專題283銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(提升練)-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練(人教版)_第1頁
專題283銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(提升練)-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練(人教版)_第2頁
專題283銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(提升練)-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練(人教版)_第3頁
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文檔簡介

專題28.3銳角三角函數(shù)(全章分層練習(xí))(提升練)單選題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.(2018·天津和平·統(tǒng)考一模)計(jì)算:的結(jié)果等于(

)A. B.1 C. D.2.(2023上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期中)中,、、的對(duì)邊分別為、、.已知,,,則的值為(

)A. B. C. D.3.(2023上·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中)在直角三角形中,,,,則的長為(

)A.5 B.10 C.12 D.244.(2023上·河南南陽·九年級(jí)??计谀┤鐖D,的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,若,則滿足條件的是()A. B.C. D.5.(2022上·山東濰坊·九年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,每個(gè)小正方形的邊長均為1,若點(diǎn),,都在格點(diǎn)上,則的值為(

A. B. C. D.6.(2016·湖北荊州·中考真題)如圖,在Rt△AOB中,兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B.若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點(diǎn)C,S△ABO=4,tan∠BAO=2,則k的值為()A.3 B.4 C.6 D.87.(2020上·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,則竹竿AD與AB的長度之比為()A. B. C. D.8.(2018上·吉林長春·九年級(jí)階段練習(xí))山坡底部有一棵豎直的大樹,小明從處沿山坡前進(jìn)米到達(dá)處,此時(shí)轉(zhuǎn)身正好看到同一水平線上的樹頂.已知坡角,小明的眼睛到地面的距離為米,則樹高為(

)A.20米 B.21.7米 C.(10+1.7)米 D.11.7米9.(2023上·陜西西安·九年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,在矩形中,對(duì)角線交于點(diǎn)O,交延長線于點(diǎn)M,若,,則的值為(

)A. B. C. D.10.(2023上·山西長治·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)是1700多年前的中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若每個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為5,12,直角三角形的較小的銳角為,則的值是(

)A. B. C. D.填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)11.(2019下·重慶·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校考期中)計(jì)算:.12.(2020·四川自貢·??家荒#┰谥?,若,,都是銳角,則是三角形.13.(2020上·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)??计谥校┤鐖D,在平行四邊形中,,垂足為E,如果,,,那么.

14.(2022·遼寧沈陽·沈陽市外國語學(xué)校校考一模)如圖,在斜坡AB上有一棵樹BD,由于受臺(tái)風(fēng)影響而傾斜,恰好與坡面垂直,在地面上C點(diǎn)處測(cè)得樹頂部D的仰角為60°,測(cè)得坡角∠BAE=30°,AB=6米,AC=4米.則樹高BD=.15.(2023上·上海閔行·九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖,在中,,邊的垂直平分線交邊于點(diǎn)D,交邊于點(diǎn)E,連結(jié),那么的值是.16.(2019下·九年級(jí)單元測(cè)試)如圖,某水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD,壩頂寬AD是6米,壩高4米,背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1:0.5,那么壩底寬BC是米.17.(2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)如圖,已知四邊形ABCD,AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ABC=∠DAC=90°,,則=.18.(2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,矩形的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,對(duì)角線軸,交y軸于點(diǎn)D.若矩形的面積是6,,則.

三、解答題(本大題共6小題,共58分)19.(8分)(2023上·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算.(1); (2).20.(8分)(2023上·上海閔行·九年級(jí)校聯(lián)考期中)已知:如圖,在中,,,,是邊上的中線.(1)求的面積;(2)求的余切值.21.(10分)(2023上·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期中)在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)中,某校九年級(jí)數(shù)學(xué)小組采用無人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長度.如圖,橋AB是水平并且筆直的,測(cè)量過程中,小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋AB的上方100m的點(diǎn)C處懸停,此時(shí)測(cè)得橋兩端A,B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°,求橋AB的長度.(結(jié)果保留根號(hào))22.(10分)(2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題)如圖,點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,軸,垂足為點(diǎn)B.(1)求m的值;(2)點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作于點(diǎn)D,若,求點(diǎn)M的坐標(biāo).23.(10分)(2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí))把矩形紙片ABCD,先沿AE折疊使點(diǎn)B落在AD邊上的B',再沿AC折疊,恰好點(diǎn)E也落到AD上,記為E'.(1)求∠B'EE'的度數(shù);(2)求∠DAC的正切值.24.(12分)(2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題)觀察與思考:閱讀下列材料,并解決后面的問題在銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c,過A作AD⊥BC于D(如圖(1)),則,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即,同理有:,所以.即:在一個(gè)銳角三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中,若已知三個(gè)元素(至少有一條邊),運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素.根據(jù)上述材料,完成下列各題.(1)如圖(2),△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,則∠A=;AC=;(2)某次巡邏中,如圖(3),我漁政船在C處測(cè)得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上,隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行,半小時(shí)后到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75°的方向上,求此時(shí)漁政船距釣魚島A的距離AB.參考答案:1.B解:試題解析:=.故選B.2.C【分析】根據(jù)余弦的定義可直接進(jìn)行求解.解:由題意得:;故選C.【點(diǎn)撥】本題主要考查余弦,熟練掌握求一個(gè)角的余弦值是解題的關(guān)鍵.3.D【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義,勾股定理,解題的關(guān)鍵是掌握銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦.解:∵,,∴,又,∴,∴,∴,故選D.4.A【分析】本題主要考查角的正切,因此此題可結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn),利用正切的定義逐項(xiàng)判斷即可得.解:A、,則此項(xiàng)符合題意;B、,則此項(xiàng)不符合題意;C、,則此項(xiàng)不符合題意;D、,則此項(xiàng)不符合題意;故選:A5.A【分析】連接,得到,再利用勾股定理求出,的長,即可求出最后結(jié)果.解:如圖,連接,

則,,,故選:A.【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角形函數(shù),勾股定理,利用勾股定理求出邊長是解答本題的關(guān)鍵.6.C解:設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),作CD⊥BO′交邊BO′于點(diǎn)D,∵tan∠BAO=2,∴,∵S△ABO=?AO?BO=4,∴AO=2,BO=4,∵△ABO≌△A'O'B,∴AO=A′O′=2,BO=BO′=4,∵點(diǎn)C為斜邊A′B的中點(diǎn),CD⊥BO′,∴CD=A′O′=1,BD=BO′=2,∴x=BO-CD=4-1=3,y=BD=2,∴k=x?y=3×2=6.故選C.【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意,作出合適的輔助線,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)之積等于k值求解即可.7.C【分析】先在Rt△ABC和Rt△ADC中,求出AB=、AD=,再求長度之比即可.解:在Rt△ABC中,∵sin∠ABC=,即sinα=,∴AB=,在Rt△ADC中,∵sin∠ADC=,即sinβ=,∴AD=,∴==,故選:C.【點(diǎn)撥】本題考查銳角的三角函數(shù)、解直角三角形的應(yīng)用,借助中間參數(shù)AC,利用正弦函數(shù)的定義求解是解答的關(guān)鍵.8.D【分析】作輔助線過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,進(jìn)而利用RT△進(jìn)行求解.解:作輔助線過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,由題意可得,∠ACE=30°,∴AE=ACsin∠ACE=20×=10米,又∵小明身高為1.7米,AB=AE+EB=AE+DC=11.7米.故選D.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度、坡角問題,熟練掌握坡度和坡角的定義是本題解題的關(guān)鍵.9.D【分析】先利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出長,然后推導(dǎo)出,則有,可以求出和長,然后在中秋出余弦值即可.解:∵是矩形,∴,,,,∴,∴又∵,∴,∴,又∵,∴,又∵,∴,∴,即,解得:,,∴,∴,故選D.【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理和解直角三角形,掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10.C【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊,然后再根據(jù)正弦的定義即可解答;運(yùn)用勾股定理求得斜邊是解題的關(guān)鍵.解:∵每個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為5,12,∴每個(gè)直角三角形的斜邊長為,∵直角三角形的較小的銳角為,∴,故選:C.11.【分析】先化簡二次根式,計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值,再計(jì)算加減可得.解:=,故答案為:.【點(diǎn)撥】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則等知識(shí)點(diǎn).12.等邊【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B,繼而可判斷的形狀.解:∵,∴,,∴,,∴∠A=60°,∠B=60°,∴是等邊三角形.故答案為:等邊.【點(diǎn)撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,非負(fù)數(shù)的性質(zhì),等邊三角形的判斷,解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.13./【分析】先解直角三角形求得、,再利用平行四邊形的性質(zhì)證得,然后利用等角對(duì)等邊證得,在中求解即可求解.解:∵在中,,,∴,則,∵四邊形是平行四邊形,,∴,,,,∴,,∴,在中,,∴,故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用,證明是解答的關(guān)鍵.14.(2+4)米/(4+)米【分析】過A作AM⊥AB交CD于M,再過M作MN⊥BD于N,可得△MCA是等邊三角形;再由ABNM是矩形求得BN和MN的長;然后解Rt△DMN求得DN的長即可解答.解:如圖,過A作AM⊥AB交CD于M,再過M作MN⊥BD于N,∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°,∠C=60°,∴△MCA是等邊三角形,∴AM=AC=4米,∠AMC=60°,∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°,∴四邊形ABNM是矩形,∴MN=AB=6米,BN=AM=4米,∠AMN=90°,Rt△DMN中,∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°,∴DN=MN?tan∠DMN==米,∴BD=BN+ND=(+4)米,故答案為:(+4)米.【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),解直角三角形;正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.15./【分析】本題考查解直角三角形,勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì),設(shè),由線段垂直平分線的性質(zhì)推出,由勾股定理得到,求出,因此,根據(jù)即可求出.解:設(shè),則,垂直平分,∴,,,∴,∴,∴,∴.故答案為:.16.10【分析】直接利用坡比的定義得出BE,F(xiàn)C的長,進(jìn)而求出答案.解:過點(diǎn)A作AE⊥BC,DF⊥BC,由題意可得:AD=EF=6m,AE=DF=4m,∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1:0.5,∴BE=FC=2m,∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10(m).故答案為10.【點(diǎn)撥】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確得出BE,F(xiàn)C的長是解題關(guān)鍵.17.【分析】過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E,證明,得到再證明利用設(shè)利用三角形的面積公式可得答案.解:過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E,BE⊥AD,,∴∴由,∴設(shè)則故答案為:18.//【分析】過A作軸于M,、則

,先根據(jù)矩形性質(zhì)求得,,再根據(jù)余弦定義得到,證明求得,利用求解k值即可.解:過A作軸于M,、則

∵四邊形是矩形,面積是6,∴,,∵,∴,∵軸,∴,又,∴,∴,∴,又,∴,故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,利用相似三角形的性質(zhì)求得的面積是解答的關(guān)鍵.19.(1);(2)【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力,關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法,并能進(jìn)行正確地計(jì)算;(1)先計(jì)算零次冪、二次根式和特殊角的三角函數(shù)值,再計(jì)算乘法,最后計(jì)算加減;(2)先計(jì)算絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值,再計(jì)算乘法,最后計(jì)算加減;解:(1);(2).20.(1)42;(2)【分析】本題考查了勾股定理,三角函數(shù)的定義,三角形中位線定理.(1)作,垂足為點(diǎn)H.先由,可設(shè),那么,根據(jù)勾股定理得出,在直角中,由,得出,再根據(jù),列出關(guān)于x的方程,解方程求出,得到,然后根據(jù)的面積即可求解;(2)作,垂足為點(diǎn)M.先由,得到,由D為中點(diǎn),得出M為的中點(diǎn),由三角形中位線定理得出,則,然后在直角中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出的余切值.(1)解:過點(diǎn)C作,點(diǎn)H為垂足,在中,,是等腰直角三角形,,在中,,,,設(shè),則,,,,解得,,;(2)解:過點(diǎn)D作,點(diǎn)M為垂足,,,,D為中點(diǎn),,由(1)知:,,,在中,,.21.【分析】過C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn),根據(jù)橋兩端A,B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°,可得,,利用特殊角的三角函數(shù)求解即可.解:如圖示:過C點(diǎn)作交AB于D點(diǎn),∵EF∥AB,∴,,在Rt△ADC中,∴m,在Rt△BDC中,∴m,∴m.【點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用,熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.22.(1)24;(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】(1)根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義,求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo),利用k=xy計(jì)算m即可;(2)利用分類思想,根據(jù)正切的定義,建立等式求解即可.解:(1)∵點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4,∴,解得,∴,∴.(2)∵,∴,設(shè),則,當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè),∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴(6+2t)(4t)=24,解得:,(舍去),當(dāng)時(shí),,∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)的左側(cè),∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴(62t)(4+t)=24,解得:,,均舍去.綜上,M點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題,反比例函數(shù)解析式的確定,三角函數(shù),一元二次方程的解法,熟練掌握函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義,靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義,構(gòu)造一元二次方程并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵.23.(1)22.5°;(2)tan∠DAC=【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可證明四邊形ABEB'為正方形.△AEE'為等腰三角形.故AE=AE',由∠B'AE=∠AEB'=45°,可推出∠AEE'=∠AE'E=67.5°,進(jìn)而∠B'EE'=∠AEE'﹣∠AEB'=22.5°;(2)設(shè)正方形ABEB'的邊長為a,由勾股定理得AE==AE',B'E'=AE'﹣AB'=,由同角的余角相等可推出∠DAC=∠B'EE',由此tan∠DAC=tan∠B'EE'=,即可求得答案.(1)解:由折疊性質(zhì)可知,∠ABE=∠AB'E=90°,AB=AB',∵四邊形ABCD為矩形,∴∠BAB'=90°,∴四邊形ABEB'為矩形,又∵AB=AB',∴四邊形ABEB'為正方形,∴∠B'AE=∠AEB

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