陜西韓城象山中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

陜西韓城象山中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.2．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.53．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列選項(xiàng)中沒有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A. B.C. D.4．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.95．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.6．不等式的解集為（）A. B.C. D.7．橢圓的（）A.焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B.焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C.焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 D.焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.9．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.10．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.2611．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1412．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，向量為平面ABC的一個(gè)法向量，其中，，則向量的坐標(biāo)為______14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.15．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長(zhǎng)______16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．若，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)18．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:19．（12分）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）（1）已知點(diǎn)，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.22．（10分）某小學(xué)調(diào)查學(xué)生跳繩的情況，在五年級(jí)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖如下，且規(guī)定積分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）求頻率分布直方圖中，跳繩個(gè)數(shù)在區(qū)間的小矩形的高；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，把第40百分位數(shù)劃為合格線，低于合格分?jǐn)?shù)線的學(xué)生需補(bǔ)考，試確定本次測(cè)試的合格分?jǐn)?shù)線；（3）依據(jù)積分規(guī)則，求100名學(xué)生的平均得分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】首先求出，再令即可求解.【詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A3、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個(gè)“巧點(diǎn)”，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行一一的判斷即可【詳解】對(duì)于A，，則，令，解得或，即有解，故選項(xiàng)A的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時(shí)為增函數(shù)，∵(1)，(e)，由零點(diǎn)的存在性定理可得，在上存在唯一零點(diǎn)，即方程有解，故選項(xiàng)B的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于C，，則，令，故方程無解，故選項(xiàng)C的函數(shù)沒有“巧值點(diǎn)”，符合題意；對(duì)于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項(xiàng)D的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意故選：C4、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D5、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.6、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A.7、B【解析】把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷焦點(diǎn)位置和求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，且，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B.8、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡(jiǎn)單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解9、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解10、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達(dá)定理結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得，所以.故選：A11、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)向量為平面ABC的一個(gè)法向量，由求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)橄蛄繛槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，所以，解得，所以，故答案為：14、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：215、【解析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長(zhǎng)【詳解】二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長(zhǎng)故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，是中檔題16、##【解析】由可得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得為直角三角形，由題意設(shè)，則，由勾股定理可得，再結(jié)合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，即，所以設(shè)，則，所以，得，因?yàn)閯t，所以，所以，即離心率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡(jiǎn)求得的長(zhǎng).【小問1詳解】依題意點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡(jiǎn)的，解得或，也即或.18、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見詳解【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，?①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，即，所以，所以時(shí)，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)椋?，所以，所以時(shí)，.【點(diǎn)睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個(gè)：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點(diǎn)，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.19、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，故可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，故可得，，因?yàn)椋士傻?，整理得：，，因?yàn)槿c(diǎn)不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)椋试摲匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察直線與拋物線相交時(shí)范圍問題，定值問題，解決問題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計(jì)算量較大，屬綜合困難題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義即可證明.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以：數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以：，所以：，，所以，①所以，②①②可得.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算法則，結(jié)合常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合常見函數(shù)的導(dǎo)