數(shù)學(xué)丨九師聯(lián)盟陜晉青寧2025屆高三10月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷及答案

考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí),請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效,在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍:集合與常用邏輯用語(yǔ),不等式,函數(shù),導(dǎo)數(shù),三角函數(shù),三角恒等變換,解三角形,平面向量。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要1.已知集合A={0'1'2}'B={父|父>0}'則A∩B的真子集個(gè)數(shù)為A.2B.3C.4D.5A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知a=log3'b=30.2'c=log2則A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a4.若曲線y=tan父(1<父<3)與父軸'直線y=1的交點(diǎn)分別為A'B'O為坐標(biāo)原點(diǎn)'則向量O—與A—夾角的余弦值為5.已知AB=10'C是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)'AC=8'D為BC的中點(diǎn)'則—.—=A.—107.已知函數(shù)十父十a(chǎn)(a為常數(shù))'若f(父)在[—2'4]上的最大值為M'最小值為m'且M十m=6'則a=A.6B.4C.3D.2【高三10月質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))】8.在△ABC中'角A'B為銳角'△ABC的面積為4'且cos2A十cos2B=2—sinC'則△ABC周長(zhǎng)的最小值為A.4\2十4B.4\2—4C.2\2十2D.2\2—2二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得。分。9.已知函數(shù)=sin十cos則A.f(父)為偶函數(shù)B.f(父)的最小正周期為C.f(父)在區(qū)間'上單調(diào)遞減D.f(父)在[0'π]上有4個(gè)零點(diǎn)10.若實(shí)數(shù)父'y滿足父2—4父y十y2=6'則A.|父y|≥2B.|父y|≤12C.父2十y2≥2D.父2十y2≤12A.f(父)的圖象關(guān)于點(diǎn)'對(duì)稱B.fC.是f(父)的極小值點(diǎn)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知f則曲線y=f(父)在點(diǎn)(—1'f(—1))處的切線方程為.父13.若定義在R上的函數(shù)f(父)滿足:f(父十2)十f(父)=0'且f(—1)=—3'則f(2025)=.14.如圖的“心形”曲線C恰好是半圓C1'半圓C2'曲線y=cos父十1(0≤父≤π)'y=—cos父—1(0≤父≤π)組合而成的'則曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.【高三10月質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))】四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題滿分13分)(1)已知α是第三象限角'且tanα是方程父2—父—2=0的一個(gè)實(shí)根'求sin2α—2sinαcosα十3cos2α16.(本小題滿分15分)已知函數(shù)=sin圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的4.對(duì)稱軸的距離為4.(1)求w的值及f(父)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將f(父)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度(縱坐標(biāo)不變)'再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度'再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍'得到函數(shù)g(父)的圖象'若函數(shù)h(父)=2g2(父)—3g(父)十2m—1在'上存在零點(diǎn)'求m的取值范圍.17.(本小題滿分15分) 在△ABC中'角A'B'C的對(duì)邊分別為a'b'c'bcosC—\csinB=a.(1)求B;(2)已知b=6'BD為上ABC的平分線'交AC于點(diǎn)D'且BD=\'M為線段AC上一點(diǎn)'且AM=MC'求△BDM的周長(zhǎng).【高三10月質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))】18.(本小題滿分17分)如圖'我們把由平面內(nèi)夾角成60。的兩條數(shù)軸O父→→(1)若向量OP的“完美坐標(biāo)”為[3'4]'求OP→→(2)已知[父1'y1]'[父2'y2]分別為向量a'b的“完美坐標(biāo)”'證明:a.b=父1父2十y1y2十(3)若向量a'b的“完美坐標(biāo)”分別為[sin父'1]'[cos父'1]'設(shè)函數(shù)f(父)=a.b'父∈R'求f(父)的值域.19.(本小題滿分17分)(1)證明:當(dāng)a=1時(shí)'f(父)只有1個(gè)零點(diǎn);(2)當(dāng)a<0時(shí)'討論f(父)的單調(diào)性;若a=—1'設(shè)g父2'證明:V父1>父2≥0'.【高三10月質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))】1.B由A={0'1'2}和B={父|父>0}'得A∩B={1'2}'所以A∩B的真子集個(gè)數(shù)為22—1=3.故選B.2.A若a'b不共線'由父a十yb=0及平面向量基本定理'得父=y=0;若父=y=0'無(wú)論a'b共線與否'都有父a十yb=0.3.D因?yàn)閍=log3<log31=0'b=30.2>1'0<c=log2<1'所以b>c>a.故選D.4.C由1<父<3'得<父<'由tan父=0'得父=π'解得父=2'則A(2'0);由tan父=1'得父='解得父='則B'1).O=(2'0)'A='1)'所以cos〈O'A〉=O..A==\.故選C.5.B取AB的中點(diǎn)O2=42—52=—9.故選B.t十t'易知g(—t)=—g(t)'所以g(t)為[—3'3]上的奇函數(shù)'則M=g(t)max十1十a(chǎn)'m=g(t)min十1十a(chǎn)'所以M十m=g(t)max十g(t)min十2十2a'由奇函數(shù)性質(zhì)可知g(t)max十g(t)min=0'所以M十m=2十2a=6'所以a=2.故選D.8.A由cos2A十cos2B=2—sinC'可得1—sin2A十1—sin2B=2—sin(A十B)'即sin2A十sin2B=sinAcosB十cosAsinB'因?yàn)?<A<'0<B<'所以當(dāng)0<A十B<時(shí)'sinA<sin—B)=cosB'sinB<cosA'則sin2A十sin2B<sinAcosB十cosAsinB'不符合題意;當(dāng)<A十B<π時(shí)'cosA<sinB'cosB<sinA'sinAcosB十cosAsinB<sin2A十sin2B'不符合題意'所以A十B='從而C='由S△ABC=absinC=4'得ab=8'所以△ABC的周長(zhǎng)a十b十 \a2十b2≥2\十\=4\十4'當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2\時(shí)取等號(hào).故選A.9.ABf(父)=\sin[(3父—十=\sin(3父—=—\2cos3父.顯然f(父)為偶函數(shù)'故A正確;對(duì)于B'最小正周期T='故B正確;對(duì)于C'當(dāng)父∈'時(shí)'3父∈'因?yàn)閥=cos父在'上單調(diào)遞減'所以f(父)=—\cos3父在'上單調(diào)遞增'故C錯(cuò)誤;對(duì)于D'由3父=十kπ(k∈z)'得父=十(k∈z)'所以f(父)在[0'π]上的零點(diǎn)有'''共3個(gè)'故D錯(cuò)誤.故選AB.10.AC設(shè)父y=t'則父=y十t'代入父2—4父y十y2=6'整理得2y2十2ty十6t2=0'由Δ=(2t)2—8(6t2)≥0'解得|t|≥2'即|父y|≥2'則A正確;6=父2—4父y十y2≤父2十y2十2(父2十y2)=3(父2十y2)'即父2十y2≥2'則C正確;取父=5'y=19滿足父2—4父y十y2=6'此時(shí)|5—19|=14>12'52十192>12'則B和D錯(cuò)誤.綜上'故選AC.11.ABCf—父十cos父sin父十父='所以f(父)的圖象關(guān)于點(diǎn) B正確;f,(父)=—sin父—cos父十1=—\sin(父十十1'則f=0'當(dāng)<父<時(shí)'<父十<'\< sin(父十f,(父)<0;當(dāng)<父<時(shí)'<父十<π'0<sin(父十<\'f,(父)>0'所以是f(父)的極小值(0'又y=—\sin父十1在(0'上單調(diào)遞減'所以f,(父)=【高三10月質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)(共4頁(yè))】(父十十1在(—'上單調(diào)遞減'故f,(父)在(—'上無(wú)極值'故D錯(cuò)誤.故選ABC.'所以切線斜率k=f,(—1)=—3'又f(—1)=0'所以曲線y=f(父)在點(diǎn)(—1'f(—1))處的切線方程為y—0=—3(父十1)'即3父十y十3=0.13.3因?yàn)閒(父十2)十f(父)=0'所以f(父十2)=—f(父)'所以f(父十4)=—f(父十2)=f(父)'4為f(父)的一個(gè)周期'則f(2025)=f(506×4十1)=f(1)'又f(父十2)十f(父)=0'取父=—1'得f(1)十f(—1)=0'所以f(1)=—f(—1)=3'故f(2025)=3.14.3π如圖'設(shè)A(0'2)'B(π'0)'連接AB交曲線y=cos父十1(0≤父≤π)于點(diǎn)E.根據(jù)曲線y=cos父十1(0≤父≤π)的性質(zhì)'則A'B關(guān)于E'1)對(duì)稱'曲線y=cos父十1(0≤父≤π)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱'所以可將曲線y=cos父十1(0≤父≤π)與父軸、y軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角△OAB的區(qū)域'于是曲線y=cos父十1(0≤父≤π)與父軸、y軸圍成的區(qū)域的面積就是直角△OAB的面積'即S△OAB=|OA|●|OB|=×2×π=π;根據(jù)對(duì)稱性'可得曲線y=—cos父1(0≤父≤π)與父'y軸圍成的區(qū)域的面積也為π'又半圓C1'半圓C2的面積都為'故曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積為π十π十十=3π.15.解:(1)由父2—父—2=0'得父=—1'或父=2.……………1分因?yàn)閠anα是方程父2—父—2=0的一個(gè)實(shí)根'且α是第三象限角'所以tanα=2'……3分2α—2十3=.………………6分2'2'所以(sinα—cosα)2=1—2sinαcosα='則sinαcosα=>0'……………………8分因?yàn)棣痢?0'π)'所以sinα>0'cosα>0'………………9分故cosα十sinα=\(cosα十si)2=\1十2sinαcosα=\i1十=\'…………11分十=cnαnαα==4\37.…………—12w4'因?yàn)閒(父)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為4'所以×='所以w=1.……………5分由—十2kπ≤2父十≤十2kπ(k∈z)'得—十kπ≤父≤十kπ(k∈z)'所以f(父)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—十kπ'十kπ](k∈z).…………7分(2)由題意可知g(父)=sin(2父—'所以h(父)=2sin2(2父—(2父—十2m—1'……………9分【高三10月質(zhì)量檢測(cè)●數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)(共4頁(yè))】所以g(父)=sin(2父—的值域?yàn)閇0'1]'…………11分令t=g(父)=sin(2父—'t∈[0'1]'則y=—2t2十3t十1=—2(t—2十的值域?yàn)閇1''…………13分所以1≤2m≤'解得≤m≤'所以m的取值范圍為'.………………………15分17.解:(1)“bcosC—\csinB=a':sinBcosC—\sinCsinB=sinA'………………2分 :sinBcosC—\sinCsinB=sin(B十C)=sinBcosC十cosBsinC'…………………4分:—1sinCsinB=cosBsinC'\3\3“sinC≠0':—1sinB=cosB':tanB=—\'……………………6分\3又“B∈(0'π)':B=.…………………7分(2)因?yàn)锽D為上ABC的平分線'B='所以上ABD=上CBD='………8分又S△ABC=S△ABD十S△CBD'BD=\3'所以acsinπ=c.\sin十a(chǎn).\sin'即ac=\(a十c)'①……………………10分由余弦定理'得b2=a2十c2—2accos'即(a十c)2—ac=36'②……………………11分由①②可得a十c=4\(舍去負(fù)值)'ac=12'所以a'c是關(guān)于父的方程父2—4\父十12=0的兩個(gè)實(shí)根'解得a=c=2\.………13分又因?yàn)锽D為上ABC的平分線'所以BD丄AC'又AM=MC'AC=6'所以DM=AD—AM=3—2=1'BM=\BD2十DM2=2' 所以△BDM的周長(zhǎng)為3十\3.…………………………15分18.(1)解:因?yàn)镺的“完美坐標(biāo)”為[3'4]'則O=3e1十4e2'又因?yàn)閑1'e2分別為O父'Oy正方向上的單位向量'且夾角為60。'→→1所以O(shè)P=\(3e1十4e2)2=\9e十24e1.e2十16e=\9十24×2十16=\37 4分2'(2)證明:由(1)知e1.e2=2'所以a.b=(父1e1十y1e2).(父2e1十y2e2)=父1父2e十父1y2e1.e2十父2y1e1.y1y2十(父1y2十父2y1)'y1y2十(父1y2十父2y1).……………8分(3)解:因?yàn)橄蛄縜'b的“完美坐標(biāo)”分別為[sin父'1]'[cos父'1]'由(2)得f(父)=a.b=sin父cos父十1十(sin父十cos父).………………令g(t)=(t2—1)十1十t=(t2十t十1)(—\≤t≤\)'……………………13分【高三10月質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)(共4頁(yè))】因?yàn)間(t)的圖象是對(duì)稱軸為t=—'開口向上的拋物線的一部分'所以當(dāng)t=—時(shí)'g(t)取得最小值g(—=×—十1)=' 當(dāng)t=\時(shí)'g(t)取得最大值g(\)=×(2十\十1)=32'所以f(父)的值域?yàn)?3].……………………17分19.(1)證明:a=1時(shí)'f(父)=ln(1—父)十父2'定義域?yàn)?—∞'1)'所以f,(父)<0在(—∞'1)上恒成立'所以f(父)在(—∞'1)上單調(diào)遞減'…………2分又f(0)=0'所以f(父)只有1個(gè)零點(diǎn).…………………3分aa'…………4