112（2）含30°直角三角形的性質(zhì)（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

1.1.2（2）含30°直角三角形的性質(zhì)一、單選題1．在中，，則為（）A．4 B．2 C．1 D．不能確定【答案】C【分析】含30°角的直角三角形中，30°角的對(duì)邊等于斜邊的一半．【解析】解：如圖，在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．如圖，在Rt中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，則AB＝（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)BC＝x，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB＝2BC＝2x，根據(jù)勾股定理得出方程22+x2＝（2x）2，求出x即可．【解析】解：設(shè)BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2x，∵AC＝2，∴由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，22+x2＝（2x）2，解得：x＝，∴AB＝2x＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出AB＝2BC，用了方程思想．3．如圖，的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2，且，則∠CBD是（）A．5° B．10° C．15° D．45°【答案】C【分析】先依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可計(jì)算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得∠ABD=30°，即可求解．【解析】∵的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2，∴∠A=180°=90°，∴∠ABC=45°，在Rt△ABD中，，∴∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC∠ABD=15°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用按比例分配的方法確定出三角形的類別是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是（）A．5 B．4 C．7 D．6【答案】C【解析】解析：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長(zhǎng)不可能小于3，且不可能大于AB的長(zhǎng)，∵在中，，，，∴，∴AP的長(zhǎng)不可能大于6．答案：C易錯(cuò)：D錯(cuò)因：∵，，，∴．出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的原因主要是審題不清．滿分備考：利用直角三角形的該特點(diǎn)解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)特別注意數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)性，必須是角所對(duì)的直角邊和斜邊之間的關(guān)系，切勿搞混位置關(guān)系．5．如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，則等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得．【解析】∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖：在中，，，BE平分，交AC于E，則（）．A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到，然后再說(shuō)明AE=BE，最后代入求解即可．【解析】解：∵在中，，∴∵平分，∴∴在中，∵，∴．∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，等邊三角形中，D、E分別在邊上，且交于P點(diǎn)，則圖中60度的角共有（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ADC≌△CEB，得到推出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證得．【解析】解：在等邊三角形中，，AC=BC，∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB，∴，∵,∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)為()A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】A【分析】利用等邊三角形三邊相等，結(jié)合已知BC=BD，易證、都是等腰三角形，利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù).【解析】是等邊三角形，，又，，,,,故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是正確解答本題的關(guān)鍵.9．如圖，在等邊△ABC中，M是AC上一點(diǎn)，N是BC上一點(diǎn)，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN與BM交于點(diǎn)O，則∠MON的度數(shù)為()A．110° B．105° C．90° D．85°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B=60°，又因?yàn)锳M=BN，AB=AB，所以△AMB≌△BNA，從而得到∠NAB=∠MBA=60°∠MBC=35°，則∠MON=∠AOB=180°2×35°=110°．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°，∵AM=BN，AB=AB，在△AMB與△BNA中，，∴△AMB≌△BNA（SAS），∴∠NAB=∠MBA=60°∠MBC=35°，∴∠AOB=180°2×35°=110°，∵∠MON=∠AOB，∴∠MON=110°．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形求解．10．如圖△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于點(diǎn)H，若CE＝4，BD＝5，則的值（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別在Rt△BDA、Rt△ACE和Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)先后求得AD、AC、CD、DH的長(zhǎng)，再計(jì)算即可求解．【解析】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△BDA中，∠A=60°，BD=5，∴∠ABD=30°，∴AB=2AD，∵AB2=AD2+BD2，即4AD2=AD2+52，∴AD=，在Rt△ACE中，∠A=60°，CE=4，∴∠ACE=30°，∴AC=2AE，∵AC2=AE2+CE2，即4AE2=AE2+42，∴AE=，AC=，∴CD=ACAD==，在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=，∴CH=2DH，∵CH2=DH2+CD2，即4DH2=DH2+()2，∴DH=1，∴BH=BDDH=51=4，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，當(dāng)題目已知條件有高線存在時(shí)就要考慮構(gòu)成利用直角三角形來(lái)解答問(wèn)題．二、填空題11．在中，交于點(diǎn)D，，則________．【答案】4.8【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD，AD=CD，然后利用含30°角的直角三角形可得，推出，進(jìn)而可得答案．【解析】如圖，，∠B=∠C=30°，又為直角三角形，∠B=30°，故答案為：4.8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．12．如圖，中，平分交于D，，則________．【答案】4【分析】根據(jù)∠B=90°，∠A＝30°，易求得，而根據(jù)角平分線的定義得到，可證得是等腰三角形，可求得CD，即可求解．【解析】解：∵∠B=90°，∠A＝30°，∴，又∵CD平分∠ACB，∴，在中，，又∵30°，∴；故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算是關(guān)鍵．13．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等邊三角形，則需要添加一條件是______.【答案】AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC【分析】由在△ABC中，∠A＝60°，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可求得答案.【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∴要使是等邊三角形，則需要添加一條件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.故答案為此題答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.14．在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．【答案】60°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A=30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得答案．【解析】∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=16，BC=8，∴BC=AC，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A=30°，∴∠C=90°∠A=60°．故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．若中，，且最長(zhǎng)邊為，則最短邊長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】5【分析】根據(jù)比例可設(shè)分別為k、2k、3k，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，求得各角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)直角邊為斜邊的一半即可得解.【解析】∵，∴設(shè)分別為k、2k、3k，∵k+2k+3k=180°，∴k=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∵最長(zhǎng)邊為，∴最短邊長(zhǎng)=.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半.16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠A＝30°，AB＝12，則DE的長(zhǎng)度是____．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)D為AB的中點(diǎn)可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出DE的長(zhǎng)度．【解析】∵D為AB的中點(diǎn)，AB=12，∴AD=6，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，∠A=30°，∴DE=AD=3，故答案是：3．【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．17．如圖，中，，，于，是的平分線，且交于點(diǎn).如果，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】6【分析】根據(jù)題意易證△AEP為等邊三角形，則AE=AP=2，在Rt△ACE中，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)求得EC的長(zhǎng)，然后在等腰三角形BCE中得到BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng).【解析】∵，，∴∠ACB=60°，∵是的平分線，∴∠ECA=∠ECB=30°，在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°，∵，∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴△AEP為等邊三角形，∴AE=AP=2，∴EC=2AE=4，∵∠B=∠BCE=30°，∴BE=CE=4，∴AB=BE+AE=4+2=6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定，含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).18．如圖，在的同側(cè)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值是_____．【答案】14【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．，，，，，為等邊三角形，的最大值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問(wèn)題三、解答題19．已知：如圖，在中，是腰上的高．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解得CD的長(zhǎng)．【解析】證明：在中，∵，∴（等邊對(duì)等角）．∴．∵是腰上的高，∴．∴（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角．三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系以及直角三角形中30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．20．房梁的一部分如圖所示，其中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，且，垂足為E，求的長(zhǎng)．【答案】，．【分析】先求出以及長(zhǎng)，再根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)求出答案即可．【解析】解：，，，，，為中點(diǎn)，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，如果有一個(gè)角是30°，那么這個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．21．中，，和各是多少度？邊與之間有什么關(guān)系？【答案】【分析】依據(jù)∠C＝90°，∠B＝2∠A，可求出∠B和∠A的度數(shù)，然后通過(guò)直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求出邊AB與BC的關(guān)系．【解析】解：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠B＝2∠A，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴AB＝2BC．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．22．如圖，在中，交邊于點(diǎn)，，，.(1)求的度數(shù)；(2)求證：.【答案】(1)∠B=45°；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求得∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得解；（2）過(guò)作于，連接BE，由（1）得到∠ECD=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，得到，則△ACE為等腰直角三角形，從而得到答案.【解析】(1)∵，，∴．∴．(2)過(guò)作于，連接BE，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的判定等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)妮o助線幫助解題.23．如圖，四邊形中，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】12cm【解析】【分析】連接AC，證明△ABC是等邊三角形，然后求出∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AD的長(zhǎng)．【解析】解：連接AC，如圖：∵AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝6cm，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠A＝120°，∠C＝150°，∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，∴AD＝2AC＝12cm．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°的直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24．如圖，在等邊?ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD．將?BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到?BAE，連接ED．若BC=10，BD=9，求?AED的周長(zhǎng)．【答案】19.【分析】先由△ABC是等邊三角形得出AC=AB=BC=10，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10，由∠EBD=60°，BE=BD即可判斷出△BDE是等邊三角形，故DE=BD=9，故△AED的周長(zhǎng)=AE+AD+DE=AC+BD=19．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=10，∵△BAE由△BCD逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)60°得出，∴AE=CD,BD=BE,∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=10，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD=9，∴△AED的周長(zhǎng)=AE+AD+DE=AC+BD=19.故答案為19.【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于得到△BDE是等邊三角形.25．如圖，四邊形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE∥BC.（1）求證：BD平分∠ABC；（2）連接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）直接利用直角三角形的性質(zhì)得出，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，進(jìn)而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，，得出DB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出EC的長(zhǎng).【解析】（1）證明：∵AD⊥DB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴.∴∠1＝∠2.∵DE∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴BD平分∠ABC.（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.在Rt△BCD中