2020北京中考數(shù)學(xué)二模分類匯編《幾何綜合》含答案解析

2020北京中考數(shù)學(xué)二模分類匯編——幾何綜合12020?海淀區(qū)二模）如圖1，等邊三角形中，D為邊上一點(diǎn)，滿足BD＜CD，連接AD，以點(diǎn)A為中心，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與△的外角平分線交E．1）依題意補(bǔ)全圖1；2）求證：＝AE；3）若點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接CF．求證：AE∥；若BECF＝成立，直接寫(xiě)出∠的度數(shù)為22020?西城區(qū)二模）在正方形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)（CE＞DEAE，交于點(diǎn)．1）如圖1，過(guò)點(diǎn)F作GH⊥AE，分別交邊ADGH．求證：∠EAB＝∠GHC；2的垂直平分線分別與AD，AE交于點(diǎn)，MN，連接．依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第1頁(yè)（共9頁(yè)）32020?東城區(qū)二模）在△中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D是△外一點(diǎn)，點(diǎn)DC在直線的異側(cè)，且點(diǎn)DAC不共線，連接，CD．11＝°．∠ADB30ADBD之間的數(shù)量關(guān)系；2＝ADB＝°時(shí)，利用圖2AD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（提示：嘗試運(yùn)用圖形變換，將要研究的有關(guān)線段盡可能轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中）（3）當(dāng)∠ADB＝時(shí)，進(jìn)一步探究ADBD之間的數(shù)量關(guān)系，并用含α的等式直接表示出它們之間的關(guān)系．42020AOB＝M為射線OBOM1P為射線OAOOP1PMP為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，得到線段PN，連接MN．1）依題意補(bǔ)全圖1；2）求證：∠APN＝∠OMP；（3）H為射線OA上一點(diǎn)，連接NH．寫(xiě)出一個(gè)OH的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)P總有∠OHN為定值，并求出此定值．第2頁(yè)（共9頁(yè)）52020RtABC90C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45CPA關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接交直線E，連接CD．1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；2）判斷△的形狀，并證明；3）連接BE，用等式表示線段ABBC，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3思路．1的主要思路：FCF＝EFABE≌△CFE是等腰直角三角形．2的主要思路：A作AM⊥，可證△是等腰直角三角形，再證△ABC∽△．3的主要思路：A作AM⊥，過(guò)點(diǎn)C作⊥N＝aENb，用含a或b的式子表示ABBC．……．第3頁(yè)（共9頁(yè)）62020?石景山區(qū)二模）在△中，AB＝AC，D是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B邊ED的右邊且∠DAE＝∠BACD關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F．1）如圖1，依題意補(bǔ)全圖；求證：CF＝．2）如圖2，∠BAC＝°，用等式表示線段DE，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第4頁(yè)（共9頁(yè)）72020?房山區(qū)二模）點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，以為斜邊作等腰RtADC，連接，在△外側(cè)，以為斜邊作等腰△BED，連接EC．1）如圖1，當(dāng)∠DBA＝°時(shí)：求證：AC＝；判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；2）如圖20°＜∠DBA＜°時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？對(duì)于以上問(wèn)題，小牧同學(xué)通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，形成了解決該問(wèn)題的幾種思路：想法1：嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，過(guò)點(diǎn)D作線段垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接；通過(guò)證明△ADB≌△解決以上問(wèn)題；2DD作線段GEG證明△ADB∽△GDE解決以上問(wèn)題；3D作垂線段DFEFDE四點(diǎn)共圓，利用圓的相關(guān)知識(shí)解決以上問(wèn)題．請(qǐng)你參考上面的想法，證明EC＝EB第5頁(yè)（共9頁(yè)）82020ABC＝使BC＝C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°得到線段，連接DMAD．1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；2）當(dāng)∠BAM＝°時(shí)，∠AMD的度數(shù)是；3）小聰通過(guò)畫(huà)圖、測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠AMB是一定度數(shù)時(shí)，AMMD．小聰把這個(gè)猜想和同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：1ABCD補(bǔ)全成為正方形ABCE≌△AED，因此易得當(dāng)∠AMD是特殊值時(shí)，問(wèn)題得證；想法2：要證AM＝MD，通過(guò)第（2）問(wèn)，可知只需要證明△AMD是等邊三角形，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形CDAFAD＝ABM≌△CBFAM＝CF問(wèn)題；3BC＝ABC＝ACACM≌△ACDAMD是等腰三角形，因此當(dāng)∠AMD是特殊值時(shí)，問(wèn)題得證．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小聰證明當(dāng)∠AMD是一定度數(shù)時(shí)，AM＝MD第6頁(yè)（共9頁(yè)）92020?密云區(qū)二模）已知：是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線，點(diǎn)C是直線左側(cè)的一個(gè)動(dòng)60°＜∠CAN120C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)CD，在直線上取一點(diǎn)，使∠DBN601）若點(diǎn)C位置如圖1所示．依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；求證：∠CDB＝∠MAC；2）連接BC，寫(xiě)出一個(gè)的值，使得對(duì)于任意一點(diǎn)C，總有ABBD＝，并證明．102020?昌平區(qū)二模）如圖，在△中，∠BAC＝30°，AB＝AC，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0α180，連接．1）當(dāng)90依題意補(bǔ)全圖形；求證：PD2PB；2）寫(xiě)出一個(gè)的值，使得PD＝成立，并證明．第7頁(yè)（共9頁(yè)）2020?順義區(qū)二模）已知：在△中，∠ABC90°，AB＝BC，點(diǎn)D為線段上D不與點(diǎn)BCB關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為EC作的垂線，交射線DEF，連接AE．1）依題意補(bǔ)全圖形；2與DF的位置關(guān)系是；3AFDDAF的度數(shù)始終保持不變，小昊把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行了交流，經(jīng)過(guò)測(cè)量，小昊猜想DAF＝°，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的兩種想法：1：過(guò)點(diǎn)A作AGG，構(gòu)造正方形ABCG，然后可證△AFG≌△AFE…2點(diǎn)B作BGAFG?ABGFAFE≌△BGC…第8頁(yè)（共9頁(yè)）2020ABCDEF分別是AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，C＝CF，延長(zhǎng)到GCF，連接，．1）依題意將圖形補(bǔ)全；2FEG＝過(guò)與同學(xué)們充分討論，形成了幾種證明的想法：想法一：連接DE，DG，證明△是等腰直角三角形；想法二：過(guò)點(diǎn)D作DF的垂線，交的延長(zhǎng)線于H，可得△是等腰直角三角形，HF＝；…請(qǐng)參考以上想法，幫助小華證明EG＝DF第9頁(yè)（共9頁(yè)）2020北京中考數(shù)學(xué)二模分類匯編——幾何綜合參考答案與試題解析12020?海淀區(qū)二模）如圖1，等邊三角形中，D為邊上一點(diǎn)，滿足BD＜CD，連接AD，以點(diǎn)A為中心，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與△的外角平分線交E．1）依題意補(bǔ)全圖1；2）求證：＝AE；3）若點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接CF．求證：AE∥；②若BE+＝成立，直接寫(xiě)出∠的度數(shù)為20【分析】1）由旋轉(zhuǎn)即可補(bǔ)全圖形；（2）先判斷出∠BAE＝∠CAD，再判斷出∠ABE＝60°＝∠C，進(jìn)而判斷出△ABE≌△ACD，即可得出結(jié)論；3先判斷出AFC＝∠ACFBADα＝CAF60，進(jìn)而得出∠ACF60+再判斷出∠CAE＝120°﹣α，即可得出結(jié)論；②先判斷出∠CBG＝30°﹣α，進(jìn)而判斷出∠CDF＝60°﹣2α，再判斷出DF＝CF，進(jìn)而得出∠DCF＝∠CDF60°﹣，再判斷出∠DCF＝，即可得出結(jié)論．【解答】1）補(bǔ)全圖形如圖1所示；2）由旋轉(zhuǎn)知，∠DAE＝°，∵△是等邊三角形，ABAC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，第1頁(yè)（共29頁(yè)）是△的外角的平分線，∴∠＝（180°﹣°）＝°＝∠，在△和△，∴△ABE≌△ACDASA＝AE；32，連接AF，∵點(diǎn)FB的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠BAD＝∠，AFAB，AFAC，∴∠AFC＝∠ACF，設(shè)∠BAD，則∠＝，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠60°﹣2，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60α，由（）知，∠BAE＝∠CAD＝°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE∠BAC＝°﹣α°＝120°﹣，∴∠ACF∠CAE60++120°﹣180°，AECF；，連接BF，設(shè)∠BAD＝，F(xiàn)B的對(duì)稱點(diǎn)，⊥BF，垂足記作點(diǎn)G，則∠AGB90∴∠ABG90°﹣，∵∠ABC60∴∠CBG30°﹣，DF＝DF，∴∠CDF2CBG＝°﹣2，由（）知，△ABE≌△ACD，BECD，第2頁(yè)（共29頁(yè)）BECF＝，+CFBCBD+，＝CF，＝CF，∴∠DCF＝∠CDF60°﹣，知，∠ACF60+，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝，60°﹣＝，＝°，即∠BAD20故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，判斷出∠CDF60°﹣是解本題的關(guān)鍵．22020?西城區(qū)二模）在正方形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)（CE＞DEAE，交于點(diǎn)．1）如圖1，過(guò)點(diǎn)F作GH⊥AE，分別交邊ADGH．求證：∠EAB＝∠GHC；第3頁(yè)（共29頁(yè)）2的垂直平分線分別與AD，AE交于點(diǎn)，MN，連接．依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得出∠AGH＝∠GHC．證得∠EAB＝∠AGH．則結(jié)論得2依題意補(bǔ)全圖形即可；連接AN，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)Q．證得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝°．則可得出AE＝NE＝．【解答】1）證明：在正方形ABCD中，ADBC，∠BAD＝°，∴∠＝∠GHC．GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．2補(bǔ)全圖形，如圖所示．證明：連接AN，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)Q．∵四邊形ABCD是正方形，AC對(duì)稱．NANC，∠BAN＝∠BCN．垂直平分，第4頁(yè)（共29頁(yè)）NANE．NCNE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，∥CE，∠BCD＝°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN∠AQE＝∠BCN∠NCE90∴∠ANE＝∠ANQ90在等腰△AE＝NE＝CN．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32020?東城區(qū)二模）在△中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D是△外一點(diǎn)，點(diǎn)DC在直線的異側(cè)，且點(diǎn)DAC不共線，連接，CD．11＝°．∠ADB30ADBD之間的數(shù)量關(guān)系；2＝ADB＝°時(shí)，利用圖2AD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（提示：嘗試運(yùn)用圖形變換，將要研究的有關(guān)線段盡可能轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中）（3）當(dāng)∠ADB＝時(shí)，進(jìn)一步探究ADBD之間的數(shù)量關(guān)系，并用含α的等式直接表示出它們之間的關(guān)系．22222【分析】BDE90+DE＝+BE，再判斷出△ABE≌△ACD（SASBE＝，即可得出結(jié)論；22222221DE2＝1出BECD，即可得出結(jié)論；第5頁(yè)（共29頁(yè)）2223）同（1）的方法得出DE，再判斷出DF2AD?sin，即可得出結(jié)論．222【解答】1）+，理由：如圖1為邊在上側(cè)作等邊三角形ADE，連接BE，則ADDEAE，∠DAE＝∠ADE＝°，∵∠ADB30∴∠BDE＝∠DBAADE90222在△中，根據(jù)勾股定理得，DE＝，222＝，∵∠DAE＝∠BAC60∴∠BAE＝∠CAD，ABAC，∴△ABE≌△ACDSASBECD，222＝；2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AEADAEAD，連接BE，，∴∠ADE45∵∠BDA45∴∠BDE90222根據(jù)勾股定理得，DE+，22DE2，2222＝，∵∠DAE＝∠BAC90∴∠BAE＝∠CAD，ABAC，∴△ABE≌△ACDSASBECD，2222＝；第6頁(yè)（共29頁(yè)）3）如圖3，將線段A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AE，連接，，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝°﹣α，∵∠ADB＝，∴∠BDE90222根據(jù)勾股定理得，DE+，∵∠DAE＝∠BACα，∴∠BAE＝∠CAD，ABAC，∴△ABE≌△ACDSASBECD，222DE＝，A作AF⊥DE于F＝DF，∴∠DAF90°﹣∠ADE＝，在△中，sin∠DAF＝＝ADsin∠DAF＝ADsin，，＝2＝2?sin，2222?sin）．第7頁(yè)（共29頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．42020AOB＝M為射線OBOM1P為射線OAOOP1PMP為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，得到線段PN，連接MN．1）依題意補(bǔ)全圖1；2）求證：∠APN＝∠OMP；（3）H為射線OA上一點(diǎn)，連接NH．寫(xiě)出一個(gè)OH的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)P總有∠OHN為定值，并求出此定值．第8頁(yè)（共29頁(yè)）【分析】1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．2）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（3）結(jié)論：OH＝1時(shí)，∠OHN的值為定值．證明△OMP≌△GPN（SASOP＝AOB＝∠NGP＝OM＝OHPG＝OPHGGH＝出∠＝∠GHN＝180°﹣40°）＝70°可得結(jié)論．【解答】1）解：圖形如圖所示：2）證明：如圖1∵∠＝∠AOB＝°，∠＝∠APN∠＝∠AOB+OMP，∴∠APN＝∠OMP．3）解：結(jié)論：OH＝1時(shí)，∠OHN的值為定值．理由：在射線設(shè)取一點(diǎn)G，使得PG＝，連接．PNPM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPNSAS第9頁(yè)（共29頁(yè)）＝NG，∠AOB＝∠NGP40OM＝OHPG1，＝HG，GH＝GN，∴∠＝∠GHN＝180°﹣40°）＝70∴∠＝180°﹣70°＝°．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．52020RtABC90C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45CPA關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接交直線E，連接CD．1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；2）判斷△的形狀，并證明；3）連接BE，用等式表示線段ABBC，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3思路．1的主要思路：FCF＝EFABE≌△CFE是等腰直角三角形．2的主要思路：A作AM⊥，可證△是等腰直角三角形，再證△ABC∽△．3的主要思路：A作AM⊥，過(guò)點(diǎn)C作⊥N＝aENb，用含a或b的式子表示ABBC．……．第頁(yè)（共29頁(yè)）【分析】1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．2）結(jié)論：△是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可．（3）結(jié)論：BCBA＝BE．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使CF＝AB，連接EF．證明△EAB≌△ECFSASBE＝EF，∠AEB＝∠可得結(jié)論．【解答】1）圖形如圖所示：2）結(jié)論：△是等腰直角三角形．理由：∵，D對(duì)稱，⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝°，CA＝，∴∠ACD90∴△是等腰直角三角形．3）結(jié)論：BCBA＝BE．理由：延長(zhǎng)F＝AB，連接．∵∠ABC＝∠AEC＝°，∴∠BAE∠BCE180∵∠BCE∠ECF180∴∠BAE＝∠ECF，第頁(yè)（共29頁(yè)）∵△是等腰直角三角形，CEAD，AEDE，CEAE＝，ABCF，∴△EAB≌△ECF（BEEF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝°，∴△是等腰直角三角形，BF＝BFBC+＝BCBA，BCBA＝BE．BE，【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．62020?石景山區(qū)二模）在△中，AB＝AC，D是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B邊ED的右邊且∠DAE＝∠BACD關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F．1）如圖1，依題意補(bǔ)全圖；求證：CF＝．2）如圖2，∠BAC＝°，用等式表示線段DE，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；13＝∠1+2AFAD，＝∠3＝∠1+∠．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；第頁(yè)（共29頁(yè)）（2）連接，F(xiàn)E，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2＝45°，求得∠90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖；證明：連接AF，如圖1，∵，∴∠＝∠1+∠2．FD關(guān)于直線對(duì)稱，AFAD，∠＝∠3＝∠1+2．∴∠＝∠﹣∠2＝（∠1+2）﹣∠＝∠1．又∵＝AB，∴△ACF≌△ABDSASCFBD；2222）線段DECE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝．證明：連接，F(xiàn)E，如圖2，ABAC，∠BAC＝°，∴∠＝∠2＝°，由（），可得FE＝，∠3＝∠245∴∠FCE90222在△中，由勾股定理，得+，222DE．第頁(yè)（共29頁(yè)）正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．72020?房山區(qū)二模）點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，以為斜邊作等腰RtADC，連接，在△外側(cè)，以為斜邊作等腰△BED，連接EC．1）如圖1，當(dāng)∠DBA＝°時(shí)：求證：AC＝；判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；2）如圖20°＜∠DBA＜°時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？對(duì)于以上問(wèn)題，小牧同學(xué)通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，形成了解決該問(wèn)題的幾種思路：想法1：嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，過(guò)點(diǎn)D作線段垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接；通過(guò)證明△ADB≌△解決以上問(wèn)題；2DD作線段GEG證明△ADB∽△GDE解決以上問(wèn)題；3D作垂線段DFEFDE四點(diǎn)共圓，利用圓的相關(guān)知識(shí)解決以上問(wèn)題．請(qǐng)你參考上面的想法，證明EC＝EB【分析】（1）①先利用直角三角形斜邊的中線得出AC＝2DF，再用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出BD＝DF，即可得出結(jié)論；先求出∠BDC15CDE60第頁(yè)（共29頁(yè)）可得出結(jié)論；2BD＝GDADB≌△SAS＝∠DAB斷出△是直角三角形，再判斷出EGEB，即可得出結(jié)論．【解答】1），D作DF于，則∠DFC90∵△是為斜邊作等腰RtADC，AC2DF，在△中，∠DBA＝°，＝2，ACBD；∵△是等腰直角三角形，∴∠ACD45∵∠DBA30∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA15∵△是等腰直角三角形，∴∠BDE45∴∠CDE＝∠CDBBDE＝°，在△中，AC＝在△中，BD＝知，AC＝，BECD＝，∴△是等邊三角形，＝CE，，BE＝，ECEB；2）如圖2，D作DG⊥交的延長(zhǎng)線于G，連接CG，∴∠＝°＝∠ADC，第頁(yè)（共29頁(yè)）∴∠ADB＝∠，∵△為斜邊作等腰△BED，∴∠BED90°，∠DBE＝°，∴∠＝°﹣∠DBE45°＝∠DBE，＝GD，＝CD，∴△ADB≌△（SAS∴∠＝∠DAB，∵∠ACD45∴∠BCG＝∠ACG90在△中，＝DG，∠BED＝°，＝EB，BECE30度角的BCG＝°是解本題的關(guān)鍵．第頁(yè)（共29頁(yè)）82020ABC＝使BC＝C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°得到線段，連接DMAD．1）依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；2）當(dāng)∠BAM＝°時(shí)，∠AMD的度數(shù)是°；3）小聰通過(guò)畫(huà)圖、測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠AMB是一定度數(shù)時(shí)，AMMD．小聰把這個(gè)猜想和同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：1ABCD補(bǔ)全成為正方形ABCE≌△AED，因此易得當(dāng)∠AMD是特殊值時(shí)，問(wèn)題得證；想法2：要證AM＝MD，通過(guò)第（2）問(wèn)，可知只需要證明△AMD是等邊三角形，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形CDAFAD＝ABM≌△CBFAM＝CF問(wèn)題；3BC＝ABC＝ACACM≌△ACDAMD是等腰三角形，因此當(dāng)∠AMD是特殊值時(shí)，問(wèn)題得證．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小聰證明當(dāng)∠AMD是一定度數(shù)時(shí)，AM＝MD【分析】1）由題意畫(huà)出，圖形；2DMC45AMB75可求出答案；3）根據(jù)三種想法證明△AMD為等邊三角形即可得出結(jié)論．【解答】1）由題意畫(huà)出圖形如圖1，第頁(yè)（共29頁(yè)）2）如圖1，∵∠＝°，∠ABC＝°，∴∠＝°﹣15°＝°，C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，CM＝，∠MCD90∴∠CMD＝∠MDC＝°，∴∠AMD180°﹣∠AMB﹣∠DMC180°﹣75°﹣°＝60故答案為：603）當(dāng)∠AMB＝°時(shí)，AMDM．1證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵∠AEC＝∠＝∠ABC＝°，AB＝BC，∴四邊形ABCE正方形，ABAE，BCCE，由（）可知CMCD，BM＝DE，∴△≌△AED（SAS第頁(yè)（共29頁(yè)）AM＝AD，由（）可知∠AMD60∴△AMD為等邊三角形，AM＝DM．2證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CF交F，AFCD，∴四邊形AFCD為平行四邊形，＝CF，＝，ABAF+BFBCBMCM，ABBC，+BFBM+CM，＝CM，BFBM，又∵＝BC，∠FBC＝∠MBC90∴△≌△CBFSASAM＝CF，AM＝AD，又∵∠AMD＝°，∴△AMD為等邊三角形，AM＝DM．3證明：如圖4，連接，第頁(yè)（共29頁(yè)）BCAB，∠ABC＝°，∴∠ACB45∴∠ACD45又∵CMCDAC＝，∴△≌△ACD（SASAM＝AD，∵∠AMD60∴△AMD為等邊三角形，AM＝DM．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．92020?密云區(qū)二模）已知：是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線，點(diǎn)C是直線左側(cè)的一個(gè)動(dòng)60°＜∠CAN120C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)CD，在直線上取一點(diǎn)，使∠DBN601）若點(diǎn)C位置如圖1所示．依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；第頁(yè)（共29頁(yè)）求證：∠CDB＝∠MAC；2）連接BC，寫(xiě)出一個(gè)的值，使得對(duì)于任意一點(diǎn)C，總有ABBD＝，并證明．【分析】1）根據(jù)題意作出圖形即可求解；根據(jù)等量關(guān)系可證∠CDB＝∠MAC；22BC上截取AHBDCHSAS可證△ACH≌DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【解答】1）1所示：證明：∵∠＝°，∠DBN60∴∠＝∠DBN，∵∠DBNABD＝180°，∴∠∠ABD180°，在四邊形中，∠CDB∠BAC＝180°，∵∠BAC∠＝180°，∴∠CDB＝∠；2BC＝3時(shí)，對(duì)于任意一點(diǎn)，總有ABBD3．證明：如圖2，連接BC，在直線上截取AHBD，連接CH，∵∠＝∠CDB，＝CD，∴△ACH≌△DCBSAS∴∠ACH＝∠DCB＝CB，∵∠DCBACB＝∠ACD60∴∠HCB＝∠ACHACB60∴△是等邊三角形，BCBH＝+＝3．第頁(yè)（共29頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，得到△是等邊三角形．102020?昌平區(qū)二模）如圖，在△中，∠BAC＝30°，AB＝AC，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0α180，連接．1）當(dāng)90依題意補(bǔ)全圖形；求證：PD2PB；2）寫(xiě)出一個(gè)的值，使得PD＝成立，并證明．【分析】1）當(dāng)＝°時(shí)，依題意即可補(bǔ)全圖形；30度角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可證明PD＝PB；2）當(dāng)?shù)闹禐?0或120度時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明＝【解答】1）當(dāng)＝°時(shí)，成立．如圖即為補(bǔ)全的圖形；第頁(yè)（共29頁(yè)）證明：∵∠BAC＝°，ABAC，根據(jù)題意可知：ACAD，＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD90∴∠DAB120°，∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝°，APBP，在△中，∠ADB＝°，＝2AP，＝2PB；2）當(dāng)60120°）時(shí)，PD＝1，如圖所示：成立，＝°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥E，∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，第頁(yè)（共29頁(yè)）在△中，∠BAC30ACAB＝BE，在△中，∠CAD＝°，＝＝AC＝，2BE＝DF，＝DF，，∴＝PB．2，如圖所示：＝120D作⊥，過(guò)點(diǎn)B作BEE，∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在△中，∠BAC30ACAB＝BE，在△中，∠＝°，＝＝AC＝，2BE＝DF，，第頁(yè)（共29頁(yè)）∴＝DF，＝PB．30決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．2020?順義區(qū)二模）已知：在△中，∠ABC90°，AB＝BC，點(diǎn)D為線段上D不與點(diǎn)BCB關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為EC作的垂線，交射線DEF，連接AE．1）依題意補(bǔ)全圖形；2與DF的位置關(guān)系是AE⊥DF；3AFDDAF的度數(shù)始終保持不變，小昊把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行了交流，經(jīng)過(guò)測(cè)量，小昊猜想DAF＝45°，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的兩種想法：1：過(guò)點(diǎn)A作AGG，構(gòu)造正方形ABCG，然后可證△AFG≌△AFE…2點(diǎn)B作BGAFG?ABGFAFE≌△BGC…【分析】1）根據(jù)題意正確畫(huà)圖；2）證明△ABD≌△AEDSSSAED＝∠B90°，從而得結(jié)論；312A做⊥GABCGABBAG90RtAFG≌△HLGAF＝∠EAF90°及角的和可得結(jié)論；想法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AF，交直線于點(diǎn)G，證明四邊形ABGF是平行四邊AFBGBGC＝∠BAF△AEF≌△HL90°及等量代換，角的和可得結(jié)論．【解答】1）補(bǔ)全圖形如圖1：第頁(yè)（共29頁(yè)）2與DF的位置關(guān)系是：AE⊥，理由是：∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為E，ABAE，BD