(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．解∵(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)′＝2ax2－a2x，∴?eq\o\al(1,0)(2ax2－a2x)dx＝(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2，即f(a)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,2)(a2－eq\f(4,3)a＋eq\f(4,9))＋eq\f(2,9)＝－eq\f(1,2)(a－eq\f(2,3))2＋eq\f(2,9)，∴當(dāng)a＝eq\f(2,3)時(shí)，f(a)有最大值eq\f(2,9).三、探究與拓展13．求定積分?eq\o\al(3,－4)|x＋a|dx.解①當(dāng)－a≤－4即a≥4時(shí)，原式＝?eq\o\al(3,－4)(x＋a)dx＝(eq\f(x2,2)＋ax)|3－4＝7a－eq\f(7,2).②當(dāng)－4<－a<3即－3<a<4時(shí)，原式＝?eq\o\al(－a,－4)[－(x＋a)]dx＋?eq\o\al(3,－a)(x＋a)dx＝(－eq\f(x2,2)－ax)|－a－4＋(eq\f(x2,2)＋ax)|3－a＝eq\f(a2,2)－4a＋8＋(eq\f(a2,2)＋3a＋eq\f(9,2))＝a2－a＋eq