人教B版高中數(shù)學(xué)選修22141曲邊梯形面積與定積分學(xué)案

1.4.1曲邊梯形面積與定積分（學(xué)案）一、知識(shí)梳理曲邊梯形：由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。

2.引例：求曲線與直線所圍成的區(qū)域的面積將區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間：，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，過(guò)各分點(diǎn)作軸的垂線，把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間左端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，為底座小矩形，于是，這些小矩形的面積依次是所有這些小矩形的面積之和為=化簡(jiǎn)得：=所以==思考：如果去小區(qū)間的右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，則這些小矩形的面積之和為=化簡(jiǎn)得：=所以==3.定積分的定義：如果函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間

[a,b]

等分成

n

個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為。在每個(gè)小區(qū)間

上任取一點(diǎn)

ξi（i=1，2，?，n），作和式當(dāng)

→∞

時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[a,b]

上的定積分，記作

即這里，與

分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間

[a,b]

叫做積分區(qū)間，函數(shù)

叫被積函數(shù)，

叫做被積式，x

叫做積分變量。

4.定積分

的幾何意義．從幾何上看，如果在區(qū)間

[a,b]

上函數(shù)

f(x)

連續(xù)且恒有

，那么定積分

表示由由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。二、情境導(dǎo)學(xué)1、由極限法求曲邊梯形的面積的步驟第一步：分割．在區(qū)間[a，b]中等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，將其等分成n個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小區(qū)間的長(zhǎng)度Δxi＝xi－xi－1.第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．將n個(gè)小矩形的面積進(jìn)行求和得Sn.第四步：取極限．當(dāng)n→∞時(shí)，Sn→S，S即為所求．2、利用定義求定積分的步驟3、定積分的幾何意義的應(yīng)用(1)利用定積分的幾何意義求eq\i\in(a,b,)f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b及y＝0所圍成的平面圖形的形狀．常見(jiàn)的圖形有三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形．(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確．三、典例解析例1、利用定積分定義計(jì)算：（1）（2），C為常數(shù)例2、利用定積分的幾何意義計(jì)算：（1）（2）四、當(dāng)堂檢測(cè)1．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正確2．在計(jì)算由曲線y＝－x2以及直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的圖形面積時(shí)，若將區(qū)間[－1,