江蘇省鹽城市東臺市創(chuàng)新學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省鹽城市東臺市創(chuàng)新學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列前項和為,且,,則此數(shù)列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項2.已知函數(shù)在處有極小值,則c的值為()A.2 B.4C.6 D.2或63.已知圓的圓心在x軸上,半徑為1,且過點,圓:,則圓,的公共弦長為A. B.C. D.24.已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)是,則()A.5 B.2C.1 D.5.已知是邊長為6的等邊所在平面外一點,,當(dāng)三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的表面積為()A. B.C. D.6.已知點,,,動點P滿足,則的取值范圍為()A. B.C. D.7.在長方體中,,,點分別在棱上,,,則()A. B.C. D.8.概率論起源于賭博問題.法國著名數(shù)學(xué)家布萊爾帕斯卡遇到兩個賭徒向他提出的賭金分配問題:甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者,可獲得全部賭金法郎,當(dāng)甲贏了局,乙贏了局,不再賭下去時,賭金如何分配?假設(shè)每局兩人輸贏的概率各占一半,每局輸贏相互獨立,那么賭金分配比較合理的是()A.甲法郎,乙法郎 B.甲法郎,乙法郎C.甲法郎,乙法郎 D.甲法郎,乙法郎9.函數(shù)在(0,e]上的最大值為()A.-1 B.1C.0 D.e10.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動點P,滿足圓上存在一點Q使得,則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為()A. B.C. D.11.以軸為對稱軸,拋物線通徑的長為8,頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的方程是()A. B.C.或 D.或12.?dāng)?shù)列2,,9,,的一個通項公式可以是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左,右焦點分別為,P是該雙曲線右支上一點,且(O為坐標(biāo)原點),,則雙曲線C的離心率為__________14.已知雙曲線的右焦點為F,以F為圓心,以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A,B兩點.若(O為坐標(biāo)原點),則雙曲線C的離心率為___________.15.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《算法九章·商功》中,后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球……設(shè)各層(從上往下)球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列,則___________,___________.16.在中.若成公比為的等比數(shù)列,則____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,過的直線與橢圓交于,兩點,若的周長為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)為橢圓上的動點,過原點作直線與橢圓分別交于點、(點不在直線上),求面積的最大值.18.(12分)如圖,正方體的棱長為,分別是的中點,點在棱上,().(Ⅰ)三棱錐的體積分別為,當(dāng)為何值時,最大?最大值為多少?(Ⅱ)若平面,證明:平面平面.19.(12分)如圖所示,已知定點為曲線上一個動點,求線段中點的軌跡方程.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)在時的最大值和最小值;(2)若函數(shù)在區(qū)間存在極小值,求a的取值范圍.21.(12分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,O為原點,已知點,,,設(shè)向量,.(1)求與夾角的余弦值;(2)若與互相垂直,求實數(shù)k的值.22.(10分)已知拋物線:的焦點為,點在上,點在的內(nèi)側(cè),且的最小值為.(1)求的方程;(2)為坐標(biāo)原點,點A在y軸正半軸上,點B,C為E上兩個不同的點,其中B點在第四象限,且AB,互相垂直平分,求四邊形AOBC的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,,則,又,則,說明數(shù)列為遞減數(shù)列,前6項為正,第7項及后面的項為負(fù),又,則,則在數(shù)列中絕對值最小的項為,選C.2、A【解析】根據(jù)求出c,進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意,,則,所以或.若c=2,則,時,,單調(diào)遞增,時,,單調(diào)遞減,時,,單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值,滿足題意;若c=6,則,函數(shù)R上單調(diào)遞增,不合題意.綜上:c=2.故選:A.3、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.4、C【解析】根據(jù)題意橢圓焦點在軸上,且,將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,從而得出,得出答案.【詳解】由焦點坐標(biāo)是,則橢圓焦點在軸上,且將橢圓化為,則由,焦點坐標(biāo)是,則,解得故選:C5、C【解析】由題意分析可得,當(dāng)時三棱錐的體積最大,然后作圖,將三棱錐還原成正三棱柱,按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算,即可計算出球半徑,從而完成求解.【詳解】由題意可知,當(dāng)三棱錐的體積最大時是時,為正三角形,如圖所示,將三棱錐補成正三棱柱,該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球,而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點上,設(shè)外接圓半徑為,三棱錐外接球半徑為,由正弦定理可得:,所以,,所以三棱錐外接球的表面積為.故選:C.6、C【解析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合),要求的取值范圍,只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè),在以為直徑的圓上,令,則(不與重合),所以的取值范圍,即為到圓上點的距離范圍,又圓心到的距離,圓的半徑為2,所以的取值范圍為,即.故選:C7、D【解析】依題意可得,從而得到,即可得到,從而得解;【詳解】解:由長方體的性質(zhì)可得,又,所以,因為,所以,所以,因為,所以;故選:D8、A【解析】利用獨立事件計算出甲、乙各自贏得賭金的概率,由此可求得兩人各分配的金額.【詳解】甲贏得法郎的概率為,乙贏得法郎的概率為,因此,這法郎中分配給甲法郎,分配給乙法郎.故選:A.9、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo),然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由,得,當(dāng)時,,當(dāng),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值,故選:A10、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時,,進(jìn)而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓(包括內(nèi)部),即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時,,這種情況為臨界情況,當(dāng)P往外時無法找到點Q使,當(dāng)P往里時,可以找到Q使,故滿足條件的點P形成的圖形為大圓(包括內(nèi)部),如圖,由圓,可知圓心,半徑為1,則大圓的半徑為,∴所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為.故選:D.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件,進(jìn)而即可得到動點滿足條件的圖形,問題即可解決.11、C【解析】由分焦點在軸的正半軸上和焦點在軸的負(fù)半軸上,兩種情況討論設(shè)出方程,根據(jù),即可求解.【詳解】由題意,拋物線的頂點在原點,以軸為對稱軸,且通經(jīng)長為8,當(dāng)拋物線的焦點在軸的正半軸上時,設(shè)拋物線的方程為,可得,解得,所以拋物線方程為;當(dāng)拋物線的焦點在軸的負(fù)半軸上時,設(shè)拋物線的方程為,可得,解得,所以拋物線方程為,所以所求拋物線的方程為.故選:C.12、C【解析】用檢驗法,由通項公式驗證是否符合數(shù)列各項,結(jié)合排除法可得【詳解】第一項為正數(shù),BD中求出第一項均為負(fù)數(shù),排除,而AC均滿足,A中,,排除A,C中滿足,,,故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知及向量數(shù)量積的幾何意義易知,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得,再由雙曲線的定義及勾股定理構(gòu)造關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】∵,∴△為等腰三角形且,又,∴,∴.又,,∴,則,可得,∴雙曲線C的離心率為故答案為:.14、【解析】過F作,利用點到直線距離可求出,再根據(jù)勾股定理可得,,由可得,即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖,過F作,則E是AB中點,設(shè)漸近線為,則,則在直角三角形OEF中,,在直角三角形BEF中,,,則,即,即,則,即,.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題的關(guān)鍵是分別表示出,,由建立關(guān)系.15、①.②.【解析】根據(jù),,得到,利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出,再利用裂項抵消法進(jìn)行求和.【詳解】因為,,,,,以上個式子累加,得,則;因為,所以.故答案為:,.16、【解析】由條件可得,即,由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數(shù)列,即由正弦定理可知所以故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)周長可求,再根據(jù)離心率可求,求出后可求橢圓的方程.(2)當(dāng)直線軸時,計算可得的面積的最大值為,直線不垂直軸時,可設(shè),聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求,設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為:,結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系,從而求出該直線到直線的距離,從而可求的面積的最大值為.【詳解】(1)由橢圓的定義可知,的周長為,∴,,又離心率為,∴,,所以橢圓方程為.(2)當(dāng)直線軸時,;當(dāng)直線不垂直軸時,設(shè),,,∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為:,,∵,∴,∴距的最大距離為,∴,綜上,面積的最大值為.【點睛】方法點睛:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是基本量的確定,而面積的最值的計算,則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計算,此類轉(zhuǎn)化為面積最值計算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.18、(Ⅰ),.(Ⅱ)見解析.【解析】(Ⅰ)由題可知,,由和,結(jié)合基本不等式可求最值;(Ⅱ)連接交于點,則為的中點,可得為中點,易證得,得平面,所以,進(jìn)而可證得,,所以平面EFM,因為平面,從而得證.【詳解】(Ⅰ)由題可知,,.所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立)所以當(dāng)時,最大,最大值為.(Ⅱ)連接交于點,則為的中點,因為平面,平面平面,所以,所以為中點.連接,因為為中點,所以,因為,所以.因為平面,平面,所以,因為,所以平面,又平面,所以.同理,因為,所以平面EFM,因為平面,所以平面平面B1D1M.19、【解析】設(shè)線段的中點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,根據(jù)中點坐標(biāo)公式和代入法求得線段中點的軌跡方程.【詳解】解設(shè)線段的中點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,則用代入法求得所求方程為.【點睛】本題考查了中點坐標(biāo)公式和代入法求動點的軌跡方程,屬于容易題.20、(1)最大值為9,最小值為;(2).【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定在的極值、端點值,比較它們的大小即可知最值.(2)討論參數(shù)a的符號,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,結(jié)合已知區(qū)間的極值情況求參數(shù)a的范圍即可.【小問1詳解】由題,時,,則,令,得或1,則時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.∴在時取極大值,在時取極小值,又,,綜上,在區(qū)間上取得的最大值為9,最小值為.小問2詳解】,且,當(dāng)時,單調(diào)遞增,函數(shù)沒有極值;當(dāng)時,時,單調(diào)遞增;時,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.∴在取得極大值,在取得極小值,則;當(dāng)時,時,單調(diào)遞增;時,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.∴在取得極大值,在取得極小值,由得:.綜上,函數(shù)在區(qū)間存在極小值時a的取值范圍是.21、(1)(2)【解析】(1)由向量的坐標(biāo)先求出,,,由向量的夾角公式可得答案.(2)由題意可得,從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題,,,故,,,所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互相垂直知,,,即2

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