2025屆河南省滎陽市第二高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆河南省滎陽市第二高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.2．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.3．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.4．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.5．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（）A.3 B.C. D.6．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.7．如圖，某鐵路客運(yùn)部門設(shè)計(jì)的從甲地到乙地旅客托運(yùn)行李的費(fèi)用c（元）與行李質(zhì)量w（kg）之間的流程圖．已知旅客小李和小張托運(yùn)行李的質(zhì)量分別為30kg，60kg，且他們托運(yùn)的行李各自計(jì)費(fèi)，則這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元8．經(jīng)過兩點(diǎn)直線的傾斜角是（）A. B.C. D.9．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于510．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，漸近線上的一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.12．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對(duì)立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則此三角形的最大邊長為___________.14．某校對(duì)全校共1800名學(xué)生進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是__________人.15．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號(hào))（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件16．如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列則___________.（填數(shù)字）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積19．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面積為，求的周長.22．（10分）若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).（1）若雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于10，求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)距離；（2）如圖若是雙曲線左支上一點(diǎn)，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時(shí)點(diǎn)所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的圖形，問題即可解決.2、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B4、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數(shù)量關(guān)系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價(jià)于，解得或.故選：A.5、D【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結(jié)果【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，所以，則，所以，所以故選：D.6、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進(jìn)而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設(shè)高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.7、D【解析】根據(jù)程序框圖分別計(jì)算小李和小張托運(yùn)行李的費(fèi)用，再求和得出答案.【詳解】由程序框圖可知，當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元，所以這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為元.故選：D8、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B9、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個(gè)點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個(gè)點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線，當(dāng)n=5時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題10、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點(diǎn)的距離公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)和，在中，利用余弦定理，求得的關(guān)系式，再由離心率公式，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設(shè)在漸近線上，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，由，解得，即點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.11、A【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.12、D【解析】計(jì)算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對(duì)立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計(jì)算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個(gè)基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯(cuò)誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對(duì)立事件,如事件m=3,n=5，故B錯(cuò)誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個(gè)基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】可知B對(duì)的邊最大，再用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】利用正弦定理可知，B對(duì)的邊最大，因?yàn)?，，所以?故答案為：14、810【解析】分析：首先確定抽取的女生人數(shù)，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數(shù).詳解：設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則：，解得：，則抽取的女生人數(shù)為人，抽取的男生人數(shù)為人，據(jù)此可知該校女生人數(shù)應(yīng)是人.點(diǎn)睛：進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比15、（1）（2）（3）【解析】充分不必要條件是該條件成立時(shí)，可推出結(jié)果，但結(jié)果不一定需要該條件成立；必要條件是有結(jié)果必須有這一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結(jié)果可以互推；條件和結(jié)果沒有互推關(guān)系的是既不充分也不必要條件【詳解】（1）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項(xiàng)（1）正確.（2）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項(xiàng)（2）正確.（3）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項(xiàng)（3）正確.（4）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤.故答案為（1）（2）（3）.16、【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，即可得解【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值，沒有極小值（2）【解析】（1）把代入，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行分類討論，其中當(dāng)和時(shí)易判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，而當(dāng)時(shí)，的最小值與0進(jìn)一步判斷【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).故有極大值，沒有極小值.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于對(duì)于任意恒成立.令，則.若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.若，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不合題意.綜上可知，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了不等式恒成立問題，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過討論參數(shù)在不同取值范圍時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解出參數(shù)的范圍.必要時(shí)二次求導(dǎo).18、（1）；（2）【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，繼而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為，即為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，即得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線，可得，再由直線過拋物線的焦點(diǎn)，故，三角形的高為O到直線的距離，利用點(diǎn)到直線公式，求解即可【小問1詳解】由題意，雙曲線漸近線方程為：，所以，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故雙曲線故雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，，所以【小問2詳解】由題意聯(lián)立，得，又所以因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，所以O(shè)到直線的距離，19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出B、D、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過計(jì)算向量數(shù)量積來進(jìn)行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算平面與平面的法向量，然后通過法向量去計(jì)算兩平面所成的銳二面角即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，證明：因?yàn)椋?，所以，所以【小?詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因?yàn)樗云矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為20、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，所以且函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，，則，故上無零點(diǎn)，與函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，故不滿足條件所以，又因?yàn)?，所以考慮，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，所以，且，因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理知在和上各有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.21、（1）（2）【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積，求得