甘肅省蘭州市第五中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

甘肅省蘭州市第五中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知命題，則為（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.5．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.6．已知拋物線上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.27．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為9．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，10．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.11．兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個(gè)柱子甲、乙、丙，甲柱上有個(gè)盤子，最上面的兩個(gè)盤子大小相同，從第二個(gè)盤子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個(gè)盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動(dòng)的過(guò)程中每次只能移動(dòng)一個(gè)盤子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個(gè)柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，和滿足A. B.C. D.12．已知是兩個(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，則l的斜率為_(kāi)___________14．如圖直線過(guò)點(diǎn)，且與直線和分別相交于，兩點(diǎn).（1）求過(guò)與交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）若線段恰被點(diǎn)平分，求直線的方程.15．一支車隊(duì)有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車，并都在18時(shí)停下來(lái)休息．截止到18時(shí)，最后一輛車行駛了____小時(shí)，如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個(gè)車隊(duì)各輛車行駛路程之和為_(kāi)_____千米16．已知等差數(shù)列的公差不為零，若，，成等比數(shù)列，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問(wèn)題中的三角形存在，試求出；若問(wèn)題中的三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍19．（12分）噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題，為了解聲音強(qiáng)度D（單位：）與聲音能量I（單位：）之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度D和聲音能量I的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖：參考數(shù)據(jù)：其中，，，，，，，，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的回歸模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I回歸方程（3）假定當(dāng)聲音強(qiáng)度D大于時(shí)，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染．城市中某點(diǎn)P處共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲通的聲音能量分別是和，且．已知點(diǎn)P處的聲音能量等于與之和．請(qǐng)根據(jù)（2）中的回歸方程，判斷點(diǎn)P處是否受到噪聲污染，并說(shuō)明理由參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：20．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.22．（10分）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.2、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以k的取值范圍是.故選：B3、C【解析】將全稱命題否定為特稱命題即可【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題，則，故選：C.4、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C5、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線段OA上，且，所以，所以，故選：B6、B【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得則故選：B7、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D8、C【解析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C表示橢圓，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)曲線C的方程為表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)曲線C的方程為表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時(shí)，此時(shí)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)等于虛半軸長(zhǎng)，此時(shí)，解得，此時(shí)方程表示圓，所以不正確.故選：C.9、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}，，所以為，.故選：B.10、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值上的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令，又，所以或；所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以；又，，所以；所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.11、C【解析】通過(guò)寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個(gè)盤，甲柱上的盤從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，只移動(dòng)1次；當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，將移到乙柱，移動(dòng)2次；當(dāng)時(shí)，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時(shí)，將上面的3個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個(gè)移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時(shí)，將上面的4個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個(gè)移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點(diǎn)睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，從而得到對(duì)應(yīng)的遞推公式.12、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程得到A點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，再利用，解方程即可得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案為：14、（1）；（2）.【解析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、點(diǎn)在直線上的待定系數(shù)法【詳解】（1）由題可得交點(diǎn)，所以所求直線方程為，即；（2）設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，因?yàn)榫€段恰被點(diǎn)平分，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，的方程，得方程組解得由點(diǎn)和點(diǎn)及兩點(diǎn)式，得直線的方程為，即【點(diǎn)睛】直線的考法主要以點(diǎn)的對(duì)稱和直線的平行與垂直為主．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱，是重點(diǎn)考察內(nèi)容15、①.2.5####②.1950【解析】通過(guò)分析，求出最后一輛車的出發(fā)時(shí)間，從而求出最后一輛車的行駛時(shí)間，這10輛車的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以最后一輛車出發(fā)時(shí)間為15時(shí)30分，則最后一輛車行駛時(shí)間為18-15.5=2.5小時(shí)，第一輛車行程為km，且從第二輛車開(kāi)始，每輛車都比前一輛少走km，這10輛車的行駛路程可以看作首項(xiàng)為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,195016、0【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數(shù)可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解.【小問(wèn)1詳解】由，可得，則.∴，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴.【小問(wèn)2詳解】選擇條件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根據(jù)輔助角公式，可得，∵，∴，即，故選擇條件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，則.在中，，∴.故.選擇條件③由，得，即，整理得，由于，則方程無(wú)解，故不存在這樣的三角形.18、（1），（2）【解析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），因?yàn)椋?，即，所以①，因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為19、（1）更適合（2）（3）點(diǎn)P處會(huì)受到噪聲污染，理由見(jiàn)解析【解析】（1）直接判斷即可；（2）令，先算線性回歸方程再算非線性回歸方程；（3）利用基本不等式計(jì)算出的最小值，再與60比較即可.【小問(wèn)1詳解】更適合【小問(wèn)2詳解】令，則，，D關(guān)于W的回歸方程是，則D關(guān)于I的回歸方程是【小問(wèn)3詳解】設(shè)點(diǎn)P處的聲音能量為，則因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立所以，所以點(diǎn)P處會(huì)受到噪聲污染20、（1）（2）【解析】小問(wèn)1：利用通項(xiàng)公式與的關(guān)系即可求出；小問(wèn)2：根據(jù)(1)可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，…①，，…②①②得：，即：.，是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，則，…①兩邊同乘得：，…②①②得：，.21、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進(jìn)而得到拋物線方程，然后將點(diǎn)代入拋物線求解；（2）方法一：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)，分直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)拋物線方程為，由拋物線定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5，則，，∴拋物線方程為，又點(diǎn)在拋物線上，，，∴所求拋物線方程為，.【小問(wèn)2詳解】方法一：由于直線過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線方程為：，由得，設(shè)，，則，，所以，即為定值；方法二：由于直線過(guò)點(diǎn)，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得直線的方程為，則由可得，，，所以；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)可設(shè)直線方程為：，由得，設(shè)，