安徽省定遠(yuǎn)啟明中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

安徽省定遠(yuǎn)啟明中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線(xiàn)、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.32．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.43．若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到一個(gè)橢圓，且該橢圓與矩形ABCD的四邊都相切.設(shè)橢圓的方程為，則下列滿(mǎn)足題意的方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．入冬以來(lái)，梁老師準(zhǔn)備了4個(gè)不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個(gè)辦公室（每層樓各有一個(gè)辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點(diǎn)冷，所以1，2樓的每個(gè)辦公室至少需要1個(gè)烤火隊(duì)，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.866．若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.7．已知拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.28．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定9．已知曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是（）A. B.C. D.10．已知{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn，取得最大值時(shí)，n=（）A.3 B.4C.5 D.611．設(shè)函數(shù)，若的整數(shù)有且僅有兩個(gè)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.14．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”，設(shè)．則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為_(kāi)_______15．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線(xiàn)C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)C：，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，其中.（1）若，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是否存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，若存在，請(qǐng)求出正數(shù)m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，滿(mǎn)足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列對(duì)任意都有恒成立，求.20．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行（1）求值，并求此切線(xiàn)方程；（2）證明：22．（10分）已知曲線(xiàn)C的方程為（1）判斷曲線(xiàn)C是什么曲線(xiàn)，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C2、B【解析】先求出拋物線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線(xiàn)中得：，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為故選：B3、A【解析】由橢圓與矩形ABCD的四邊都相切得到再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由于橢圓與矩形ABCD的四邊都相切，所以矩形兩邊長(zhǎng)分別為，由矩形面積為48，得，對(duì)于選項(xiàng)B，D由于，不符合條件，不正確.對(duì)于選項(xiàng)A，，滿(mǎn)足題意.對(duì)于選項(xiàng)C，不正確.故選：A.4、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.5、C【解析】運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要1個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要2個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.II卷7、C【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：準(zhǔn)線(xiàn)l與橫軸的交點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知：，因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C8、A【解析】畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，所以，，，故選：A9、A【解析】化簡(jiǎn)方程，得到，求出的范圍，作出曲線(xiàn)的圖形，通過(guò)圖象觀(guān)察，即可得到原點(diǎn)距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線(xiàn)的圖形，如下：則點(diǎn)與點(diǎn)或的距離最小，且為故選：A10、B【解析】由題可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值故選：B.11、D【解析】等價(jià)于，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合只需滿(mǎn)足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且，，作出函數(shù)圖象如圖所示，若的整數(shù)有且僅有兩個(gè)，即只需滿(mǎn)足，即，解得：故選：D12、C【解析】求導(dǎo)后，由可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、80【解析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：8014、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡(jiǎn)為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當(dāng)時(shí)，取最大值，所以“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡(jiǎn)得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.15、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項(xiàng)公式；，采用裂項(xiàng)相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.16、①②【解析】先根據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)性找出整點(diǎn)，再判斷是否還有其他的整點(diǎn)在曲線(xiàn)上；找出曲線(xiàn)上離原點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過(guò)；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由于圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，沒(méi)有其他的整點(diǎn)在曲線(xiàn)上，故曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點(diǎn)距離的最大值是在時(shí)，由基本不等式，當(dāng)時(shí)，，所以即，所以②正確；③:由①知長(zhǎng)方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線(xiàn)C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息，比如對(duì)稱(chēng)性，整點(diǎn)，內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）存在，【解析】（1）確定點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則根據(jù)拋物線(xiàn)的焦半徑公式，結(jié)合拋物線(xiàn)方程，求得答案;（2）假設(shè)存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可推得，由此可設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入到中，可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意得為的焦點(diǎn),故，解得,故，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)或;【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),∴，設(shè)直線(xiàn)：，，，由,得,則，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).18、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫(xiě)一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫(xiě)一式，然后兩式相減，求出，最后利用錯(cuò)位相減法即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，得，所以是?為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以；因?yàn)?，所以，又由得，所以是?為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，即，記，則,,則.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，并應(yīng)用坐標(biāo)計(jì)算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.（2）求的方向向量，結(jié)合（1）中面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，，.∴，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，∴，即，∴平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，為面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.21、（1）；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，由，知不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】，，在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，即切線(xiàn)斜率為，，解得：，，，所求切線(xiàn)方程為：，即；【小問(wèn)2詳解】要證，即證；①當(dāng)時(shí)，，，，即，；②當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點(diǎn)