浙江省樂清市第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

浙江省樂清市第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.3．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.4．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或5．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.6．若，則（）A. B.C. D.7．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.8．焦點坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.9．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.14410．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.111．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里12．在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運(yùn)動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前項和為，則的通項公式為________.14．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個斜三角形，則______15．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為___________.16．已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：19．（12分）橢圓的一個頂點為，離心率（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點．若滿足，求直線的方程20．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時，求線段AB的長；（3）當(dāng)點在直線上運(yùn)動時，求線段AB長度的最小值.21．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時，并得到如下的統(tǒng)計圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）在等比數(shù)列中，已知，（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）若以數(shù)列中的相鄰兩項，構(gòu)造雙曲線，求證：雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B2、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A3、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應(yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：4、B【解析】利用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】把代入，得：，解得：或.當(dāng)時，可化為：，解得：，此時“”是“”的充要條件，應(yīng)舍去；當(dāng)時，可化為：，解得：或，此時“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B5、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.【詳解】因為等差數(shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.6、D【解析】設(shè)，計算出、的值，利用平方差公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)由已知可得，，因此，.故選：D.7、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D8、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標(biāo)即可.【詳解】對于A，的焦點坐標(biāo)為，A錯誤；對于B，的焦點坐標(biāo)為，B錯誤；對于C，焦點坐標(biāo)為，C錯誤；對于D，的焦點坐標(biāo)為，D正確.故選：D.9、A【解析】分析數(shù)列的特點，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A10、B【解析】計算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計算，判斷為否，計算，輸出.故選：B.11、B【解析】根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，分析可得每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以的為公比的等比數(shù)列，由求得首項即可【詳解】解：根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，則數(shù)列是以的為公比的等比數(shù)列，又由這個人走了6天后到達(dá)目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式的運(yùn)用，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.12、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】討論和兩種情況，進(jìn)而利用求得答案.【詳解】由題意，時，，時，，則，于是，故答案為：14、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據(jù)拋物線定義可得，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及B在C上，求目標(biāo)式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準(zhǔn)線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，再由三角函數(shù)的定義及點在拋物線上求值.15、2【解析】利用雙曲線的漸近線的傾斜角，求解，關(guān)系，然后求解離心率，即可求解.【詳解】雙曲線一條漸近線的傾斜角為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.16、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱錐的體積；（2）由平面，證得和，由此利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.試題解析：（1）在中，.在中,.則.（2），為的中點，.平面.平面.為中點，為為中點，，則.平面.考點：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用和項可求得的通項公式，注意別漏了說明；（2）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點睛】本題主要考查給出的一個關(guān)系式求數(shù)列的通項公式以及用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.19、（1）；（2）【解析】（1）首先由橢圓的一個頂點可以求出的值，再根據(jù)離心率可得到、的關(guān)系，聯(lián)立即可求得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）先聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理得到線段的中點的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求得的值，進(jìn)而求得直線的方程【詳解】（1）由一個頂點為，離心率，可得，，，解得，，即有橢圓方程為（2）由知點在線段的垂直平分線上，由，消去得，由，得方程的，即方程有兩個不相等的實數(shù)根設(shè)、，線段的中點，則，所以，所以，即，因為，所以直線的斜率為，由，得，所以，解得：，即有直線的方程為20、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點Q，當(dāng)CQ垂直于AB時，AB最短.【小問1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過定點Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.21、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖計算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時51520總計202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”【小問2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績超過120分的有25人，其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的有10人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的抽2人，記為：1，2；每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過