專題283銳角三角函數(shù)（全章分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題28.3銳角三角函數(shù)（全章分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2018·天津和平·統(tǒng)考一模）計(jì)算：的結(jié)果等于（

）A． B．1 C． D．2．（2023上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）中，、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023上·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在直角三角形中，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．10 C．12 D．244．（2023上·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若，則滿足條件的是（）A． B．C． D．5．（2022上·山東濰坊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，若點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）

A． B． C． D．6．（2016·湖北荊州·中考真題）如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊A′B的中點(diǎn)C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（）A．3 B．4 C．6 D．87．（2020上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，則竹竿AD與AB的長(zhǎng)度之比為（）A． B． C． D．8．（2018上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)階段練習(xí)）山坡底部有一棵豎直的大樹，小明從處沿山坡前進(jìn)米到達(dá)處，此時(shí)轉(zhuǎn)身正好看到同一水平線上的樹頂．已知坡角，小明的眼睛到地面的距離為米，則樹高為（

）A．20米 B．21.7米 C．（10+1.7）米 D．11.7米9．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若，，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2023上·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)是1700多年前的中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若每個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為5，12，直角三角形的較小的銳角為，則的值是（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2019下·重慶·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：.12．（2020·四川自貢·?？家荒＃┰谥?，若，，都是銳角，則是三角形．13．（2020上·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，垂足為E，如果，，，那么．

14．（2022·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考一模）如圖，在斜坡AB上有一棵樹BD，由于受臺(tái)風(fēng)影響而傾斜，恰好與坡面垂直，在地面上C點(diǎn)處測(cè)得樹頂部D的仰角為60°，測(cè)得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．則樹高BD=．15．（2023上·上海閔行·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，邊的垂直平分線交邊于點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E，連結(jié)，那么的值是．16．（2019下·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬AD是6米，壩高4米，背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1:0.5，那么壩底寬BC是米.17．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，對(duì)角線軸，交y軸于點(diǎn)D．若矩形的面積是6，，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算．（1）； （2）．20．（8分）（2023上·上海閔行·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，，，是邊上的中線．（1）求的面積；（2）求的余切值．21．（10分）（2023上·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)中，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度．如圖，橋AB是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋AB的上方100m的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°，求橋AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）22．（10分）（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點(diǎn)B．（1）求m的值；（2）點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)D，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．23．（10分）（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）把矩形紙片ABCD，先沿AE折疊使點(diǎn)B落在AD邊上的B'，再沿AC折疊，恰好點(diǎn)E也落到AD上，記為E'．（1）求∠B'EE'的度數(shù)；（2）求∠DAC的正切值．24．（12分）（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=；AC=；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測(cè)得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政船距釣魚島A的距離AB．參考答案：1．B解：試題解析：=.故選B．2．C【分析】根據(jù)余弦的定義可直接進(jìn)行求解．解：由題意得：；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查余弦，熟練掌握求一個(gè)角的余弦值是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦．解：∵，，∴，又，∴，∴，∴，故選D．4．A【分析】本題主要考查角的正切，因此此題可結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)，利用正切的定義逐項(xiàng)判斷即可得．解：A、，則此項(xiàng)符合題意；B、，則此項(xiàng)不符合題意；C、，則此項(xiàng)不符合題意；D、，則此項(xiàng)不符合題意；故選：A5．A【分析】連接，得到，再利用勾股定理求出，的長(zhǎng)，即可求出最后結(jié)果．解：如圖，連接，

則，，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．6．C解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），作CD⊥BO′交邊BO′于點(diǎn)D，∵tan∠BAO=2，∴，∵S△ABO=?AO?BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵點(diǎn)C為斜邊A′B的中點(diǎn)，CD⊥BO′，∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，∴x=BO－CD=4－1=3，y=BD=2，∴k=x?y=3×2=6．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，作出合適的輔助線，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)之積等于k值求解即可．7．C【分析】先在Rt△ABC和Rt△ADC中，求出AB＝、AD＝，再求長(zhǎng)度之比即可．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查銳角的三角函數(shù)、解直角三角形的應(yīng)用，借助中間參數(shù)AC，利用正弦函數(shù)的定義求解是解答的關(guān)鍵．8．D【分析】作輔助線過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，進(jìn)而利用RT△進(jìn)行求解.解：作輔助線過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，由題意可得，∠ACE＝30°，∴AE＝ACsin∠ACE＝20×＝10米，又∵小明身高為1.7米，AB＝AE＋EB＝AE＋DC＝11.7米.故選D.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度、坡角問(wèn)題，熟練掌握坡度和坡角的定義是本題解題的關(guān)鍵.9．D【分析】先利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出長(zhǎng)，然后推導(dǎo)出，則有，可以求出和長(zhǎng)，然后在中秋出余弦值即可．解：∵是矩形，∴，，，，∴，∴又∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，，∴，∴，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，然后再根據(jù)正弦的定義即可解答；運(yùn)用勾股定理求得斜邊是解題的關(guān)鍵．解：∵每個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為5，12，∴每個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，∵直角三角形的較小的銳角為，∴，故選：C．11．【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值，再計(jì)算加減可得．解：＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則等知識(shí)點(diǎn)．12．等邊【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷的形狀．解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．【點(diǎn)撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．13．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四邊形的性質(zhì)證得，然后利用等角對(duì)等邊證得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，證明是解答的關(guān)鍵．14．（2+4）米/（4+）米【分析】過(guò)A作AM⊥AB交CD于M，再過(guò)M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等邊三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的長(zhǎng)；然后解Rt△DMN求得DN的長(zhǎng)即可解答.解：如圖，過(guò)A作AM⊥AB交CD于M，再過(guò)M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等邊三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN?tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案為：（+4）米.【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．15．/【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，設(shè)，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，由勾股定理得到，求出，因此，根據(jù)即可求出．解：設(shè)，則，垂直平分，∴，，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．16．10【分析】直接利用坡比的定義得出BE，F(xiàn)C的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，DF⊥BC，由題意可得：AD=EF=6m，AE=DF=4m，∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，∴BE=FC=2m，∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m）．故答案為10．【點(diǎn)撥】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出BE，F(xiàn)C的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．17．【分析】過(guò)B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，證明，得到再證明利用設(shè)利用三角形的面積公式可得答案．解：過(guò)B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設(shè)則故答案為：18．//【分析】過(guò)A作軸于M，、則

，先根據(jù)矩形性質(zhì)求得，，再根據(jù)余弦定義得到，證明求得，利用求解k值即可．解：過(guò)A作軸于M，、則

，

∵四邊形是矩形，面積是6，∴，，∵，∴，∵軸，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)求得的面積是解答的關(guān)鍵．19．（1）；（2）【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計(jì)算；（1）先計(jì)算零次冪、二次根式和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減；（2）先計(jì)算絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減；解：（1）；（2）．20．（1）42；（2）【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理．（1）作，垂足為點(diǎn)H．先由，可設(shè)，那么，根據(jù)勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根據(jù)，列出關(guān)于x的方程，解方程求出，得到，然后根據(jù)的面積即可求解；（2）作，垂足為點(diǎn)M．先由，得到，由D為中點(diǎn)，得出M為的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出，則，然后在直角中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出的余切值．（1）解：過(guò)點(diǎn)C作，點(diǎn)H為垂足，在中，，是等腰直角三角形，，在中，，，，設(shè)，則，，，，解得，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作，點(diǎn)M為垂足，，，，D為中點(diǎn)，，由（1）知：，，，在中，，．21．【分析】過(guò)C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，根據(jù)橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°，可得，，利用特殊角的三角函數(shù)求解即可．解：如圖示：過(guò)C點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，，在Rt△ADC中，∴m，在Rt△BDC中，∴m，∴m．【點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．22．（1）24；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用k=xy計(jì)算m即可；（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設(shè)，則，當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)的左側(cè)，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵．23．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可證明四邊形ABEB'為正方形．△AEE'為等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，進(jìn)而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）設(shè)正方形ABEB'的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折疊性質(zhì)可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四邊形ABEB'為矩形，又∵AB＝AB'，∴四邊形ABEB'為正方形，∴∠B'AE＝∠AEB