九師聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，求出函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求出求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：A2.已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用不等式的性質(zhì)，線(xiàn)性運(yùn)算即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以，從而．故選：B．3.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)不是偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的概念得是假命題，再寫(xiě)其否定形式即可得答案.【詳解】定義域?yàn)镽的函數(shù)是偶函數(shù)，所以不是偶函數(shù)．故選：D．4.設(shè)函數(shù)若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分當(dāng)和兩種情況進(jìn)行求解即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得．綜上，的取值范圍是．故選：A．5.設(shè)，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件及必要條件定義結(jié)合不等式的性質(zhì)判定各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，故是的充要條件；對(duì)于B，由得，能推出，反之不成立，所以是的充分不必要條件；對(duì)于C，由無(wú)法得到之間的大小關(guān)系，反之也是，所以是的既不充分也不必要條件；對(duì)于D，由不能推出，反之則成立，所以是必要不充分條件．故選：B．6.已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，則矩形面積，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，取得最大值，即可求得AB.【詳解】設(shè)，則，所以矩形面積，所以，令，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．故選：D．7.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè)函數(shù)，再把兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列式求解即可.【詳解】由，記．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以Fx的最小值為，結(jié)合圖象知，若函數(shù)Fx與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則需，解得．故選:A．8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性得出，再根據(jù)，取對(duì)數(shù)判斷得出，最后比較可得選項(xiàng)；【詳解】設(shè)，則，所以在0,1上單調(diào)遞增，所以，即，所以；因?yàn)?，所以，即；又，所以．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于集合，若，則稱(chēng)為對(duì)偶互存集，則下列為對(duì)偶互存集的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)偶互存集的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，為全體奇數(shù)構(gòu)成的集合，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，也為奇數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，則，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)x∈0,2時(shí)，，故D正確．故選：ABD．10已知函數(shù)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，設(shè)，再應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,B,C選項(xiàng)，應(yīng)用基本不等式計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)在上單調(diào)遞增，由，得，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，由，得，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，故C正確；對(duì)于D，由，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）；再結(jié)合，得，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng).11.設(shè)，定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，令，又，即可求得；對(duì)于B，令，再由，即可推得；對(duì)于C，令，可得，從而為奇函數(shù)；對(duì)于D，可推得，即的周期為，則.【詳解】對(duì)于A，令，得，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，令，代入可得，因?yàn)椋?，從而，故B正確；對(duì)于C，令，代入得，又因?yàn)閷?duì)，恒成立且不恒為0，所以，從而為奇函數(shù)，又不恒等于0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以為的周期，所以，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為冪函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】首先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程即可.【詳解】設(shè)，將代入得，所以，所以切線(xiàn)方程為，即．故答案為：.13.設(shè)且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出，再應(yīng)用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故答案為：1214.已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)和確定的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】的定義域是，且．令，判別式．當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以上最多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，設(shè)方程的兩根分別為，且，則，所以異號(hào)，即．又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點(diǎn)，又因?yàn)?，且，結(jié)合的單調(diào)性，得，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上也存在一個(gè)零點(diǎn)，又在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.定義區(qū)間、、、的長(zhǎng)度均為，其中．（1）若關(guān)于的不等式的解集區(qū)間長(zhǎng)度為2，求的值；（2）若且，求關(guān)于的不等式的解集區(qū)間長(zhǎng)度范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)出不等式的解集區(qū)間，借助韋達(dá)定理及區(qū)間長(zhǎng)度列式計(jì)算即得.（2）由給定條件，可得及，再求出不等式的解集區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)不等式的解集區(qū)間為，則是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，且，，即有，由，得，解得，滿(mǎn)足題意，所以的值是．【小問(wèn)2詳解】由且，得，由及，得，則，不等式化為，即，解得，所以其解集區(qū)間長(zhǎng)度為，范圍為.16.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在極小值，討論與的大小關(guān)系.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再分四種情況討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，分兩種情況分別求出函數(shù)的極小值，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)值范圍比較大小關(guān)系即可.【小問(wèn)1詳解】，若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即，則恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，f'(x)=0；若，即，則當(dāng)或時(shí)，f′x<0；當(dāng)時(shí)，f′x>0若，即，則當(dāng)或時(shí)，f′x<0；當(dāng)時(shí)，f′x>0綜上所述，當(dāng)時(shí)，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在0,1，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，若存在極小值，則，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所?綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.17.某制藥廠臨床試驗(yàn)一批新藥的療效（因子是主要成分），根據(jù)國(guó)家規(guī)定：服用新藥后100mL血液中因子含量達(dá)到認(rèn)定為有效Ⅰ級(jí)，80mg及以上認(rèn)定為有效Ⅱ級(jí)，20mg以下認(rèn)定為無(wú)效．經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)得知，服用該藥后一開(kāi)始血液中因子的濃度呈線(xiàn)性增長(zhǎng)，當(dāng)其上升到時(shí)，血液中因子的濃度將會(huì)以每小時(shí)的速度減少（函數(shù)模型如圖）．（1）請(qǐng)寫(xiě)出服用該藥后血液中因子濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系式；（2）服用該藥后，至少要經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)血液中因子才能降至無(wú)效？（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）；（2）9個(gè)小時(shí).【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，結(jié)合圖象求出與的關(guān)系式.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合已知建立不等式，再利用單調(diào)性求解即得.【小問(wèn)1詳解】開(kāi)始時(shí)，血液中因子濃度呈線(xiàn)性增長(zhǎng)時(shí)，設(shè)，將代入，得，解得，因此；當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)因子濃度上升到時(shí)，以每小時(shí)的速度減少，則當(dāng)時(shí)，，所以所求關(guān)系式為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)至少要經(jīng)過(guò)小時(shí)血液中因子降至無(wú)效，即，整理得，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得，則，解得，所以至少要經(jīng)過(guò)9個(gè)小時(shí)血液中因子才能降至無(wú)效.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，求正?shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)值域求解即得.（2）變形給定不等式，按分段討論求出的范圍.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出給定區(qū)間上的值域，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根求解即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，，由，得，則，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】不等式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則恒成立，又在上遞減，在上的值域?yàn)?，因此；?dāng)時(shí)，，則恒成立，又在上遞減，在上的值域?yàn)?，因此，所以?shí)數(shù)取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，因此，即，則是關(guān)于的方程，即的兩個(gè)不相等的正根，則Δ=9?4m(1?m)>01?mm所以正數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)（其中）．（1）當(dāng)時(shí)，證明：是增函數(shù)；（2）證明：曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；（3）已知，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷導(dǎo)數(shù)值為正即可.（2）利用中心對(duì)稱(chēng)的定義，計(jì)算推理即得.（3）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，再按分類(lèi)討論并求出的最小值，建立不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以是增函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】依題意，，所以曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)