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文檔簡介
2025屆湖南省永州市數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.平行六面體的各棱長均相等,,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.2.在中,角、、所對(duì)的邊分別是、、.已知,,且滿足,則的取值范圍為()A. B.C. D.3.如果在一實(shí)驗(yàn)中,測(cè)得的四組數(shù)值分別是,則y與x之間的回歸直線方程是()A. B.C. D.4.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),若,則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.5.若(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.27.圓和圓的位置關(guān)系是()A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離8.已知,是圓上的兩點(diǎn),是直線上一點(diǎn),若存在點(diǎn),,,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.下列命題中,正確的是()A.若a>b,c>d,則ac>bd B.若ac>bc,則a<bC.若a>b,c>d,則a﹣c>b﹣d D.若,則a<b10.在四面體中,為的中點(diǎn),為棱上的點(diǎn),且,則()A. B.C. D.11.已知直線,當(dāng)變化時(shí),所有直線都恒過點(diǎn)()A.B.C.D.12.已知正三棱柱中,,點(diǎn)為中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,空間直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.用以上知識(shí)解決下面問題:已知平面的方程為,直線是兩個(gè)平面與的交線,則直線與平面所成角的正弦值為___________.14.與雙曲線有共同的漸近線,并且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程是______15.如圖,在等腰直角中,,為半圓弧上異于,的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)半圓弧繞旋轉(zhuǎn)的過程中,有下列判斷:①存在點(diǎn),使得;②存在點(diǎn),使得;③四面體的體積既有最大值又有最小值:④若二面角為直二面角,則直線與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______(請(qǐng)?zhí)钌纤心阏J(rèn)為正確的結(jié)果的序號(hào)).16.已知函數(shù),,則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)命題p:,命題q:關(guān)于x的方程無實(shí)根.(1)若p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若為假命題,為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍18.(12分)已知三棱柱中,面底面,,底面是邊長為的等邊三角形,,、分別在棱、上,且.(1)求證:底面;(2)在棱上找一點(diǎn),使得和面所成角的余弦值為,并說明理由.19.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為F,直線l交拋物線于不同的A、B兩點(diǎn).(1)若直線l的方程為,求線段AB的長;(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A',求證:A'、F、B三點(diǎn)共線.20.(12分)已知函數(shù),在處有極值.(1)求、的值;(2)若,有個(gè)不同實(shí)根,求的范圍.21.(12分)已知數(shù)列和中,,且,.(1)寫出,,,,猜想數(shù)列和的通項(xiàng)公式并證明;(2)若對(duì)于任意都有,求的取值范圍.22.(10分)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且滿足(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用基底向量表示出向量,,即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示:不妨設(shè)棱長為1,,,所以==,,,即,故異面直線與所成角的余弦值為故選:B注意事項(xiàng):1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題,共80分.2、D【解析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出,利用余弦定理化簡得出,結(jié)合,根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】且,所以,由正弦定理得,即,,,所以,,則,由余弦定理得,,則,由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即,所以,.因此,的取值范圍為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解,考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、B【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn),由樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,將其代入各選項(xiàng)的回歸方程驗(yàn)證即可.【詳解】由題設(shè),,因?yàn)榛貧w直線方程過樣本點(diǎn)中心,A:,排除;B:,滿足;C:,排除;D:,排除.故選:B4、C【解析】由,且,可得,再結(jié)合,可得,進(jìn)而在△中,由余弦定理可得到齊次方程,求出即可.【詳解】由題意,可得,因?yàn)?,所以,又,所以,在△中,,即,由余弦定理,可得,整理得,則,即,解得,因?yàn)?,所?故選:C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查求雙曲線的離心率,屬于中檔題.雙曲線離心率的求法:(1)由條件直接求出(或或),或者尋找(或或)所滿足的關(guān)系,利用求解;(2)根據(jù)條件列出的齊次方程,利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程,解方程即可,注意根據(jù)對(duì)所得解進(jìn)行取舍.5、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出z=a+bi形式,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選:A6、D【解析】由題意知,拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1,過A作AA1⊥l于A1,過B作BB1⊥l于B1,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M,過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn)),即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故M到x軸的距離d≥2.7、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解:因?yàn)閳A的圓心為,半徑為,圓的圓心為,半徑為,所以兩圓圓心的距離為,因?yàn)?,即,所以圓和圓的位置關(guān)系是相交,故選:C.8、B【解析】確定在以為直徑的圓上,,根據(jù)均值不等式得到圓上的點(diǎn)到的最大距離為,得到,解得答案.【詳解】,故在以為直徑的圓上,設(shè)中點(diǎn)為,則,圓上的點(diǎn)到的最大距離為,,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.直線到原點(diǎn)的距離為,故.故選:B.9、D【解析】運(yùn)用不等式性質(zhì),結(jié)合特殊值法,對(duì)選項(xiàng)注逐一判斷正誤即可.【詳解】選項(xiàng)A中,若,時(shí),則成立,否則,若,則,顯然錯(cuò)誤,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B中,若,,則能推出,否則,若,則,顯然錯(cuò)誤,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C中,若,則,顯然錯(cuò)誤,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D中,若,顯然,由不等式性質(zhì)知不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù),不等式不變號(hào),即.故選:D10、A【解析】利用空間向量加法運(yùn)算,減法運(yùn)算,數(shù)乘運(yùn)算即可得到答案.【詳解】如圖故選:A11、D【解析】將直線方程整理為,從而可得直線所過的定點(diǎn).【詳解】可化為,∴直線過定點(diǎn),故選:D.12、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義,取中點(diǎn)為,則為異面直線和所成角或其補(bǔ)角,再解三角形即可求出【詳解】如圖所示:設(shè)中點(diǎn)為,則在三角形中,為中點(diǎn),為中位線,所以有,,所以為異面直線和所成角或其補(bǔ)角,在三角形中,,所以由余弦定理有,故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意分別求出這三個(gè)平面的法向量,設(shè)直線的方向向量為,由直線與平面與的法向量垂直,得出,由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由,解得,即直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為平面的方程為,可得所以平面的法向量為平面的法向量為,的法向量為設(shè)直線的方向向量為,則,即取,設(shè)直線與平面所成角則故答案為:14、【解析】設(shè)雙曲線的方程為,將點(diǎn)代入方程可求的值,從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為,該雙曲線經(jīng)過點(diǎn),所求的雙曲線方程為:,整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì),意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力,屬于中檔題.與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為,只需根據(jù)已知條件求出即可.15、①②④【解析】①當(dāng)D為中點(diǎn),且A,B,C,D四點(diǎn)共面時(shí),可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①;②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上(不含端點(diǎn))時(shí),可知平面ABC,可證得平面CDB,即可判斷②;③,研究臨界值即可判斷③;④二面角D-AC-B為直二面角,且D為中點(diǎn)時(shí),直線DB與平面ABC所成角的最大,作圖分析驗(yàn)證可判斷④.【詳解】①當(dāng)D為中點(diǎn),且A,B,C,D四點(diǎn)共面時(shí),連結(jié)BD,交AC于,則為AC中點(diǎn),此時(shí),且,所以四邊形ABCD為正方形,所以AB//CD,故①正確;②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上(不含端點(diǎn))時(shí),此時(shí)有:平面ABC,,又因?yàn)椋云矫鍯DB,所以,故②正確;③,當(dāng)平面平面ABC,且D為中點(diǎn)時(shí),h有最大值;當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共面時(shí)h有最小值0,此時(shí)為平面圖形,不是立體圖形,故四面體D-ABC無最小值,故③錯(cuò)誤.④二面角D-AC-B為直二面角,且D為中點(diǎn)時(shí),直線DB與平面ABC所成角的最大,取AC中點(diǎn)O,連結(jié)DO,BO,則,AC=平面平面ACD,平面平面ACD,所以平面ABC,所以為直線DB與平面ABC所成角,設(shè),則,,所以為等腰直角三角形,所以,直線與平面所成角的最大值為45°,故④正確.故答案為:①②④.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】由,求導(dǎo),知,又,則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)解一元二次不等式,即可求得當(dāng)為真命題時(shí)的取值范圍;(2)先求得命題為真命題時(shí)的取值范圍.由為假命題,為真命題可知,兩命題一真一假.分類討論,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)為真命題時(shí),解不等式可得;(2)當(dāng)為真命題時(shí),由,可得,∵為假命題,為真命題,∴,兩命題一真一假,∴或,解得或,∴m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)命題真假求參數(shù)的取值范圍,由復(fù)合命題真假判斷命題真假,并求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見解析;(2)為的中點(diǎn),理由見解析.【解析】(1)取的中點(diǎn),連接,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面,可得出,再由,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,求出的值,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接,如圖:因?yàn)槿切问堑冗吶切?,所以,又因?yàn)槊娴酌妫矫嫫矫?,面,所以平面,又面,所以,又,,平面;?)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、,在上找一點(diǎn),其中,,,,設(shè)面的一個(gè)法向量,則,不妨令,則,和面所成角的余弦值為,則,解得或(舍),所以,為的中點(diǎn),符合題意.19、(1)8;(2)證明見解析.【解析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程,應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長公式求線段AB的長;(2)設(shè)為,聯(lián)立拋物線由韋達(dá)定理可得,,應(yīng)用兩點(diǎn)式判斷是否為0即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè),聯(lián)立直線與拋物線方程可得,則,,∴,,所以.【小問2詳解】由題設(shè),,又直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0),此時(shí)直線斜率必存在且不為0,可設(shè)為,聯(lián)立拋物線得:,則,,又,故,而,所以,所以A'、F、B三點(diǎn)共線.20、(1),(2)【解析】(1)根據(jù)題設(shè)條件可得,由此可解得與的值(2)依題意可知直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù),在處有極值,所以,即,解得,.【小問2詳解】由(1)知,,所以在上,,單調(diào)遞增,在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,所以,,若有3個(gè)不同實(shí)根,則,所以的取值范圍為.21、(1),,,證明見解析(2)【解析】(1)已知兩式相加化簡可得是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,則,兩式相減化簡可得是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,則,(2)由題意可得只需要,令,由和解不等式可求出的最小值,從而可求得的取值范圍【小問1詳解】由已知得,猜想,,由題得,所以易知,即所以是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故,由題得,所以,即,所以是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,
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