2025屆安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A. B.C. D.2．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.243．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a；②離心率；③；④當(dāng)軸時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④4．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假5．程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作.它問(wèn)世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對(duì)推動(dòng)漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問(wèn)是：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè).問(wèn)該若干？”如圖是解決該問(wèn)題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)為（）A.120 B.84C.56 D.286．為比較甲、乙兩地某月時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的天，將這天中時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.考慮以下結(jié)論：①甲地該月時(shí)的平均氣溫低于乙地該月時(shí)的平均氣溫；②甲地該月時(shí)的平均氣溫高于乙地該月時(shí)的平均氣溫；③甲地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④7．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.8．過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或9．彬塔，又稱開(kāi)元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.10．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.8011．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.C. D.12．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐的棱AD，BC的中點(diǎn)，，，，則異面直線AB與EF所成的角為_(kāi)_____.14．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，的長(zhǎng)度為2，且，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_______15．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是_________.16．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對(duì)值都不超過(guò)1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.（2）假設(shè)該起點(diǎn)站等候人數(shù)為24人，請(qǐng)你根據(jù)（1）中的結(jié)論預(yù)測(cè)車輛發(fā)車間隔多少時(shí)間合適?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀20．（12分）設(shè)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的定義域?yàn)榧螦（1）求m的值；（2）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)榧螧，若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，由圓的圓心坐標(biāo)為，是拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，有，由圓的幾何性質(zhì)可得，又由，可得的最小值為故選：C.2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算求出公差，進(jìn)而求出首項(xiàng).【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B3、C【解析】利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及題意對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以②正確，對(duì)于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義可得，，因?yàn)?，，所以，所以，所以③正確，對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，可得，此時(shí)，所以，所以④錯(cuò)誤，故選：C4、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.5、B【解析】按照框圖中程序，逐步執(zhí)行循環(huán)，即可求得答案.【詳解】第一次循環(huán)：，，第二次循環(huán)：，，第三次循環(huán)：，，第四次循環(huán)：，，第五次循環(huán)：，，第六次循環(huán)：，，第七次循環(huán)：，，退出循環(huán)，輸出.故選：B6、B【解析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)求出平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時(shí)的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為由莖葉圖知乙地該月時(shí)的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為則甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的標(biāo)準(zhǔn)差，故④正確，故正確的是①④，故選：B7、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A8、D【解析】求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比求解.【詳解】不妨設(shè)直線，由題意得，解得，即；由得，即，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則，故選：D9、D【解析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D10、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)必過(guò)N點(diǎn)，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：C11、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時(shí)，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化12、D【解析】由題意，化簡(jiǎn)即可得出雙曲線的離心率【詳解】解：由題意，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由分別為的中點(diǎn)，可得(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角，在求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)由分別為的中點(diǎn)，則所以(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角由分別是的中點(diǎn),則，又在中,，則所以,又，所以在直角中，故答案為：14、【解析】設(shè)一組基地向量，將目標(biāo)用基地向量表示，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可【詳解】設(shè)，則有：則有：根據(jù)，解得：故答案為：15、##【解析】畫出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準(zhǔn)直線到點(diǎn)時(shí)，取得最大值為.故答案為：16、【解析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列方程可得數(shù)列首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1），是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計(jì)、時(shí)的值，結(jié)合“恰當(dāng)回歸方程”的定義判斷是否為“恰當(dāng)回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問(wèn)1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間隔時(shí)間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因?yàn)?，所以，故，又，所以，?dāng)時(shí)，，而；當(dāng)時(shí)，，而；所以所求的線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)車輛發(fā)車間隔時(shí)間10分鐘較合適.19、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問(wèn)1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問(wèn)2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形20、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線的定義可知，將問(wèn)題問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，即求.（2）判斷點(diǎn)B在拋物線的內(nèi)部，過(guò)B作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)，利用拋物線的定義求解即可.【詳解】解析（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值.由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)F，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入中，得，因?yàn)?，所以點(diǎn)B在拋物線的內(nèi)部.過(guò)B作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出方程即